第六章变量之间的关系单元检测培优卷2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册第六单元变量之间的关系单元检测培优卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．如图所示为底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八下·栾城期中）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： 篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系． 小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系． 李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系． 周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．用图象法依次刻画以上变量间关系，排序正确的是（　　） A．①—（1），②—（2），③—（3），④—（4） B．①—（1），③—（2），④—（3），②—（4） C．①—（1），③—（2），②—（3），④—（4） D．①—（1），④—（2），②—（3），③—（4） 3．（2024八下·大冶期末）如图，在长方形中，，，对角线，动点从点出发，沿运动，设点的运动路程为（），的面积为（）．若与的对应关系如图所示，则图中（　　） A． B．1 C．3 D．4 4．（2024八上·柯桥期末）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量单位时间注水的体积注水注满水后停止注水，那么下列图中能大致表示水的深度与注水时间之间关系的图象的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广西）激光测距仪 发出的激光束以 的速度射向目标 后测距仪 收到 反射回的激光束. 则 到 的距离 与时间 的关系式为（　　） A． B． C． D． 6．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图 所示， 他离家的路程为 ， 所经过的时间为 ．下列选项中的图象， 能近似刻画 与 之间关系的是（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙两个杯子的容量都是 ， 甲林盛满水， 乙杯是空杯， 现用 的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯． 设两个杯子的水量相差 ， 所用时间为 ， 则下列表示 与 之间函数关系的图象中， 正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025九下·瑞安开学考）已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：％）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则的值为（　　） A． B． C． D．3 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2024八上·顺德期末）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律　 　． 10．（2024七下·青羊期末）一个等腰三角形的周长为，设它的腰长为，底边长为，则与之间的关系式为　 　． 11．小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行.他们的路程差（米）与小文出发时间（分）之间的函数关系如图所示.有下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍③；④.其中正确的是　 　（填序号）. 12．（2023七下·锦江期末）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断D地水的沸点为　 　，与的关系式为　 　． 城市 A地 B地 C地 D地 E地 海拔（米） 0 300 600 1500 x 沸点（度） 100 99 98 m y 13．（2025·北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下： ···· A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 ···· D 14 38 62 86 110 134 ···· （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　 　分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　 　万元. 三、解答题（共7题，共61分） 14． 如图所示，等腰Rt△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右运动，最后点A与点N重合.试写出重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的关系式，并指出其中的常量与变量. 15．（2024七上·东乡区期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水/立方米 858 780 702 　 546 　 （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）请将上述表格补充完整； （3）设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的关系式（不要求写自变量范围）． 16．已知△ABC的底边长为a，底边上的高线长为h，则△ABC的面积为S=ah． （1）当h的值一定时，关系式中的常量是　 　，变量是　 　；当S的值一定时，关系式中的常量是　 　，变量是　 　 （2）根据第（1）题的结果，关于常量与变量，你能得出什么结论？举一个例子说明你的结论． 17．（2023八上·郑州开学考）将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为5cm． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 110 145 … （1）根据图，将表格补充完整． （2）设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？ （3）你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为2024cm？为什么？ 18．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (2)）我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？ 19．（华师大版数学八年级下册第十七章第一节17. 1变量与函数 同步练习）阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量． 一次乌龟与兔子举行500米赛跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先．当兔子以20米/分的速度跑了10分时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢!兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10米/分的速度匀速爬向终点.40分后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣，等它再以30米/分的速度跑向终点时，它比乌龟足足晚了10分 20．（2025七下·福田期末） 综合与实践——万花筒里的数学 【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律. 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称 【数学探究】 探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 为 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 . （1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 （不限作图工具）； （2） 像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于 的轴对称图形是像 ，像 关于 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 　 　 重合（填写“是”或“否”）. （3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 大小是 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的. 改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： 的度数x/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量y/个 8 6 4 3 ①在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式： . 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解： 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢 故答案为：D. 【分析】当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时，分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】根据题意可得： （1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮球高度先变大，再最小，最后变为0； （2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例的关系； （3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数的关系； （4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0， 综上，可得： ①—（1），④—（2），②—（3），③—（4）， 故答案为：D. 【分析】（1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮球高度先变大，再最小，最后变为0；（2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例的关系；（3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数的关系；（4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0，再求解即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：当点在上运动时，， 由图知，点沿运动到时，路程为 ， ． 故选：C． 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，先求出当点在上运动时，的面积，求得的值，再根据点沿运动到时的路程，列出关系式，求得的，将其代入代数式，进行计算，即可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状可知：水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先快后慢. 故选：C． 【分析】由图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，于是可得与的关系为先快后慢，结合各选项即可判断求解． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：激光束从射出到返回走了两个距离d，故. 故答案为：A 【分析】根据总路程为两个d，路程=速度×时间t，即可得到结论. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得s表示离家的路程，小聪从家出发去游玩，随着t的增大，s也增大，故选项CD可排除； 小聪步行10分钟到凉亭，在凉亭休息10分钟，又出发步行10分钟到公园，故10≤t≤20时，t=600，故排除B. 故 与 之间的函数图象如下： 故答案为：A. 【分析】根据题意知小聪从家出发去游玩，随着t的增大，s也增大，据此可判断选项CD；中途休息10分钟，s不随t的增加而增加，据此判断AB. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知，当x=0时，v=500； 当x=5时，v=0； 当x=10时，v=500. 故选项C符合题意， 故答案为：C. 【分析】根据开始时两个杯子的水量相差为500mL，5s时两个杯子的水量相同，即两个杯子的水量相差v为0mL，10s时两个杯子的水量相差为500mL，据此可得答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：观察图象知：快充每小时充电量为（%），慢充每小时充电量为（%），由题意列方程得： 解方程得： 故答案为：B. 【分析】因为快充2小时充了（100-20）%，所以每小时充电量为40%；同理慢充每小时充电量为%，由题意知，由起始的20%电量开始充电到用慢充充满电量共用8小时，则用慢充给手机充满电量用时为（8－2－a）小时，显然慢充的充电量等于正常使用a小时的耗电量，列方程为，解方程得. 9．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由题意可知，h=an+b， 故答案为：h=an+b. 【分析】根据总高度与杯沿高a，杯子底部到杯沿底边高b与杯子的数量n之间的关系进行计算即可. 10．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】∵等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为， ∴， ， 解得． 故答案为． 【分析】根据三角形的周长等于三角形三边之和可得等腰三角形的底边长周长腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边可得关于x的不等式组，解不等式组求出x的范围． 11．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：从图象可得小文步行9分钟后小亮出发，此时两人相距720米， ∴小文的速度为720÷9=80米/分钟； 小文出发15分钟时，小亮追上了小文， ∴小亮的速度为80×15÷（15-9）=200米/分钟， 而200÷80=2，5， ∴小亮的速度是小文速度的2.5倍，故②正确； ∵小文出发19分钟时，小亮先到达了青少年宫，故①正确； ∴学校距离青少年宫的距离为200×（19-9）=2000米， ∵小文出发a分钟后到达了青少年宫， ∴a=2000÷80=25，故③错误； ∵小文出发15分钟时，小亮追上了小文，小文出发19分钟时，小亮先到达了青少年宫， ∴b=200×（19-15）-80×（19-15）=480米，故④正确， 综上正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【分析】从图象可得小文步行9分钟后小亮出发，此时两人相距720米，据此可算出小文的速度；又小文出发15分钟时，小亮追上了小文，及小文15分钟所走的路程与小亮（15-9）分钟所走的路程一样，据此可算出小亮的速度，从而可判断②；小文出发19分钟时，小亮先到达了青少年宫，据此可判断①，且还能算出学校距离青少年宫的距离，再根据路程除以速度等于时间可算出a的值，从而可判断③；由小文出发15分钟时，小亮追上了小文，小文出发19分钟时，小亮先到达了青少年宫，可得b就是两人4分钟所走的路程差，据此计算可判断④. 12．【答案】95度； 【解析】【解答】解：由题意得海拔每上升300米，沸点降低1度， ∴D地水的沸点为95度， ∴与的关系式为， 故答案为：95度；； 【分析】先根据表格数据即可得到海拔每上升300米，沸点降低1度，进而结合题意即可求解。 13．【答案】（1）B （2）157 【解析】【解答】解：（1）当n=2时， A经销商的利润为60，比n=1时增加60-40=20（万元） B经销商的利润为55，比n=1时增加55-30=25（万元） C经销商的利润为40，比n=1时增加40-20=20（万元） D经销商的利润为38，比n=1时增加38-14=24（万元） ∵25>24>20. ∴应向经销商B分配2台设备 故答案为：B （2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元）， 当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元)， 当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元. 故答案为：157 【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案. （2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案. 14．【答案】解：由题意知，开始时点A与点M重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM=x， ∵∠BAC=45°， 即 （0<x≤10）， 其中的常量为等腰Rt△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm， 变量为重叠部分的面积y与MA的长度x 【解析】【分析】根据题意知阴影部分是一个等腰直角三角形，从而利用MA的长度xcm表示阴影面积y即可，再根据“在数学中，常量亦称常数，是反映事物相对静止状态的量；变量亦称变数，是反映事物运动变化状态的量”找出常量和变量. 15．【答案】（1）放水时间，游泳池的存水； （2）624，468； （3）． 【解析】【解答】（1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水； （2）根据每小时放水78立方米，完成表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 （3）与的函数关系式为：． 【分析】（1）根据题中表格信息可知游泳池的存水随着放水时间发生变化，即自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水进行计算，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． （1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水； （2）根据每小时放水78立方米，完成表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 （3）与的函数关系式为． 16．【答案】（1），h；S，a；，S；a，h （2）解： 根据第（1）题的结果可得：常量与变量在一个过程中是相对存在的， 如s=vt（s代表路程，v代表速度，t是运动时间）中，当速度v一定时，s随t的变化而变化，即常量为v，变量为s与t； 当s一定时，t随v的变化而变化，即常量为s，变量为t与v. 【解析】【解答】解：（1） △ABC的面积S=ah中， 当h的值一定时，就是说h为固定长的意思，关系式中的常量是，h，变量为s与a； 当S的值一定时，关系式中的常量是，S，变量是a，h； 故答案为：，h；S，a；，S；a，h； 【分析】（1）在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，一直保持不变的量是常量，h的值一定，可看成常量，从而可得答案； （2）常量与变量在一个过程中是相对存在的. 17．【答案】（1） 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 40 75 110 145 180 … （2）解：根据题意和所给图形可得出：y＝40x-5（x-7）＝35x+5． （3）解：不能．理由如下： 令y＝2024得：2024＝35x+5， 解得：x≈57.3． ∵x为整数， ∴不能使黏合的纸片总长为2024cm． 【解析】【解答】解：（1）根据题意得两张白纸粘合后的长度为 五张白纸粘合后的长度为 故答案为：75，180. 【分析】（1）根据题上所给的图形以及题意即可求出答案； （2）根据图形以及题意即可列出方程； （3）将y=2024代入式中求得x，看x是否为整数即可. 18．【答案】解：由题意得，常量为数值始终不变的量，有：2，0.5；变量为数值发生变化的量，有：x，y． 【解析】【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 19．【答案】解答：500米、乌龟的速度10米/分等在整个变化过程中是常量，兔子的速度是变量． 【解析】【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题 20．【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求； （2）是 （3）①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）. 【解析】【解答】（2）解：因图形关于镜面对称，且，通过对称变换可知，像与像能重合. 故答案为：是 . （3）解：①自变量是的度数（或 ），因变量是观察到的图形数量（或 ）. ②，故表格填 . ③由规律得（或 ）. 故答案为：①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ） 【分析】（1）运用轴对称图形的作图方法，找到顶点对称点并连接，核心是轴对称性质的应用. （2）基于轴对称的对称性，分析多次对称后图形的重合情况，关键是理解对称变换的规律. （3）识别自变量与因变量（主动变化与被动变化的量 ），通过除以张角度数得图形数量，总结出关系式，重点是规律观察与归纳. 学科网（北京）股份有限公司 $