精品解析：福建省福州第十一中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习高二年级数学试卷

福州第十一中学2026—2027学年第一学期10月适应性练习 高二年级 数学试卷 命题：陈剑颖 审核：夏碧芳 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，从而得到，再计算其模. 【详解】因为，所以， 则，所以. 故选：B 3. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，， 又，则，所以. 5. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 7. 若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据已知的条件可知，点A,B，C围成的三角形ABC，其内动点P（x,y），那么所求的为动点P与定点M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点A，B,C的坐标，分别求解,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得，的取值范围是，选D. 考点：本试题主要是考查了线性规划的最优解问题的应用． 点评：解决该试题是高考中的一个常考点，同时一般要结合数形结合的思想来完成，因此关键的一步就是要准确作图，找到平面区域，然后结合表达式的表示的几何意义：斜率的含义来得到． 8. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间线面位置关系与空间向量的关系可判断A选项；利用共面向量的基本定理可判断B选项；利用空间向量数量积的定义可判断C选项；利用基底的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 所以，所以或，A错误； 对于B选项，因为，所以， 则，即， 所以，、、共面，故、、、四点共面，B正确； 对于C选项，设空间向量、的夹角为，则，所以， 又因为，则，C错误； 对于D选项，假设、、共面，则存在、，使得， 因为向量组是空间的一个基底，所以，，，该方程组无解， 故也是空间的一个基底，D正确. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求其解即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线方程整理为斜截式， 直线不经过第二象限的充要条件是斜率非负、轴截距非正，即 ​ 解得，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦二倍角公式得到，得到答案； （2）根据三角形面积得到方程，求出，由余弦定理得到，得到周长 【小问1详解】 在中，， 因为，所以， ，又，故； 【小问2详解】 由（1）知，若，且的面积为， 故， 在中，由余弦定理得， ， 的周长． 16. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再根据两点求得直线方程. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 由（1）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：， 联立直线与的方程，可得，解得，所以， 所以所在直线方程：，整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得，所以， 则反射光线的方程经过和点， 所以反射光线的方程为，即． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为是等腰三角形，，是的中点， 所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） （3） 不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 则设，. 因为，，， 所以. 因为平面，所以， 故，即， 解得，与矛盾，所以假设不成立. 因此线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理进行证明； （2）过点作直线，交于点，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行向量运算求解； （3）设，，利用空间向量的运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线，交于点. 因为，，所以，. 又因为平面，所以，， 故如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量，则，即. 令，则，，于是. 平面的法向量. 所以， 因此，锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十一中学2026—2027学年第一学期10月适应性练习 高二年级 数学试卷 命题：陈剑颖 审核：夏碧芳 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 7. 若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $