北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学2026.4

北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列，，，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 18 4. 抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ） A. B. 各项的二项式系数和为128 C. 二项式系数最大的项只有1项 D. 第5项系数等于 7. 现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有（ ）种 A. 24 B. 12 C. 81 D. 64 8. 已知，则（ ） A. B. 10 C. D. 80 9. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 的展开式中，的系数为60，则实数______． 12. 已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则______． 13. 从甲，乙，丙，丁4人中选出3人，同时执行3项不同的任务，其中甲必须参加，则不同的选派方法共有______种．（用数字作答） 14. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________． 15. 在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16. 如图，在直四棱柱中，，分别为的中点 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值 17. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. （1）估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； （2）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 18. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. （1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； （2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； （3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 设函数． （1）当时，求证：直线是曲线的切线． （2）求的单调区间； 20. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 21. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数极值点的个数； （3）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】18 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 【16题答案】 【答案】（1） 取中点，连接，因为是中点， 所以在四棱柱中，且， 又，而是中点，所以且， 所以且， 所以是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） 当时，函数 ， 则， 设切点为，令， 即，解得或（舍去）， 又，则切线方程为，即； （2） 当时， 的单调递减区间为，的单调递增区间为；当时， 的单调递减区间为，的单调递增区间为； 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）2个 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $