专题 11.5 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学不等式与不等式组核心知识点，从不等式定义切入，通过基本性质构建解法基础，系统梳理一元一次不等式、不等式组的求解步骤，进而延伸到实际应用，形成“定义-性质-解法-应用”的完整学习支架。 资料特色在于知识梳理与题型精析深度结合，10类题型覆盖基础判断到综合应用，例题与变式训练培养学生抽象能力（数学眼光）和推理能力（数学思维），应用题型如分配、方案选择问题助力用数学语言表达现实问题。同步检测全面，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 11.5 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【知识点二】不等式的基本性质 1 【知识点三】一元一次不等式解法 2 【知识点四】解一元一次不等式组 2 【知识点五】解一元一次不等式组的应用 2 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 3 【题型 2】利用不等式的性质的运用 4 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 6 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 8 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 10 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 13 【题型 7】已知不等式组的解集，求参数的值或范围 15 【题型 8】分配问题（物品或人员分配） 18 【题型 9】方案选择问题（租车、购物、进货） 21 【题型 10】最值问题（最多、最少、不低于、不超过） 25 二.同步检测 30 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【知识点三】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【知识点四】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【知识点五】解一元一次不等式组的应用 解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 【例题1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 解：由题意得：且， 解得：且， ． 【题型 2】利用不等式的性质的运用 【例题2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）证明：当时，． 【答案】见分析 【分析】根据不等式的性质可得，则，据此可证明结论． 解：证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况． 解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确； C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误； D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是_____． 【答案】 【分析】先对原不等式进行化简变形，通过移项合并同类项，得到关于的系数，再根据系数的正负性来确定的取值范围． 解：原不等式进行移项：， 提取公因式并化简： ， 两边同时除以： ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了不等式的基本性质和代数式化简．解题关键是通过化简消去含参数的项，再利用不等式两边同乘（或同除）负数时不等号方向改变的性质，确定的取值． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 （1）上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变；（2）见分析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 解：（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 【例题3】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）按要求完成下列各题： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；数轴见详解；（2）；数轴见详解 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集表示在数轴上． 解：（1）解： 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 数轴表示如图： （2）解： 去分母： 去括号：， 移项：， 合并同类项：． 数轴表示如图： 【变式1】（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 解：∵， ∴， ∴， 不等式的解集在数轴上表示为：． 【变式2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）仔细观察以下解不等式的过程，并回答相应问题． 解：去分母，得第一步， 去括号，得 第二步， 移项，得  第三步， 合并同类项，得第四步， 系数化为1，得第五步， （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； （2）第 步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； （3）画出数轴并在数轴上表示出该不等式的正确解集． 【答案】（1）2，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；（2）五，3，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；（3）见分析 【分析】本题考查不等式的性质、在数轴上表示不等式的解集， （1）根据不等式的性质2求解即可； （2）根据不等式的性质3求解即可； （3）根据不等式解集在数轴的表示方法求解即可． 解：（1）解：以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质2，其内容是不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变， 故答案为：2，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变． （2）解：由题意得，第五步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质3，其内容是不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：五，3，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． （3）解：将解集表示在数轴上如图： 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 【例题4】（24-25七年级下·天津·月考）已知关于的方程的解为非负数，求的范围． 【答案】． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式组的解法．先求出关于的方程的解，然后根据题意可列不等式进行求解即可． 解：， 解得， ∵方程的解为非负数， ∴， 解得． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·月考）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用加减法可得，从而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 解：， ①②得：， ， ， ， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 解：解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）关于x，y的方程组． （1）解方程组（含m的式子表示解）； （2）方程组的解满足，求m的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）将（1）的解代入，解关于m的不等式即可． 解：（1）解：， 得，解得:， 把代入①得，解得:， 所以方程组的解为． （2）解：∵，而， ∴，解得，即m的取值范围为． 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式等知识点，灵活运用相关计算方法是解答本题的关键． 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”，确定公共部分，再在数轴上表示出来，注意在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈． 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集为： 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·月考）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a的值为______． 【答案】2 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，据此列出不等式组，再求不等式组的解集，最后确定a的整数值即可解答． 解：∵点在第二象限内， ∴，解得：， ∵纵、横坐标均为整数， ∴a为整数，即． 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1），数轴上表示解集见分析；（2）不等式组的整数解为． 【分析】（1）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，将解集在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，求出不等式组的公共整数解即可． 解：（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： （2）解：原不等式组可化为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 【例题6】（2026九年级下·重庆永川·专题练习）求不等式组：的所有整数解之和． 【答案】27 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后确定所有的整数解，最后求和即可． 解： ， 解不等式①得:， 解不等式②得:， 所以不等式组的解集为: ， 所以该不等式组的所有整数解为: ，0，1，2，3，4，5，6，7， 所以该不等式组的所有整数解的和为． 【变式1】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解得知识点，首先确定不等式组的解集，然后在解集范围内找出符合条件的整数解有几个．注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集，再找出在这范围内的整数． 解：， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共3个， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组的所有整数解的和为_________． 【答案】7 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 解：首先解不等式组： 解不等式①： ． 解不等式②： ． 故：． 满足的整数为，． ∴整数解的和． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的应用，解题关键是准确求出每个不等式的解集，找到公共解集后，再确定其中的整数解并求和． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，数轴见分析，9． 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再在数轴上表示解集，最后找出所有整数解并计算它们的和． 解：①解不等式①： ． ②解不等式②： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和 ∴不等式组的解集为． ④在数轴上表示解集： ⑤求整数解并求和： 解集中的整数解为：． 整数解的和为：． 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法、数轴表示解集以及整数解的求和，解题关键是准确求解每个不等式，正确确定公共解集，并在数轴上规范表示． 【题型 7】已知不等式组的解集，求参数的值或范围 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 （1）若这个不等式组有解，求a的取值范围． （2）若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 解：（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式1】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 【变式2】（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组 （1）当时，这个不等式组的解集为_______； （2）若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，求出结果即可 （2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可． 解：（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组的解集为； （2）解：解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的整数解为、0， 则， 解得． 【题型 8】分配问题（物品或人员分配） 【例题8】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件；（2）至少需要购买67个“滨滨”摆件；（3）能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 解：（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 【题型 9】方案选择问题（租车、购物、进货） 【例题9】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． （1）该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ （2）若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元；（2）共有3种建造方案，方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场；方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场；方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 【分析】（1）设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元，根据“新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元”列方程组求解即可； （2）设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场，根据“该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量）”列方程组求出a的取值范围，进而得到a的取值，即可得到所有方案． 解：（1）解：设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该公司新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元； （2）解：设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 可以为0，1，2， 共有3种建造方案， 方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场； 方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场； 方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）为迎接2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，某初中开展了以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买两种奖品，两种奖品都要买，已知种奖品每件15元，B种奖品每件10元，则共有几种购买方案？（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程，以及不等式的应用，设分别购买两种奖品件，根据题意得到，再结合题意推出为正整数，据此分析求解，即可解题． 解：设分别购买两种奖品件， 根据题意得， 两种奖品都要买， 为正整数， 根据整理得， 有，，且为整数，即为的倍数， 解得， ，且为的倍数， ， 共有种购买方案， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用． 设船数为条，学生数为人．根据第一条条件，每条船坐 4 人则 2 人无船坐，可得 ．根据第二条条件，每条船坐6人则空一条船，还有一条船不空也不满，可得 ，其中 ．联立方程解得 ，代入不等式 求解，可得或． 解：设船数为条，学生数为人． 由“每条船坐4人，则2人无船坐”可得：， 由“当每条船坐6人时，空一条船，还有一条船不空也不满”，设不空也不满的船上有名学生，可得：，其中， 联立方程：， 即， 由，得：， 解得：， 由于为整数，因此 或 ． 故答案为：5或6． 【变式3】（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． （1）求甲、乙商品每件各多少元？ （2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【答案】（1）甲商品每件17元，乙商品每件12元；（2）①最多可采购甲商品20件；②方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件，方案三：甲商品18件，乙商品12件，方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【分析】（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①设采购甲商品m件，根据题意可以列出相应的不等式，进一步可得答案，②结合①与购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，建立不等式组解题即可． 解：（1）解：设甲商品每件x元，乙商品每件y元， ， 解得，， 即甲商品每件17元，乙商品每件12元； （2）解：①设采购甲商品m件， ， 解得，， 即最多可采购甲商品20件； ②由题意可得， ， 解得，， ∴购买方案有四种， 方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件， 方案三：甲商品18件，乙商品12件， 方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【题型 10】最值问题（最多、最少、不低于、不超过） 【例题10】（2025·黑龙江牡丹江·二模）某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． （1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种纪念品每件的进价为 80 元，乙种纪念品每件的进价为 40 元；（2）共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件；（3）甲购进 44 件，乙购进 56 件时，可获最大利润 1992 元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元，再根据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元建立方程组求解即可； （2）设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件，根据购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元列出不等式组求解即可； （3）可求出每件甲纪念品的利润大于每件乙纪念品的利润，则甲越多，利润越大，据此求解即可． 解：（1）解：设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种纪念品每件的进价为80元，乙种纪念品每件的进价为40元； （2）解；设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件． （3）解：， ∴每件甲纪念品的利润比每件乙纪念品的利润大， ∴甲纪念品越多，总利润越大， ∴甲购进 44 件，乙购进 56 件时获利最大，最大值为元． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 （1）该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； （2）该个体户能够获得的最大利润是多少？ （3）若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】（1）有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套；（2）665元；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，根据预计投资不少于1800元，但不超过1830元建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案； （2）根据计算出一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润大，则A款T恤越多，利润越大，据此确定利润最大的方案，并计算出最大利润即可； （3）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，用含a、x的式子表示出总利润，根据利润不变可知利润的值与x值无关求解即可． 解：（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵， ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高， ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为（元）， ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·月考）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． （1）甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ （2）若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元；（2）共3种采购方案；（3）实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键． （1）设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，由购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a,为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 解：（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元． （2）设购买甲型a块，依题意，得 ， 解得， ∵a，为整数 ∴a的取值为，共3种采购方案． （3）当时，（万元）； 当时，（万元）； 当时，（万元）． ∴当时，，则（万元）． 答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【变式3】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元；（2）1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 解：（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 二.同步检测 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·河南安阳·月考）下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式，根据不等式的定义，用不等号（如＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子称为不等式．逐项分析判断即可． 解：A． ：含不等号“＞”，属于不等式，故此选项符合题意． B． ：含等号“＝”，是等式，不是不等式，故此选项不符合题意． C． ：含等号“＝”，是方程，属于等式，故此选项不符合题意． D． ：无任何关系符号，仅为代数式，既非等式也非不等式，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 解：A．∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，A说法正确． B．∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，B说法正确． C．∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得， 与选项中不符，C说法不正确． D．∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D说法正确． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后判断即可． 解：， ， ， 观察各选项，只有C符合题意． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组得到x的取值范围，再根据恰有四个整数解确定m的取值范围.最后找出所有符合条件的整数m计算和即可. 解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有四个整数解， ∴四个整数解为 可得 不等式三边同乘，得 ∵为整数， ∴的取值为 所有整数的和为． 6．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先将a，b当作已知数，分别解两个不等式得到含参数的解集，再和已知解集对比求出a，b的值，最后代入代数式计算即可． 解：解不等式得 解不等式得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的已知解集为 ∴， 解得， ∴ 7．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 9．（25-26八年级下·江西吉安·期中）布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 【答案】B 【分析】根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，即可作答． 解：根据题意得： 解得：， ∴输入的x可能是8． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一个玻璃球的体积为，根据4个球放入水中水未满，5个球放入水中水满溢出，列出一元一次不等式组求解即可． 解：设一个玻璃球的体积为 ∵杯子容量为，水的体积为 ， ∴杯子剩余空间为 根据题意可得， 解得， ∵选项中只有在此范围内， ∴一个玻璃球的体积可能是． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此求解的值即可． 解：关于的不等式是一元一次不等式， ，且未知数的系数为， 解得：． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）关于x的不等式组的整数解是______． 【答案】5和6 【分析】根据不等式组解集的确定原则得到不等式组的解集后，即可找出解集内的整数解． 解：， 解不等式①得，. 解不等式②得，. 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，． 14．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 【答案】 解：∵点在第二象限， , ∴解得：． 15．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 【答案】7 【分析】设购进型号智能导览机器人台，根据总采购预算不超过万元列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小正整数即可． 解：设购进型号智能导览机器人台，则购进型号智能导览机器人台， 根据题意列不等式得： ， 解得：， 该博物馆最少可以购进台型号的智能导览机器人． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标和一元一次不等式的应用．动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，据此列不等式即可． 解：由题意可得，， 解得， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意有理数，用表示不超过的最大整数，则下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①； ②若为整数，则； ③； ④若，且，则． 【答案】①②④ 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据定义逐项判断即可．理解题意列得正确的算式及不等式组是解题的关键． 解：根据定义，表示不超过的最大整数，即，则①正确， 若为整数，不超过的最大整数就是本身，即，则②正确， 当时，，，那么，则③错误， 由得，，，这九个数都在之间， 由于， 所以这9个数中有6个数得整数部分是1，3个数的整数部分是0， 因此，解得， ， ，则④正确， 综上，说法正确的是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）（1）解不等式组： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求不等式组的解集．分别求解每个不等式组中的两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定规则，得出每个不等式组的最终解集，即可求解． 解：（1）解： 解不等式① 得 解不等式② 得 ∴不等式组的解集为 （2）解： 解不等式① 得 解不等式② 两边同时乘3得 移项得 得 ∴不等式组的解集为 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此求解即可； （2）第一象限内的点的横纵坐标都为正，点到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此求解即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第一象限， ∴， ∴， ∵点P到y轴的距离等于2， ∴， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏·期末）已知代数式与 （1）试比较代数式与的大小关系； （2）当满足什么条件时，代数式的值大于的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查代数式的化简与大小比较，以及一元一次不等式的解法． （1）根据题意列出进行化简判断与0的大小关系即可判断代数式与的大小关系； （2）根据题意列出一元一次不等式，进行求解即可得到满足的条件． 解：（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的值大于的值， ∴， ， ， ∴当满足时，代数式的值大于的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广东广州·期末）【阅读材料】某校七年级数学综合实践组计划在寒假开展数学阅读与实践活动，准备购买两类书作为学习资料：类是几何模型拼装手册（单价22元/本），类是代数思维闯关卡（单价16元/本）．组长确定了两个购买要求：两类书都要有，且需满足“类数量是类的2倍少3本”．就此，小天提出了几个数学问题． 【问题解决】若设购买类书为本（为正整数），解决以下问题： （1）用含的代数式表示类书的数量；并计算两类书的总费用． （2）下列关于购买方案的描述，正确的有（   ） A．当时，类书数量为5本，总费用为174元 B．两类书总费用的表达式也可写为 C．若要求类书数量不少于5本，则的最小值为4 D．若两类书总费用调整为230元，不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完 （3）小天发现，如果购买类书的数量每增加1本，则两类书总费用增加存在一定的规律，用代数式把这个规律表达出来． 【答案】（1）本；元；（2）ACD；（3）每增加1本，总费用增加60元，用代数式表示为（为正整数） 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，数字规律的探究等知识，解题的关键是： （1）根据类数量是类的2倍少3本，即可求出类书的数量；根据总费用=类书的费用+类书的费用，即可求解； （2）由（1）即可判断A、B；根据类书数量不少于5本列不等式求出x的范围即可判断C；根据总费用为230元列方程求解，即可判断D； （3）分别求出增加1本、2本、3本……时，总费用增加的金额，）从中找出规律即可 解：（1）解：根据题意，得：类书的数量为本， 两类书的总费用为元 （2）解：A．当时，类书的数量为本，两类书的总费用为元，故A正确； B． 两类书总费用的表达式不可写为，故B错误； C．根据题意，得，解得，则x的最小值为4，故C正确； D．根据题意，得，解得，不是整数，故不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完，故D正确， 故选：ACD； （3）解：设购买类书本， 增加1本时，总费用增加元， 增加2本时，总费用增加元， 增加3本时，总费用增加元， …… 增加m本时，总费用增加（m是正整数）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）；（3） 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，再代入不等式，求出q的取值范围； （3）解方程组，用含有a的代数式表示x，y，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围即可． 解：（1）解：，解得：， ①， 解得：， 不是此不等式的解； ②，解得：， 是此不等式的解； ③， 解得：， 是此不等式组的解； 方程的解是此方程与②③的“理想解”； （2）是方程组与不等式的“理想解”， ，， 解方程组，得：， ， ， 即q的取值范围为； （3）解方程组，得：， 关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数）， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， 不等式组的解集为， 即a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） （1）求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 （2）该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】（1）甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆；（2）辆；共有种租车方案，详见分析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 解：（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.5 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【知识点二】不等式的基本性质 1 【知识点三】一元一次不等式解法 2 【知识点四】解一元一次不等式组 2 【知识点五】解一元一次不等式组的应用 2 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 3 【题型 2】利用不等式的性质的运用 3 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 4 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 4 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 5 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 5 【题型 7】已知不等式组的解集，求参数的值或范围 6 【题型 8】分配问题（物品或人员分配） 6 【题型 9】方案选择问题（租车、购物、进货） 7 【题型 10】最值问题（最多、最少、不低于、不超过） 8 二.同步检测 9 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【知识点三】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【知识点四】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【知识点五】解一元一次不等式组的应用 解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 【例题1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【题型 2】利用不等式的性质的运用 【例题2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）证明：当时，． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是_____． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 （1）上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． （2）请写出正确的解题过程． 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 【例题3】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）按要求完成下列各题： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【变式1】（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）仔细观察以下解不等式的过程，并回答相应问题． 解：去分母，得第一步， 去括号，得 第二步， 移项，得  第三步， 合并同类项，得第四步， 系数化为1，得第五步， （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； （2）第 步出现错误，这一步正确变形的依据是不等式的基本性质 （填“1”或“2”或“3”），其内容是 ； 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 【例题4】（24-25七年级下·天津·月考）已知关于的方程的解为非负数，求的范围． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·月考）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）关于x，y的方程组． （1）解方程组（含m的式子表示解）； （2）方程组的解满足，求m的范围． 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·月考）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a的值为______． 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 【例题6】（2026九年级下·重庆永川·专题练习）求不等式组：的所有整数解之和． 【变式1】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组的所有整数解的和为_________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【题型 7】已知不等式组的解集，求参数的值或范围 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 （1）若这个不等式组有解，求a的取值范围． （2）若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组 （1）当时，这个不等式组的解集为_______； （2）若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【题型 8】分配问题（物品或人员分配） 【例题8】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【题型 9】方案选择问题（租车、购物、进货） 【例题9】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． （1）该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ （2）若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）为迎接2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，某初中开展了以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买两种奖品，两种奖品都要买，已知种奖品每件15元，B种奖品每件10元，则共有几种购买方案？（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【变式3】（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． （1）求甲、乙商品每件各多少元？ （2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【题型 10】最值问题（最多、最少、不低于、不超过） 【例题10】（2025·黑龙江牡丹江·二模）某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． （1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 （1）该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； （2）该个体户能够获得的最大利润是多少？ （3）若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·月考）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． （1）甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ （2）若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式3】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 二.同步检测 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·河南安阳·月考）下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·安徽池州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 6．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江西吉安·期中）布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）关于x的不等式组的整数解是______． 14．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 15．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为______． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意有理数，用表示不超过的最大整数，则下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①； ②若为整数，则； ③； ④若，且，则． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）（1）解不等式组： （2）解不等式组：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏·期末）已知代数式与 （1）试比较代数式与的大小关系； （2）当满足什么条件时，代数式的值大于的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广东广州·期末）【阅读材料】某校七年级数学综合实践组计划在寒假开展数学阅读与实践活动，准备购买两类书作为学习资料：类是几何模型拼装手册（单价22元/本），类是代数思维闯关卡（单价16元/本）．组长确定了两个购买要求：两类书都要有，且需满足“类数量是类的2倍少3本”．就此，小天提出了几个数学问题． 【问题解决】若设购买类书为本（为正整数），解决以下问题： （1）用含的代数式表示类书的数量；并计算两类书的总费用． （2）下列关于购买方案的描述，正确的有（   ） A．当时，类书数量为5本，总费用为174元 B．两类书总费用的表达式也可写为 C．若要求类书数量不少于5本，则的最小值为4 D．若两类书总费用调整为230元，不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完 （3）小天发现，如果购买类书的数量每增加1本，则两类书总费用增加存在一定的规律，用代数式把这个规律表达出来． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） （1）求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 （2）该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $