第五章图形的轴对称单元检测培优卷2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测培优卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2025七下·深圳期中）将纸片沿EF折叠，使得落在处，已知平分平分，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　) A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024七下·新兴期末）如图，，，，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024七下·嘉兴月考）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（　　） A． B． C． D． 6．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024七下·博罗期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024七下·荣成期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（　　） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·达州期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　． 10．（2024七下·西安月考）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是　 　． 11．（2025七下·武汉期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为　 　． 12．（2023七下·大竹期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为　 　． 13．（2023七下·道县月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则　 　． 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·普宁期末） 如图，已知中， （1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）； （2） 连接AD，若，的周长是18，求的周长. 15．（2024七下·利津期末）如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求的面积． 16．（2024七下·丰城期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接． （1）若的周长为19，的周长为7，求的长． （2）若，，求的度数． 17．（2023七下·西安期末）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． （1）若，求的度数； （2）若，的长为5，求的周长． 18．（2024七下·镇平县月考）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 19．（2025七下·榕城期末） 如图， 在 中， 射线AD，AE的夹角为 过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG. （1）如图1， 射线AD， AE都在 的内部. ①设 则 ∠CAG=　 　(用含有α的式子表示)； ②作点B关于直线AD 的对称点 则线段 与图1 中已有线段　 　的长度相等； （2）如图2，射线AE在 的内部，射线AD在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明. 20．（2024·七下成都期中） 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNB+∠PMD　 　∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②． ①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数； ②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°， ∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB， ∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°， ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°， ∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°， 由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE， ∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248° ∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°， 故答案为：A. 【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：过作于，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点 D到的距离为； 故答案为：C 【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图： 则AD=A'D， ∴AD+DE=A'D+DE≥A'E， 即AD+DE的最小值为A'E， ∵， ∴， 即AD+DE的最小值为. 故答案为：C. 【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：设， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴； 故答案为：D． 【分析】设∠ABD=∠c=∠DEB=x°，如图，过B作BT∥DF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DF∥BT∥CG，由两直线平行，内错角相等，得，，由垂直的定义可得，由角平分线的定义，据此建立方程求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP， ∵PP'∥MN，PP'=MN ∴四边形PP'NM是平行四边形 ∴PM=P'N ∴PM+MN+QN=P'N+MN+QN=P'Q+MN最小 故答案为：C. 【分析】将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，构造平行四边形，根据两点之间，线段最短，将PM转化为P'N，从而PM+QN=P'Q，河宽不变，故P'Q+MN最小. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使． ，， ， ， ， ，故①正确； ②、AB上取点F，使，连接CF． 垂直平分BF， ， ． 在与中， ，，， ， ． 又， ， ， 故②正确； ③、由②知，， ， 又， ，故③正确； ④、在△BCE与△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE(SAS) ， 又， ， ， 故④正确． 综上可知 ①②③④ 正确； 故答案为：D． 【分析】 ①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解； ②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解； ④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解． 7．【答案】B 【解析】【解答】∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； 延长交于P，延长交于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 设，， ∴＋， ∵平分， ∴＋， ∵平分， ∴， ∴， ∴＋＋＋， ∴， ∴，故④错误， 故选：B． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，由平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质，即可得到结论． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H， 又∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的有②③④. 故答案为：C． 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求得与∠C的关系，据此判定①；过O点作于P，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，用SAS证得，得到，结合平角定义推出∠AOH=∠AOF，由ASA证，得到，进而判定③正确；作于N，于H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ON=OH=OD=2a，根据三角形的面积可证得④正确． 9．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②不符合题意； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③符合题意； ， ， ， ， ， 故④符合题意； 故答案为：①③④． 【分析】根据．且，构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，可判断③，当时，可以推导出，否则不垂直于，可判断②． 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，， 是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接， 此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 【分析】在上截取，连接，，连接，与交于点，连接，用边角边可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当⊥时，最小，即最小；根据S△ABC=×AB×CQ1=×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解． 11．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据HL得到，即可得到，然后推理，即可得到，然后推导，即可得到，再推理得到，进而得到．求出，设，根据，即可得到；然后根据得到，即可求出面积． 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：连接，如图所示： ∵ 点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴当OP最小时， 的面积也最小. ∵点P在直线MN上运动， ∴OP⊥MN时，OP的值最小. 当OP⊥MN时，如图所示： ∵， ∴OP=6， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 【分析】连接，根据对称性可得，，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当OP⊥MN时，取得最小值，的面积最小，利用三角形的面积公式求出OP的长，即可得到面积的最小值. 13．【答案】； 【解析】【解答】解：（1）过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， 过点作，过点作，过点作交于点， 同（1）法可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】（1）过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案； （2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 14．【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求， （2）解：连接AD， ∵的周长是18， ∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18， ∴AC+BC=10， ∵直线DE为线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10. 【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可； （2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可. 15．【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据角平分线性质可得，由垂直平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案. （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 16．【答案】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，，结合的周长为19，的周长为7，可得，即可求解； （2）根据三角形内角和是180°求出，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解. 17．【答案】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， （2）解：垂直平分， ， ， ，， 周长为12． 【解析】【分析】（1）根据题意得到的大小，再根据垂直平分线的性质得到，，最后求出 的度数； （2）根据垂直平分线的性质得到，，最后求出周长即可. 18．【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【解析】【解答】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 【分析】 本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键. （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，结合AB=AC，化简即可得出答案． （3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由点D为中点，可知：，由，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：，即可得出答案． （4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由AB=AC，化简即可得出答案． 19．【答案】（1）55°-α；CG （2）解：CG=BG+2BF， 证明如下： 作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，如下图， 由对称的性质可得AB=AP，∠BAD=∠PAD，BF=PF， ∵AB=AC，∴AP=AC， 设∠BAD=∠PAD=β， ∵DAG=55°，∴BAG=∠DAG-∠BAF=55°-β， ∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β， ∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+β， ∴∠CAG=∠PAG， 在△CAG和△PAG中， ∴△CAG≌△PAG（SAS)，∴CG=PG ∵PG=PF+BF+BG=2BF+BG，∴CG=BG+2BF. 【解析】【解答】解：（1）① ∠CAG =∠BAC-∠EAD-BAD=110°-55°-α=55°-α； ②连接AB'， 根据对称性可得：∠B'AD=∠BAD=α， 又∠EAD=55°， ∴∠GAB'=55°-α， 又由①知：∠CAG =55°-α， ∴∠GAB'=∠CAG， 在和中：∵AC=AB=AB'，∠GAB'=∠CAG，AG=AG， ∴≌， ∴B'G=CG； 故答案为：CG； 【分析】（1）①根据角度的和差进行计算，即可得出答案； ②根据对称性可得∠B'AD=∠BAD=α，结合结论①，可得出∠GAB'=∠CAG，然后根据SAS可证明≌，得出B'G=CG；，即可得出答案； （2）CG=BG+2BF，作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，设∠BAD=∠PAD=β，仿（1）①可得∠CAG=55°+β，然后根据SAS证明≌，得出CG=PG，进而根据线段的和及对称的性质，得出CG=BG+2BF。 20．【答案】（1）＝ （2）解：①∵NO∥EF，PM∥EF， ∴NO∥PM， ∴∠ONM＝∠NMP， ∵∠PMN＝60°， ∴∠ONM＝∠PMN＝60°， ∵NO平分∠MNO， ∴∠ANO＝∠ONM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠NOM＝∠ANO＝60°， ∴α＝∠NOM＝60°； ②点N在G的右侧时，如图②， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α， ∵NO平分∠ANM， ∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α， ∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠ANO＝30°+α， 点N在G的左侧时，如图， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵NO平分∠MNG， ∴∠BNO＝ [180°﹣（60°+α）]＝60°﹣α， ∴∠MON＝60°﹣α， 综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α． 综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α． 【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作 ∴ ∵AB∥CD， ∴ ∴ ∴ 故答案为：=. 【分析】（1）过P点作根据平行线的性质可得进而可求出等量关系； （2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠NOM＝∠ANO＝60°，再利用平行线的性质可求解； ②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $