精品解析：云南怒江傈僳族自治州兰坪白族普米族自治县部分学校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占40%，选择性必修第一册至选择性必修第三册第六章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 展开式的各二项式系数之和是64，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】因为展开式的各二项式系数之和是， 所以，所以. 2. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 所以，. 4. 已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：，圆C：， 若直线与圆C相切，则，解得， 所以“”是“直线与圆C相切”的充分不必要条件. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 所以， 可得. 6. 将A，B，C，D这4名毕业生安排到3个不同的公司实习，要求每人只到1个公司实习，且每个公司都要有人实习，则A，B被安排在同一个公司实习的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4名毕业生安排到3个不同的公司实习，所有的情况为种， A，B被安排在同一个公司实习的所有情况有种， 所以A，B被安排在同一个公司实习的概率是. 7. 某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】设第天捐款数额为，由题意可知， 可知，即数列是以20为首项，以2为公比的等比数列， 则，得， 可得，化简得， 因，且是递增数列，故的最小值为8，此时. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以，即函数在上单调递增， 由可得，当时，即时，必有， 对于，等价于， 故可得，解得或， 即不等式的解集是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，且，，则向量的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】设，因为，且，， 所以，解得或， 所以或. 10. 已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（ ） A. 的面积是 B. 双曲线C的虚轴长为 C. 双曲线C的渐近线方程不可能为 D. 双曲线C的离心率的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【详解】双曲线渐近线方程为，不妨取这条渐近线， 可知圆心为，弦长，圆半径为，所以弦心距为，即，解得， 则，选项A正确； 由，所以双曲线C的虚轴长为，选项B正确； 由，当时，双曲线渐近线方程为，所以C错误； 因为，所以，则，可知，当时，， 即，所以D正确； 11. 若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由条件恒等式取可求即可判断，对于B，由条件恒等式取可得，再取即可判断，对于C，由条件恒等式取可得，由此证明，结合奇函数定义即可判断，对于D，结合选项C推出，由此判断D. 【详解】对于A，令，得，A正确． 对于B，令，，得，因为， 所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得， 所以， 当时，，又因为， 所以为奇函数，设， 则， 所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以， 用替换，替换可得， 同理可得， 故当时，，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一组数据3，，，6，7的平均数为5，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值. 【详解】这组数据共5个，平均数为5，因此数据总和为，由， 化简得，解得. 13. 函数的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式转化为关于的二次型函数，结合正弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 又因为，所以，所以， 即函数的值域是. 14. 某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有_____种. 【答案】1224 【解析】 【详解】当有2名女生时，不同方案有种， 当有3名女生时，不同方案有种， 则不同的选派方案有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 在正方体中，，分别是棱，的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到四边形为平行四边形，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求C； （2）若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，由边化角，再根据余弦定理，直接求出角C即可； （2）根据三角形中线的性质，求出向量关系，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值即可. 【小问1详解】 由，可得， 化简得，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 17. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【小问1详解】 因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 18. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设直线与椭圆交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点O. ①证明：为定值. ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①设，， 由，消去整理得， 所以， 则，， 又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点， ∴，即， ∴， ∴， 即， 化简得，所以，即为定值； ② 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得即可； （2）①设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由求出的值；②表示出及到直线的距离，即可表示出面积，再利用换元法求出面积最大值. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 ①略 ②因为到直线的距离， 又 ， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 因为且， 所以， 令，则， 所以， 令，所以 ， 所以当即，时取得最大值，所以， 即面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）设有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）（i）； （ii）由（1）知，设函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，即对恒成立， 因此，由，得，而 函数在上单调递减，则，即； 设，求导得， 函数在上单调递增，则，即对恒成立， 因此，由，得，， 又函数在上单调递增，则，而，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数的正负求出单调区间. （2）（i）利用导数分析单调性，求出极大值与极小值，再列出不等式组求解. （ii）设，，利用导数确定单调性，并分别证得及即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得或，则函数在上单调递增； 由，得，则函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 由有3个零点，得，解得， 所以的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占40%，选择性必修第一册至选择性必修第三册第六章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 展开式的各二项式系数之和是64，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 将A，B，C，D这4名毕业生安排到3个不同的公司实习，要求每人只到1个公司实习，且每个公司都要有人实习，则A，B被安排在同一个公司实习的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，且，，则向量的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（ ） A. 的面积是 B. 双曲线C的虚轴长为 C. 双曲线C的渐近线方程不可能为 D. 双曲线C的离心率的最大值是 11. 若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一组数据3，，，6，7的平均数为5，则_____. 13. 函数的值域是_____. 14. 某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有_____种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求C； （2）若D是边的中点，且，求面积的最大值. 17. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 18. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设直线与椭圆交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点O. ①证明：为定值. ②求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）设有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $