精品解析：2026年天津市宁河区部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必把答案涂写在“答题卡”上，答案在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵有理数乘法法则为，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘， ∴． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的概念进行分析即可． 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形， 符合题意的主视图为A． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先找出与19相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导出的范围即可； 【详解】解： ，即 不等式各项同时减得 即 因此的值在和之间； 4. 窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得： A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 5. 据2026年2月25日《天津日报》报道，据国家电影局统计，今年的“史上最长春节档”总票房为5752000000元，将数据5752000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义确定a和n的值，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n的值等于原数的整数位数减1． 【详解】解：∵ 5752000000是10位整数， ∴，， ∴． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的解析式计算出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得， ，，， ∵， ∴． 8. 《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设醐酒有x斗，则清酒有斗，根据题意和题目中的数据，即可列出方程． 【详解】解：设醐酒有x斗，则清酒有斗， 根据题意，可列方程为． 故选：A． 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意中尺规作图可知是的垂直平分线，从而，再由，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得出，从而利用补角的定义得出结果． 【详解】由作图痕迹可知，为的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到，记交于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转得，可知为等腰三角形，仅当旋转角时才为等边三角形，故A选项错误；由、证，得、，结合等腰三角形性质得，利用对顶角证，得，进而判断，故B选项错误；由，判断与不平行，故C选项错误；利用三角形内角和与，推出，故D选项正确． 【详解】解：选项A：由旋转可知， ∴为等腰三角形， 只有旋转角为时，才是等边三角形， 故A选项错误，该选项不符合题意； 选项B：∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故B选项错误； 选项C：∵， ∴不可能平行于， 故C选项错误，该选项不符合题意； 选项D：∵，， ∴， 故D选项正确，该选项符合题意． 12. 如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，总共有11种等可能的结果，取出的球是绿球的结果有5种，根据概率公式，可得取出绿球的概率为． 14. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 计算：______． 【答案】16 【解析】 【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 16. 若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是_______．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围，进而即可求解． 由一次函数图象经过第一、二、四象限，可知在范围内确定k的值即可． 【详解】解：因为一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限， 所以 所以k可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 17. 如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 【答案】 ①. ##0.125 ②. 8 【解析】 【分析】由题可知，，则，又E为的中点，则，进而可求；先证为等边三角形，再取的中点为，连接，设，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，， ， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∵为的平分线， ∴，，． 如图，取的中点为，连接， ∵E为的中点，H为的中点， ∴，， ∴，， ∴，． 又∵，， ∴， 设，则． ∵，， ∴． ∵， ∴．在中，由勾股定理得， ∴，解得，（舍去）， ∴， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，均在格点上，点为小正方形网格线的中点． （1）线段的长为________； （2）经过点，的与交于点，点为劣弧的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 ①. ②. 如图①，取格点，，连接，交网格线于点，，分别为与网格线的交点，连接，，与交于点，连接，交于点；设与网格线的交点为，连接并延长交于点，则点，即为所求． 如图②，取点，则点为的中点， ∵点为小正方形网格线的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴为的直径， ∴与的交点为圆心； 设弦交网格线于点，则点为弦的中点， ∴的延长线与的交点为的中点． 【解析】 【分析】（1）根据网格确定点与点的水平距离为、垂直距离为，直接用勾股定理计算出线段的长度即可； （2）利用“圆周角所对的弦是直径”的性质，分别作出圆的两条直径和，两条直径的交点即为圆心，接着找到弦的中点，根据垂径定理，连接并延长交劣弧于点，该点即为劣弧的中点． 【详解】解：（1）． （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组； 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2） （3） 数轴如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法进行计算即可； （2）根据一元一次不等式的解法进行计算即可； （3）将（1）和（2）得不等式表示在数轴上即可； （4）根据数轴判断解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由数轴可知，不等式组的解集为． 20. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中m的值为__________，统计这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是及以上的人数． 【答案】（1）40，25，4，4 （2）3.95 （3）140人 【解析】 【分析】（1）根据的人数和百分比可求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周使用大模型学习的时间是及以上的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴，即， 统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数是4，中位数是． 【小问2详解】 解：∵， ∴统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数是3.95． 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是以上的人数为140人． 21. 在中，为的直径，C为上一点． （1）如图①，D为劣弧上一点，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的垂线，交于点H，交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，连接，，若，，求的长度． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先通过圆心角定理得出，再根据直径所对圆周角为直角得出，最后利用圆内接四边形的性质得出结果； （2）由垂径定理得出，继而证得是等边三角形，利用同弧所对圆周角相等得到，从而求得的度数；连接OE，证得是等边三角形，得出，由切线的性质得出，利用解直角三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 如解图①，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为的直径，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 如解图②，连接OE， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 22. 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． （1）计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） （2）计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 【答案】（1）无人机从地面起飞到H点的高度约为6米 （2）28米 【解析】 【分析】（1）过D点作于点G，交线段于点M，则， ，在中，可得到米，即可； （2）过H点作于点F，则，， 在中，可得，从而得到．在中， 利用，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过D点作于点G，交线段于点M，则， ． 在中，米，， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米； 【小问2详解】 解：过H点作于点F，则，， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ， 即， 解得（米）． ∴（米）． 答：天津西站小洋楼的高度约为28米． 23. 已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①0.16，0.8，2.4；②0.12；③； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据图象信息完善表格即可；②由路程除以时间可得答案；③分情况求解函数解析式即可. （2）求解，结合，分情况讨论即可. 【小问1详解】 解：①∵， ∴填表如下： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②∵， ∴小天从体育馆返回家的速度为； ③当时，小天匀速骑行的速度为； ∴； 当时，； 当时， 设，将点，代入， 得， 解得， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解： ∵小天妈妈的速度为， ∴设，将代入得， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，矩形CDEO的顶点，，顶点D在第二象限． （1）填空：如图①，点A的坐标为_______，点D的坐标为________； （2）将矩形CDEO沿水平方向向右平移，得到矩形，点C，D，E，O的对应点分别为．设． ①如图②，若边分别与边AO，AB相交于点M，N，边与边相交于点Q，当矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1），； （2）①，；②． 【解析】 【分析】（1）如图①，过点A作于点H．求解．可得．求解．可得． （2）①求解，可得．．如图，过点N作于点T，在中，求解，可得．②分情况讨论：情形1：当时，如图③，设与OA交于点S，重叠部分为，情形2：当时，如图④，设与交于点，重叠部分为梯形，情形3：当时，如图，重叠部分为五边形：可得当时面积最大，最大值为，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图①，过点A作于点H． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴，． ∴． ∴点A在第一象限， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴轴，轴， ∵，， ∴， ∴． ∵顶点D在第二象限， ∴． 【小问2详解】 解：①∵矩形是由矩形沿水平方向向右平移得到的， ∴矩形矩形， ∴， ∴． ∴， ∴． 在中，由， ∴， ∴． 如图②，过点N作于点T，在中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ②情形1：当时，如图③，设与OA交于点S，重叠部分为， ∵， ∴， ∴； 情形2：当时，如图④，设与交于点，重叠部分为梯形：，，， ∴， ∴； 情形3：当时， 如图②，重叠部分为五边形： ∵， ∴ ， ∵二次项系数，， ∴当时面积最大，最大值为， ∴． 综上，S的取值范围为． 25. 已知抛物线（a为常数，）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，为第二象限一点． （1）若，， ①求该抛物线顶点P的坐标； ②当时，求n的值； （2）E为y轴上一点（不与点C重合），且点E的纵坐标大于或等于，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接．若四边形是菱形，且取得最小值时，求点Q坐标． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入抛物线解析式，再将抛物线解析式化为抛物线顶点式即可得出结果； ②过点A作x轴的垂线与交于点D，先分别求出点A，B，C的坐标，从而得到，的距离，求出的面积，根据设出点Q的坐标，由列出面积的表达式，从而求得点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得出n的值； （2）将转化为顶点式，得出点P的顶点坐标表达式，从而求得对称轴，设，则，令，求得点A的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，将向左平移1个单位得到，连接，当三点共线时，的值最小，利用菱形的性质，待定系数法求出直线的解析式，将点F代入求出，再代入得，求出a的值，进而得出e的值，最终可求得点Q的坐标． 【小问1详解】 解：①∵， 当时， ， ∴． ②如解图①，过点A作x轴的垂线与交于点D， 令，得， ∴， 令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得 直线的解析式为， 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴，对称轴为直线， ∴， 设，则，， 当时，，得，， ∴， 如解图②，作点A关于y轴的对称点，连接，将向左平移1个单位得到，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵当三点共线时，的值最小， 由菱形性质可得，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ∴直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必把答案涂写在“答题卡”上，答案在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 据2026年2月25日《天津日报》报道，据国家电影局统计，今年的“史上最长春节档”总票房为5752000000元，将数据5752000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 8. 《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到，记交于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 14. 计算的结果为_________． 15. 计算：______． 16. 若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是_______．（写出一个即可）． 17. 如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，均在格点上，点为小正方形网格线的中点． （1）线段的长为________； （2）经过点，的与交于点，点为劣弧的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组； 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 20. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中m的值为__________，统计这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是及以上的人数． 21. 在中，为的直径，C为上一点． （1）如图①，D为劣弧上一点，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的垂线，交于点H，交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，连接，，若，，求的长度． 22. 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． （1）计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） （2）计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 23. 已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，矩形CDEO的顶点，，顶点D在第二象限． （1）填空：如图①，点A的坐标为_______，点D的坐标为________； （2）将矩形CDEO沿水平方向向右平移，得到矩形，点C，D，E，O的对应点分别为．设． ①如图②，若边分别与边AO，AB相交于点M，N，边与边相交于点Q，当矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（a为常数，）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，为第二象限一点． （1）若，， ①求该抛物线顶点P的坐标； ②当时，求n的值； （2）E为y轴上一点（不与点C重合），且点E的纵坐标大于或等于，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接．若四边形是菱形，且取得最小值时，求点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $