2026年高考数学临考实战仿真卷06（全国二卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，以120分钟150分设计，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，解答题融合西昭高速隧道测量、人脸识别门禁等真实情境，通过概率统计、解析几何等综合题考查数学眼光与思维，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题/58分|集合运算、复数模、充分条件、解三角形、函数性质|结合隧道工程情境考查解三角形，体现数学应用意识| |填空|3题/15分|向量垂直、条件概率、不等式恒成立|以人脸识别系统为背景设计概率题，培养数据观念| |解答|5题/77分|解三角形、数列、概率统计、椭圆切线、四棱锥体积与夹角|抽奖活动问题链（分布列、期望、概率最大）考查逻辑推理，椭圆切线证明发展数学表达能力|

2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 4．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 5．已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数，直线为图象的对称轴，，且在上单调，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．若，且，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，为随机事件，则 10．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 11．已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角满足，则_______. 13．已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 14．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17．如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的高； (3)求二面角的正弦值. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 19．已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， . 3．双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的标准形式为， 显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，， 因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且， 所以双曲线的渐近线是． 4．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 【答案】C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 5．已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】取，得；取，得， 所以. 6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正弦定理边角互化可得,即可根据投影的计算公式求解. 【详解】由可得, 故, 由于，故， ， 所以在方向上的投影数量为. 7．已知函数，直线为图象的对称轴，，且在上单调，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线为图象的对称轴，得，是整数， 所以， 由在上单调，得. 因为，所以 当时，. 8．已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．若，且，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，为随机事件，则 【答案】AC 【分析】对于A，由二项分布的期望及方差公式求解；对于B，由正态分布的对称性判断即可；对于C，根据正态分布的原则判断；对于D，由并事件的概率公式即可判断． 【详解】对于A，因为，则，，解得，故A正确； 对于B，C，由正态分布的对称性知当，时，，， 所以，当时，，故B错误，C正确； 对于D，当，互斥时，成立，否则不成立，故D错误． 10．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 11．已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【分析】求出两圆心及半径，利用点到直线距离公式列式求出，进而求解判断ABC；确定两圆的位置，再求出符合条件的最小圆半径即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或，因此有4组值，A正确； 要直线与圆相切，必有，而当时，直线与圆不相切，B错误； 由，得直线与圆和圆都没有公共点，C正确； 由圆和圆的圆心都在轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为， 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角满足，则_______. 【答案】 【详解】 ． 13．已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 14．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】由线面垂直关系证明平面，求底面的外接圆半径，进而根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积. 【详解】如图所示， 在中：，因此，即. 在中：，因此，即. 因为，且平面， 根据线面垂直判定定理可得：平面. 是边长为的等边三角形，由正弦定理， 其外接圆半径满足：，解得，即. 外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于， 设球心到平面的距离为，由，得：， 即，已知，故，， 外接球半径满足： 由球的表面积公式，代入得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出和，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可. 【详解】（1）依题意可知，，解得， 所以，． （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ， 所以． 16．咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可用，线性回归方程为； (2) 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 【分析】（1）利用表格中数据求出并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答. 【详解】（1）由表格中数据，得， ， ， 因此相关系数， 所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系； ， 所以关于之间的线性回归方程为. （2）依题意，列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算， 依据小概率的独立性检验，推断不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001. 17．如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的高； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）通过，即可求证； （2）在中作交于点，确定为四棱锥的高，进而可求解； （3）法1，过点作交于点，连接，确定为二面角的平面角，进而可求解；法2，建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 与全等，，即， 又，且点是的中点， 则，由点是的中点，可得， 与都在平面内， 平面； （2）平面，且在平面内， ∴平面平面， 在中作交于点，连接与， ∵平面平面，平面， 平面，即为四棱锥的高， 又， ，且， 平面， 同理可得，又， ∴四边形是正方形， ， 在直角中，， ， 即四棱锥的高为2； （3）法1：， 与全等，过点作交于点，连接， 则， 为二面角的平面角，， 在中，， ，则. 法2：由（2）知，两两垂直，以为坐标原点， 分别以有向线段为轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则， 则， 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则； 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则. 所以， 所以二面角的平面角正弦值为 . 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过设并分析其判别式，分情况讨论的正负，进而确定的正负，从而得到的单调性. （2）先根据极值点性质得到与关于的表达式，再代入化简，然后通过求导判断函数单调性来证明不等式. 【详解】（1）由题意知，， 函数的定义域为，设， ，令，则或， ①当，即时，对恒成立， 即，在单调递增， ②当，即或时，方程， 有两不等实根， 当时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，当， ，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时，由韦达定理，， 此时两根为正，且当， ，所以在和上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 综上所述：当在单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）知有两个极值点，时， ，，， ， ， ， 令，则， 设，，其中， 所以，即单调递减，又因为， 所以，即在单调递减，所以 即，证毕. 19．已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）可通过准线方程建立等式求出的值，进而得到抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设出直线的方程以及、两点坐标；因为，利用向量夹角公式可得到，方法1：将等式用坐标表示后，结合抛物线方程化简，方法1：再联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理代入化简结果，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点；方法2：利用抛物线的焦半径公式以及坐标代换后，因式分解，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点； （3）方法1：设出、两点坐标以及直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出中点的坐标；因为的中点在直线上，所以可得到直线参数的关系；再求出弦长以及点到直线的距离，进而表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值；方法2：设AB的中点为，，，利用条件建立起的关系式，弦长以及点到直线的距离都用表示出来，进而用表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以C的方程为. （2）方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得， 令，则， 因为， 所以，即. 因为，， 所以， 整理得. 因为，所以， 所以，得. 所以， 所以直线过定点. 方法2：设，，由题意得l存在斜率，设l：， 因为， 所以，，即. 因为，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，所以， 所以， 所以直线过定点. （3）方法1：设，，由题意得l存在斜率， 设l：，联立得， 令，则， 由中点在上，得. 所以， 点P到直线l的距离. 面积，. 令，则，. 所以，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为. 方法2：设AB的中点为，，，则，. 因为，，所以，. 因为抛物线与直线交点为，，所以. 所以, ， . 因为直线l的斜率，且经过点， 所以直线l的方程为， 即：， 所以点到直线的距离， 所以面积，. 令，则，. 则，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为.    2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $