精品解析：北京市海淀区教师进修学校附实验学校学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025－2026学年度第二学期期中练习初二数学 考生须知 1.本卷共6页，包括三个大题，26小题，满分为100分．练习时间90分钟． 2.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）． A. 2.5 B. C. 3 D. 6. 如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（ ）     A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 8. 如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上、小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C. 报亭到小亮家的距离是400米 D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟 9. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（ ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，在中，分别是的中点，连接．若，则_____． 13. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 14. 李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 15. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18－19题，每小题4分，第20－24题，每小题5分，第25题7分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求 20. 已知，，求代数式的值． 21. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 22. 尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线，使得，且直线经过点． 作法： ①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；②分别以点，点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）； ③经过，两点作直线． 直线就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． _____， 四边形是_____（填“矩形”“菱形”或“正方形”）． （______________________________________）（填推理的依据） ． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小宏根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_____； （2）下表是与的几组对应值． … －3 －2 －1 － 13 12 1 2 3 … … 0 0 … 则_________，_____； （3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：_____ 25. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）求证：； （2）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． （1）在点中，矩形的矩宽点是_____； （2）若为矩形的矩宽点，求的值； （3）已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中练习初二数学 考生须知 1.本卷共6页，包括三个大题，26小题，满分为100分．练习时间90分钟． 2.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 2. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一验证各选项的正确性，利用二次根式的运算规则和性质进行判断即可． 【详解】解∶A．，故原计算正确． B．，故原计算错误． C．，故原计算错误． D．，故原计算错误． 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； B.对于每一个x的值，都有唯一确定的y与其对应，符合题意； C.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； D.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意． 5. 如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）． A. 2.5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理计算出的长，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是． 6. 如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由勾股定理可得，进而由三角形中位线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 7. 如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（ ）     A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，A选项正确，故本选项不符合题意； ， 平行四边形是菱形，B选项正确，故本选项不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 平行四边形是正方形，C选项正确，故本选项不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ，四边形是平行四边形， 都只能证明平行四边形是菱形，D选项错误，故本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上、小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C. 报亭到小亮家的距离是400米 D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意； B. （米/分钟）， 即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式以及勾股定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， 根据题意得，， 即， ∴，，且， ∴，， ∵， ∴， 综上，正确选项为②③④． 10. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（ ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；由题意得，，，可得六边形的周长，从而判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q，利用含30°角直角三角形的性质和勾股定理，得到，若四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①符合题意； ∴， 根据题意得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②符合题意； 由题意得，，， 则六边形的周长为，故③不符合题意； 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q， ， ， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，能够熟练掌握这些知识点是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 12. 如图，在中，分别是的中点，连接．若，则_____． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长度，然后根据三角形的中位线定理求解即可. 【详解】解：∵在中，为斜边的中点，， ∴， ∵分别是的中点， ∴. 13. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 14. 李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过推理即可求解； （）通过推理即可求解． 【详解】解：（）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线最合适，零件生产天共个，零件生产天共个，天正好可以生产 个， 故答案为：； （）整体比较各条流水线的产能， ，， ， 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 产能最高的流水线，负责调配差额，讨论可得，天生产个，天生成个， 综上可得，天共生成个零件， 故答案为：． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18－19题，每小题4分，第20－24题，每小题5分，第25题7分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为9． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求 【答案】 【解析】 【分析】连接．在中，勾股定理求得，进而证明为直角三角形，且，根据即可求解． 【详解】解：连接． 在中，， ∵，， ， ∵，， ∴ ∴． 为直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线是解题的关键． 20. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，因式分解的应用，先求出，，然后把因式分解为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 21. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 22. 尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线，使得，且直线经过点． 作法： ①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；②分别以点，点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）； ③经过，两点作直线． 直线就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． _____， 四边形是_____（填“矩形”“菱形”或“正方形”）． （______________________________________）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）；菱形；四条边相等的四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据四条边相等的四边形是菱形可证明四边形是菱形，由菱形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接． ， 四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形） ． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小宏根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_____； （2）下表是与的几组对应值． … －3 －2 －1 － 13 12 1 2 3 … … 0 0 … 则_________，_____； （3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：_____ 【答案】（1） （2）， （3） 函数图象如图所示； （4）当时，y随x的增大而增大  【解析】 【分析】（1）因为分式的分母不能为0，所以对于函数，可直接确定自变量的取值范围． （2）将、分别代入函数表达式，即可求出、的值． （3）因为已经有了多组对应点，所以按照函数图象的绘制方法，用平滑曲线连接这些点即可得到函数图象． （4）因为可以从函数的对称性、增减性、最值等角度分析，所以结合画出的函数图象，选取一个角度总结函数的性质． 【小问1详解】 解：分式中分母不能为0，该函数分母为，因此自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：将代入​，得​； 将代入​，得． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当时，y随x的增大而增大 ．（合理即可，也可写：函数图象关于原点中心对称；当时，随的增大而增大；函数图象位于第一、三象限等） 25. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）求证：； （2）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 如图所示，延长分别交于点O，交的延长线于点K，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵点G为的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，则可证明，，进而可得，再由垂线的定义得到，则，据此可证明结论； （2）①根据题意作图即可；②延长分别交于点O，交的延长线于点K，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明；证明和都是等腰直角三角形，推出，证明，得到；证明为的中位线，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． （1）在点中，矩形的矩宽点是_____； （2）若为矩形的矩宽点，求的值； （3）已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 【答案】（1）D、F； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）由题意先求解矩形的矩宽点满足的方程及函数解析式，可得矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，分别求出直线经过D、E、Q、R、K时的n的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴点D是矩宽点， 如图，显然不是矩宽点， 如图， ∴， ∴点F是矩宽点； 【小问2详解】 解：如图， ∵为矩形ABCO的矩宽点， ∴或或或， 解得或或或， 经检验不符合题意，舍去，不符合题意，舍去， ∴或； 【小问3详解】 解：如图中由题意可知，矩形的矩宽点满足的方程为： 或或或 整理得： 所以矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，， 观察图象可知当直线与线段、、、有交点时，直线上存在矩形的矩宽点， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当直线经过点E时，，解得， 当直线经过点Q时，，解得， 当直线经过点K时，，解得， 当直线经过点R时，，解得， 当直线经过点D时，，解得， 综上所述，满足条件的n的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $