2026年高考数学临考实战仿真卷04（全国二卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过公益捐款、游戏情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与建模素养，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、二项式定理、三角形性质等|基础与能力题结合，如第5题数列应用题考查建模| |填空题|3题15分|随机变量、圆锥外接球、离心率|空间想象与运算能力，如13题结合轴截面与外接球| |解答题|5题77分|三角函数、立体几何、椭圆、导数、概率|综合性强，如19题“丢沙包”游戏考查概率建模与推理|

2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足则z在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（    ） A．2 B．4 C．7 D．13 4．已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 7．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为 10．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D． 11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 14．已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. (1)求的值（精确到0.01）； (2)求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 16．在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 18．如图，四棱台的底面为正方形，平面，平面与平面的交线为l. (1)证明:平面; (2)若，直线与交于点，点N是l上一点，且，当直线与平面所成的角最大时，求. 19．已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交于另一点，交直线于点，求． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得集合，所以. 2．已知复数z满足则z在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由得， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 3．样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（    ） A．2 B．4 C．7 D．13 【答案】B 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】因为，向上取整为2，所以下四分位数是第2个数，即4. 4．已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】由题知，，则定义域为， 所以， ，经检验满足题意， 又， 所以． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 所以. 6．若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】通过离心率，求得关系，确定渐近线方程，再由点到线距离公式即可求解. 【详解】设的焦距为，则，又， 得，所以， 故渐近线方程为， 所以点到C的一条渐近线的距离为． 7．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接． 因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即． 因为，所以，， ， 所以． 8．若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为 【答案】AC 【分析】根据题意，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断AB；用底面周长除以母线长得到侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 体积，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 底面周长为，则圆锥展开图中圆心角为，故C正确； 如图，侧面沿展开， 所以，则， ，则最短距离为，故D错误． 10．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】应用递推公式计算判断A，B，取对数化简结合等差数列定义计算判断C，应用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】对于A，由，又，，所以，，得，故A正确； 对于B，因为，，，所以，，所以，故B正确； 对于C，由得，两边同时取以2为底的对数得， 即，又，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C不正确； 对于D，由C知，故D正确； 11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可． 【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确； 对于B，当时，，即，， 其圆心，半径， 设，即，所以点在直线上， 所以直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最小值， 等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确； 对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则，    所以，则， 所以， 因为， 所以，即，所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以最小值取不到， 又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】/ 【详解】由，得， 即，解得， 所以. ， ，. 所以在方向上的投影向量为 . 13．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【答案】/ 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 14．已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. (1)求的值（精确到0.01）； (2)求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 【答案】(1)0.86 (2)8.6 【分析】（1）根据相关系数公式、的求解公式，结合题中数据进行求解即可； （2）根据在回归直线上进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，关于的经验回归方程为， ，， 因为在回归直线上，所以， 所以. 16．在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦定理和余弦定理求解即可； （2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得，根据，求解即可. 【详解】（1）因为， 即， 所以， 即， 所以， 即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由题意可得， 所以, 所以, 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即 ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以，即， 又因为， 所以， 所以实数的取值范围为. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 18．如图，四棱台的底面为正方形，平面，平面与平面的交线为l. (1)证明:平面; (2)若，直线与交于点，点N是l上一点，且，当直线与平面所成的角最大时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，根据线面平行的性质定理证得，进而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得直线与平面所成的角的正弦值，根据正弦值取最大值求得点坐标，进而求得. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 由于平面，所以平面. 由于平面，平面， 所以平面， 由于平面，平面与平面的交线为， 所以，所以 平面； （2）以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 根据正四棱台的性质可知， 则，设，由于， 而，所以同向，则， ，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 所以当时，取得最大值， 也即取得最大值，对应. 19．已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交于另一点，交直线于点，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆上一点以及该点到焦点的距离联立方程可得； （2）联立直线与椭圆，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意得解得 所以的标准方程为． （2）（i）如图所示，由消去，得，， ， 又点到直线的距离， 所以， 所以， 所以. （ii）如图所示，由（i）知， 由． 设直线的斜率为，则． 联立消去，得． 所以．又，所以， 由得所以， 所以，所以，所以． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $