2026年高考数学临考实战仿真卷05（全国二卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，以数学眼光、思维、语言为导向，覆盖集合、导数等主干知识，通过军事情境概率题等创新设计，适配高考命题趋势，助力考前精准预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、数列、概率、函数、双曲线|第4题结合数列与充要条件，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|数列递推、轨迹方程、立体几何|第14题通过三棱锥截面问题，考查空间观念| |解答题|5题77分|三角函数、立体几何、解析几何、导数、概率统计|第18题导数综合（单调性/最值/零点）梯度设问；第19题军事情境概率题，体现数学语言表达现实世界|

2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（   ） A．2069 B．2070 C．4048 D．4049 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知单位向量满足，若向量，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（    ） A．十种金属增速数据的众数是2.9 B．十种金属增速数据的平均数是3.57 C．十种金属日均产量数据的极差是 D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数 ，则 __________． 13．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 14．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 16．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，是AC与BD的交点，. (1)证明：平面平面PBD； (2)已知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为，记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求. 17．已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 18．已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先需要求解集合的元素，找出公共元素即可得到. 【详解】解一元二次方程，因式分解得，解得或，因此； 已知，因此. 2．正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（   ） A．2069 B．2070 C．4048 D．4049 【答案】A 【详解】，为方程的两根，，； 数列为正项等比数列，，即，解得. . 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 4．直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，再结合得，最后计算即可. 【详解】因为 所以，， 所以， 因为，即， 所以，. 6．已知单位向量满足，若向量，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算得到，再由向量夹角公式计算． 【详解】因为单位向量满足． 所以，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为． 7．若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用球内接圆锥的几何关系建立底面半径与高的关系式，写出圆锥体积关于的函数，再通过求导分析单调性，找到体积取最大值时的，进而求出和母线长，最后用侧面积公式计算结果． 【详解】 设圆锥的底面半径为，高为，则， 所以，，圆锥体积，， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，取得最大值， 此时，， 则圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可. 【详解】在上为增函数，，，即. ，. 令，， ，， 当时，，所以在上单调递增. 又因为，所以当时，， 当时，. ， ，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（    ） A．十种金属增速数据的众数是2.9 B．十种金属增速数据的平均数是3.57 C．十种金属日均产量数据的极差是 D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 【答案】ABD 【详解】十种金属增速数据排序：2.2, 2.9, 2.9, 2.9, 3.1, 3.8, 3.9, 4.4, 4.7,4.9 出现次数：2.9 出现 3 次，其余一次，众数是 2.9 ，A正确； ，B正确； 十种金属日均产量数据的极差： ，C错误； 数据已经按从小到大排序： 22.0, 22.0, 22.4, 22.5, 22.5, 22.7, 23.2, 23.2, 23.3, 23.3 80%分位数为第8个数和第9个数的平均数：，D正确. 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】BD 【详解】由图象知，，所以，故错误； 函数形式为，代入零点得 ， 由得，故正确； 因为， 所以 ，故错误； ，故正确． 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数 ，则 __________． 【答案】25 【分析】先求得复数z的共轭复数，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为复数 ， 所以， 所以， 故答案为：25 13．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 14．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据求出的通项公式，再代入不等式求解，结合对勾函数性质及不等式恒成立条件即可求出实数的取值范围． 【详解】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于，得， 则，即对任意恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 16．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，是AC与BD的交点，. (1)证明：平面平面PBD； (2)已知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为，记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）通过证明平面PAC，证得平面平面PBD. （2）建立空间直角坐标系，利用平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值求得，进而求得. 【详解】（1）因为是圆柱的底面直径，所以， 又因为PC是圆柱的母线，所以平面ABCD， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面PAC， 又因为平面PBD，所以平面平面PBD. （2）以为坐标原点，CA为轴，过点垂直于CA的直线为轴，CP为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，因为，所以， 所以，， 所以， ，设平面PAB的法向量，则 即取. 设平面PAD的法向量， 则即 取. 设平面PAB与平面PAD的夹角为， 所以 ， 解得：或， 所以，当时， ， 所以. 当时， ， 所以. 17．已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 18．已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可； （2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【详解】（1），，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以，即，所以，当且仅当，等号成立. 令，则，所以，则. 所以. 综上，，. 19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3)（） 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解； （2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望； （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； 【详解】（1）甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即， 甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中， 即. （2）第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4， 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 . （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以，故， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即，. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $