第五章 图形的轴对称（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版七年级下册

第5章 图形的轴对称 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2026年2月6日在米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行了第25届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项C的图案是轴对称图形． 2．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是掌握该定理． 利用两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 3．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 4．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 5．如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 6．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 7．如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 8．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 9．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法得，平分，再证明得到，接着利用平角的定义得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． ①证明与全等，即可得；②由角平分线的性质即可得；③证明与全等，即可得；④证明与全等，即可得． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，且，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ④在与中， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的是①②③④． 故选：D ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【答案】 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有种． 12．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 13．如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 15．如图，将一张长方形的纸片沿折叠，点到达点的位置．已知，，则______． 【答案】147 【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质得到，进而根据，得到，即可解答． 求解即可． 【详解】解：∵长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则________ ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，由折叠的性质可得，，结合平分，可得，设，则，再根据，列关于的一元一次方程，解方程求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 恰好平分， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 18．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 19．如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． (1)请作出对称轴及关于直线对称的； (2)如果每一个小正方形的边长为，则的面积为 ； (3)在直线上找到点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】（1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴和对称图形； （2）利用割补法计算三角形面积； （3）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，对称轴直线l及即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求， 根据轴对称的性质，， 此时最小． 22．如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 23．定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)①；②或 【分析】本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“差余角”的定义是解题的关键． （）根据“差余角”的定义即可求解； （）根据“差余角”的定义即可求解；存在．分三种情况根据“差余角”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“差余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； ②存在． 由折叠可得，，， 设，则， 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，，无解 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“差余角”；当时，为和的“差余角”． 24．综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 25．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章图形的轴对称 (高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.2026年2月6日在米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行了第25届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四 届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是() 专 2.某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A,B,C,D,现要在这四幢学生公寓之间建立 个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在() A.A和B之间 B.B和C之间 C.C和D之间 D.A和D之间 3.时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是() 15:50 A.12:20 B.02:21 C.15:50 D.05:51 4.如图是光的反射示意图，其中PO是入射光线，00是反射光线，法线K01MN.若∠1=50°，则∠2的 度数为() 反射面 N A.40 B.50° C.45° D.90° 5.如图，RtA ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取BE、BD,使BE=BD;分别以D、E 为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CB1内交于点F作射线F交4C于点G.若CG=1,P 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为AB上一动点，则GP的最小值为() P D A.无法确定 B. C.1 D.2 6.如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,若∠A=40°，则 ∠DBC的度数为() D A.40° B.30° C.70° D.25° 7.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上.若OD=6,△POD面积为9，则PC的长为() B D A A.2 B.6 C.3 D.9 8.如图，在正方形网格中，点A,B为格点，点P为直线1上的动点，则使PA+PB的值为最小的点是() …A◆ PPP A.P B.B C.R D.P 9.如图，以ABC的顶点A为圆心，以AB长为半径画弧，交AC边的延长线于点D.分别以点B、D为圆 心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点E,作射线AE,交BC于点F,连接DF,若∠AFC=66°， 则∠CFD的度数是() 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.46° B.48° C.58° D.68° 10.如图，0C平分∠A0B,下列结论：①若OP=OQ,则PM,=QM1;②若MP⊥OA,MQ2⊥OB, 则PM2=QM2；③若QB⊥OC,垂足为M3,则PM,=Q,M;④若OP=OQ4,则PM4=Q,M4;其中 正确的是() A P P3 ss P 0g1294B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形.不同 涂法有 种 12.如图，在ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F,过点A作AD⊥BC于点 D,且D为线段CE的中点，若ABC的周长为26，AF=5,则BD的长为一· B ED C 13.如图，ABC的面积为12，AB=5,AD平分∠BAC,若E,F分别是AC,AD上的动点，则 EF+FC的最小值是· 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F C E A 14.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段 BC上一动点，连接PE.若AD=8,则PE的最小值为 B D 15.如图，将一张长方形的纸片ABCD沿AF折叠，点B到达点B的位置.已知AB'∥BD,∠ADB=24°， 则∠AFC= D F 16.如图，三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边BC,AB,AC上，连接DE,DF,将BDE、 CDF分别沿DE、DF对折，使点B、C落在点B、C处，若B'D恰好平分∠EDC',且∠EDF=98°，则 ∠EDC'= B' B D 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，在ABC中，AB=AC,BD=CD,点P为射线AD上一点，连接PB,PC. 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AP⊥BC; (2)求证：PB=PC. 18.如图，在ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，点D在边BC上，且AD=DE,若∠ADE=∠B, CD=3BD,求CE的长. D 19.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.点F,G分 别在OA,OB上，DF=EG,连接PF,PG.求证：∠PF0=∠PG0, A 0 GB 20.如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F. (I)若aCMN的周长为18cm,求AB的长； (2)若∠ACB=120。,求∠MCN的度数， 21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC 关于直线1对称的图形为△A,B,C,其中A是A的对称点. 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请作出对称轴1及ABC关于直线I对称的△A,B,C; (2)如果每一个小正方形的边长为1，则ABC的面积为二； (3)在直线1上找到点P,使得PA+PB最小. 22.如图，ABC中，EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,AD⊥BC,垂足为D,且 AB=EC,连接AE. B D E (I)求证：点D为BE的中点： (2)若AC=10,ABC的周长为26，求CD的长： (3)若AC=a,CD=b,(其中a>b)求ABC的周长.（用含有a、b的代数式表示） 23.定义：如果有三个角，B,y,满足+B-y=90°，则称Y是和B的“差余角”. D B B B E B 图1 图2 (1)已知∠1=53°，∠2=62°，若∠3是∠1和∠2的“差余角”，则∠3= (②)现有一张正方形纸片ABCD,如图1所示，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合）.连接AE,将 纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B, ①若∠B'EC是∠AEB和LAEB的“差余角”，求∠AEB的度数。 ②再将此正方形纸片沿着B'E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C,如图2所示.试 探究点E在变动的过程中是否存在∠AEB,∠AEC',∠BEC'中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在， 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由。 24.综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最 后返回空间站B.为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径， 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线1的对称点B,连接AB',与直线1的 交点即为最优燃料点C,此时路径AC+CB最短 推理论证：如图3，在直线l上另取任意一点C,连接AC',BC',B'C',只要说明AC+CB<AC'+CB′即 可 证明：：直线1是点B,B的对称轴，点C,C在I上，.CB=-,CB'=-,AC+CB=AC+CB'=- :在△ACB'中，AB'<AC+CB',_<AC'+CB',即AC+CB最小. 陨石带 B 图1 图2 图3 图4 ()本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段 最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决.请补全上述推理论证： (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC.若点P在AD上移动，点Q在AC上移动，如何确定 PC+PQ的最小值？ 25.【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射.图1是光的反射示意图（反射角 等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点) 【尝试探究】 (1)如图2，OC为法线，入射光线与镜面AB所夹的锐角为∠AOM,反射光线与镜面AB所夹的锐角为 ∠BON,试探究∠AOM和∠BON之间的数量关系？并说明理由. 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法线 入射光线 反射光线 入射反射 角角， 入射点 平面镜 A B B 图1 图2 图3 B M M H B N 图4 图5 【结论应用】请用(1)中获得的结论解决以下问题： (2)如图3，平面镜MN∥PQ,点A在PO上，点B在MN上，光线AB被MN反射后再次被PO反射，入 射光线AB经过两次反射后的光线为CD,其中点C在PQ上，点D在MN上.请用无刻度的直尺与圆规补 全图3中的反射光线CD(不写作法，保留作图痕迹)， (3)如图4，两平面镜OA,OB相交于点O,入射光线MP经两个平面镜两次反射后的反射光线为QN, 若QN和PM相交，设交点为H.通过调整两个平面镜的夹角（∠AOB)的大小，可以改变反射光线OW的 方向.当PM⊥QN时（即∠PHQ=90°），求∠A0B的大小. (4)如图5，OM,ON为两个足够长的平面镜，若∠MON=10°，AB为一条入射光线，B为入射点，且 AB⊥OM,请问，入射光线AB经过 次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出. 8/8