精品解析：湖南邵阳市邵东市创新高级中学2025-2026学年学期高二下学期期中考试数学试卷

2026年上学期高二期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】从北京到山东有4种交通方式（高铁、长途汽车、火车、飞机），从山东到辽宁有2种方式（轮船、飞机），根据分步乘法计数原理，总方式数为种． 2. 方程的解为（ ） A. 4 B. 15 C. 5或14 D. 4或15 【答案】D 【解析】 【分析】方程相等分为两种情况，相加等于17或者相等，计算得到答案． 【详解】由得，或，解得或． 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，解得. 4. 现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先排4名男生有种不同的排法， 由于男生和女生逐一相间，所以再排5名女生有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得男生和女生逐一相间的排法共有. 5. 在的展开式中，常数项为216，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】展开式的通项． 令，解得，得常数项为：，解得． 6. 由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ） A. 9 B. 21 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【详解】若组成的三位数的末位数是，则从这四个数中选一个排在百位，最后从除了百位上的数字和5之外的四个数字中选一个排在十位， 共有 种排法； 若组成的三位数的末位数是，则从这五个数中选两个分别排在百位和十位，共有种排法； 因此，由 这六个数组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的共有个. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为. 其中，. 的系数为. 8. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和，再根据全概率公式即可求解． 【详解】记“从甲袋中取出白球”为事件，“从甲袋中取出红球”为事件，“从乙袋中取出白球”为事件， 由题意可知， 当事件发生时，乙袋中有3个白球，1个红球， 此时从乙袋中取出白球的概率为； 当事件发生时，乙袋中有2个白球，2个红球， 此时从乙袋中取出白球的概率为； 由全概率公式得，． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，展开式的常数项为 ，A正确； 对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误； 对于C，所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由百分位数的计算方法即可判断A；由二项分布的期望与方差公式即可判断B；由条件概率公式，对立事件及独立事件的判断公式即可判断C；由正态分布的对称性即可判断D． 【详解】对于A，，所以第70百分位数是7，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，由 得，， 所以事件相互独立，故C正确； 对于D，由正态分布得，，故D正确． 11. 将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3125种放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C. 恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D． 【详解】对于A，由题意知，共有种放法，故A正确； 对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有, 所以共有种放法，故B正确； 对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有， 所以共有种放法，故C错误； 对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为； 对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以， 对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以, 递推公式:， 意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选， 如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应， 所以， ， ，故D正确． 第Ⅱ卷（客观题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】在第1次抽到黑球的条件下，箱子中还装有个白球，个黑球，共11个球， 所以第2次仍抽到黑球的概率为. 13. 已知，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】 由组合数公式化简得到，即可求解. 【详解】根据组合数公式化简，可得， 化简整理得，解得或， 又由，所以. 故答案为：. 14. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____ 【答案】15 【解析】 【分析】 先确定随机变量，再确定对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】得分可能情况为（分）， 故答案为：15 【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知为的中点，，，. （1）求的面积； （2）求的长. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积； (2)根据余弦定理可求出的长. 【小问1详解】 根据题意可知， 又因为为的中点，可得， ，，， 根据余弦定理， 代入已知条件得， 得到，故所以可得是直角三角形， 所以可得 故答案为： 【小问2详解】 由第一问可知， 根据余弦定理可知， 代入得， 所以可得， 故答案为： 16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 四棱柱为直四棱柱，平面， 平面，，， ，，平面，平面， 平面，； ，，平行四边形为正方形，， ，平面，平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆C：过点，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程： （2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合列方程组解得得椭圆方程； （2）设直线MN方程为，，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，计算，计算直线AM、AN的斜率之积．由积为1得出的关系，由此关系可得直线所过定点． 【小问1详解】 由题意可知 得 ∴椭圆方程为： 【小问2详解】 设直线MN方程为，，， 联立可得 ∴， 则 化简得： 或（舍） 直线MN方程为 即直线MN过定点 18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 （1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； （2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； （3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率即得； （2）设中位数为，由中位数定义知，即得； （3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望. 【小问1详解】 由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人， 所求概率； 【小问2详解】 设中位数为， 由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为， 故， ， 解得：， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为； 【小问3详解】 由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以, , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； （2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 【答案】（1），数学期望为0.0416； （2）（i）理由见解析；（ii）需检查；的估计值为10.02，的估计值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）（i）根据出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小即可说明理由；（ii）由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,则需要检查；再根据公式分别计算和即可． 【小问1详解】 抽取的一个零件的尺寸在之间的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故， 因此， 的数学期望为 ． 【小问2详解】 ①如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026， 一天内的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． ②由=9.97，，得的估计值，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02， ．剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 2. 方程的解为（ ） A. 4 B. 15 C. 5或14 D. 4或15 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为216，则（ ） A. B. C. D. 6. 由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ） A. 9 B. 21 C. 36 D. 42 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 8. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3125种放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C. 恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 第Ⅱ卷（客观题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______． 13. 已知，则________． 14. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知为的中点，，，. （1）求的面积； （2）求的长. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 已知椭圆C：过点，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程： （2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点． 18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 （1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； （2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； （3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； （2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $