精品解析：2026年山东临沂市平邑县九年级综合训练模拟试题(一) 数学

2026年九年级综合训练模拟试题（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 四个有理数、、0、，其中比小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较即可得出答案． 【详解】解：， 其中比小的是． 故选：A． 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， 与不是同类项，无法合并，则D不符合题意， 故选：C． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知，下列说法正确的是（ ） A. 点是点P的“倍增点” B. 若直线上的点Q是点P的“倍增点”，则 C. 若双曲线上的点Q是点P的“倍增点”，则 D. 抛物线上存在两个点是点P的“倍增点” 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、反比例函数、一次函数图象上的点的坐标等知识点，掌握“倍增点”的定义是解题的关键． 依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断A选项；设满足题意得“倍增点”Q为，从而可以求得，进而可以判断B选项；设满足题意得“倍增点”Q为，从而可以求得，进而判断C选项；设抛物线上的“倍增点”为，从而可以求得，进而判断D选项． 【详解】解：A.依据题意，由“倍增点”的意义， ∵， ∴点是点P的“倍增点”不是点的“倍增点”,即A选项不符合题意． B.由题意，可设满足题意得“倍增点”Q为， ∴,解得：． ∴．故B选项错误，不符合题意； B.由题意，可设满足题意得“倍增点”Q为， ∴,解得：（舍弃）或2． ∴，故C选项正确，符合题意； D.设抛物线上的“倍增点”为， ∴，解得：，则 ∴此时满足题意的“倍增点”为1个，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 12. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 13. 如图，在，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，交于点．若，，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】设与的交点为，作于点，设，则，使用勾股定理计算出，由角平分线定理可得，利用面积法可计算出．由垂直平分线的性质可得，，，则，容易证明，则，因此． 【详解】解：如图，设与的交点为，作于点，设，则， 在中，， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接． 点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为： 15. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 三、解答下列各题（满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 【答案】 证明：∵是由翻折得到的， ∴． ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．即． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，．由平行四边形的性质可得，．证明，得出，即可推出，即可得证． 【详解】略 18. 如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知，，，，求手机支撑点到水平面的距离．（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用正弦求出，然后求出，用余弦求出，再求出即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 故手机支撑点到水平面的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，角的和差，线段的和差等知识点，解题关键是构造直三角形求解． 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是__________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为__________人； （4）请为做好近视防控提一条合理的建议． 【答案】（1）抽样调查 （2） （3） （4）①认真做眼保健操；②每隔一定时间，看向远处，放松双眼；③膳食营养要均衡，保证足量的维生素的摄入（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查和普查的特征进行判断即可； （2）根据中位数的定义进行计算即可； （3）先计算样本中右眼视力不良的学生人数，根据其在样本中的占比，乘以全校八年级的学生数即可； （4）根据实际生活经验进行建议即可． 【小问1详解】 解：根据题意，收集的是部分学生的视力数据， ∴调查方式为抽样调查； 【小问2详解】 解：将这组数从小到大排列为：、、、、、、、、， 一共个数，且第个数为， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：根据表格可知，样本中右眼视力不良的学生有（人）， （人）， ∴该校八年级右眼视力不良的学生约为人； 【小问4详解】 ①认真做眼保健操；②每隔一定时间，看向远处，放松双眼；③膳食营养要均衡，保证足量的维生素的摄入（言之有理即可）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 21. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，等腰三角形判定及性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，能熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 22. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 【答案】（1） ①如图1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ② （2） 证明：如图3， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】①证明，得出，再证出，即可得出； ②如图2，连接．交于点．证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，证明，得出，即可求解． （2）证明，得出，再证明，得出，证明，即可证明． 【小问1详解】 解：①略 ②如图2，连接．交于点． 四边形是正方形， ， 点、分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定等知识，用到的知识点较多，难度较大，属于中考压轴题． 23. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； （2）若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； （3）若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求出函数的解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，因此抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，从而得到不等式，求解即可； （3）分类讨论，当时，随的增大而减小，则，，结合，求出的值；当时，同理，，并求出的值；当时，在顶点处取到最小值，再分为和两类，对应的或，解方程并删去不符合题意的根即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴在处，取得最大值，即；在处，取得最小值，即， ∵， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ②当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴在处，取得最小值，即；在处，取得最大值，即， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时，此时区间包含对称轴， ∴在处，取得最小值，即， 由（2）可知，离直线越近，函数值越小， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 当时， ∵。 ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 综上所述，的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级综合训练模拟试题（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 四个有理数、、0、，其中比小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知，下列说法正确的是（ ） A. 点是点P的“倍增点” B. 若直线上的点Q是点P的“倍增点”，则 C. 若双曲线上的点Q是点P的“倍增点”，则 D. 抛物线上存在两个点是点P的“倍增点” 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 12. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 13. 如图，在，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，交于点．若，，则的长为__________． 14. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为__． 15. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 三、解答下列各题（满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 18. 如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知，，，，求手机支撑点到水平面的距离．（精确到）（参考数据：，，，，） 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是__________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为__________人； （4）请为做好近视防控提一条合理的建议． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 21. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 23. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； （2）若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； （3）若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $