专题 11.1 不等式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学不等式核心知识点，系统梳理不等式的定义、解与解集、对称性与传递性及基本性质，构建从概念认知到性质应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料以实际情境例题（如公交车载客、气温范围）培养数学眼光，通过推理题（性质证明、求差法比较）发展数学思维，同步检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学，提升学生应用意识与解题能力。

专题 11.1 不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【题型 1】不等式的判断 1 【题型 2】列不等式 2 【知识点二】不等式的解（集）与解不等式 2 【题型 3】不等式的解（集） 3 【知识点三】不等式的对称性与传递性 3 【知识点四】不等式的基本性质 3 【题型 4】不等式的基本性质辨析 4 【题型 5】不等式的基本性质的应用 5 二.综合培优题型精析 5 【题型 6】数轴上不等式的基本性质的运用 5 【题型 7】不等式的基本性质的证明 6 【题型 8】运用求差法比较大小 6 【题型 9】不等式的对称性与传递性的应用 7 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【题型 1】不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【变式1】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知关于的方程是一元一次方程，则______． 【题型 2】列不等式 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： （1）长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． （2）一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）请设计不同的实际情境表示下列不等式： （1）； （2）． 【知识点二】不等式的解（集）与解不等式 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【要点提示】（1）在数轴上表示不等式解集时，画空心圆圈表示解集不包含这个点所对应的数； （2）不等式的解：是单个具体数值，代入不等式后能使式子成立，解是一个个独立的值；（2）不等式的解集：是所有解的全体集合，是一个范围，包含无数个符合条件的值；（3）解不等式：是运算过程，指求解集的操作，区别于 “解、解集” 这两个结果概念；（4）从属关系：解集包含每一个不等式的解，所有解合起来就是解集。 【题型 3】不等式的解（集） 【例题3】（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【知识点三】不等式的对称性与传递性 不等式的对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变 即：如果，那么。 不等式的传递性：不等关系可以传递 即：如果，，那么。 【要点提示】（1）不等式的对称性：不等式左右两边互换位置，不等号必须反向，这是和等式对称性最大的区别；等式互换符号不变，不等式互换符号必变；（2）不等式传递性前提：需两个同向不等关系才能传递，不等号方向一致是关键条件。 【知识点四】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【要点提示】（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向始终不变，操作不受数的正负影响；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，核心前提是乘数或除数为正；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，这是解不等式的高频易错点。 【题型 4】不等式的基本性质辨析 【例题4】（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： （1）小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； （2）已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【变式1】（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）平面直角坐标系中，点在第_____象限． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在学习不等式的内容时，小王认为： ∵， ∴对于实数a， 则有． 请判断小王的想法是否正确？并说明理由． 【题型 5】不等式的基本性质的应用 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江台州·模拟预测）如果，那么的取值范围是______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 二.综合培优题型精析 【题型 6】数轴上不等式的基本性质的运用 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【变式1】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【变式3】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    （1）若，则点A，B间的距离是多少? （2）求x的取值范围； （3）请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【题型 7】不等式的基本性质的证明 【例题7】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）已知实数、、满足，，求证：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）求证：如果，那么． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足：．求证： （1）； （2） 【题型 8】运用求差法比较大小 【例题8】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 【题型 9】不等式的对称性与传递性的应用 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示是某位同学解不等式的过程，其中由③得到④的依据是（   ） ① ② ③ ④ A．交换不等式两边，不等号的方向改变 B．不等关系可以传递 C．不等式的性质2 D．不等式的性质3 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）年月日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 5．（24-25七年级下·山东济宁·月考）下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 6．（25-26七年级下·广西贵港·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 10．（25-26八年级下·山东青岛·月考）若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 11．（25-26七年级下·山东东营·月考）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为__________． 13．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 14．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 15．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第_____象限． 16．（24-25七年级下·广东广州·期末）关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 18．（2026八年级下·全国·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 19．（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： （1）若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ （2）设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； （3）求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 20．（25-26八年级下·江西九江·月考）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是____________； （2）若，，，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.1 不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【题型 1】不等式的判断 1 【题型 2】列不等式 3 【知识点二】不等式的解（集）与解不等式 4 【题型 3】不等式的解（集） 5 【知识点三】不等式的对称性与传递性 6 【知识点四】不等式的基本性质 6 【题型 4】不等式的基本性质辨析 7 【题型 5】不等式的基本性质的应用 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 6】数轴上不等式的基本性质的运用 11 【题型 7】不等式的基本性质的证明 13 【题型 8】运用求差法比较大小 15 【题型 9】不等式的对称性与传递性的应用 17 三.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【题型 1】不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数次数为，一次项系数不为这两个条件，列等式和不等式求解． 解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解，得，即或， 由，得， 综上，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【题型 2】列不等式 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： （1）长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． （2）一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 解：（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 【答案】 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）请设计不同的实际情境表示下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支；（2）小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7． 【分析】本题主要考查了是不等式代表的实际意义，根据不等式的定义，再联系实际即可作答． （1）根据，联系实际即可作答． （2）根据，联系实际即可作答． 解：（1）解：小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支．（答案不唯一） （2）解：小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7．（答案不唯一） 【知识点二】不等式的解（集）与解不等式 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【要点提示】（1）在数轴上表示不等式解集时，画空心圆圈表示解集不包含这个点所对应的数； （2）不等式的解：是单个具体数值，代入不等式后能使式子成立，解是一个个独立的值；（2）不等式的解集：是所有解的全体集合，是一个范围，包含无数个符合条件的值；（3）解不等式：是运算过程，指求解集的操作，区别于 “解、解集” 这两个结果概念；（4）从属关系：解集包含每一个不等式的解，所有解合起来就是解集。 【题型 3】不等式的解（集） 【例题3】（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 解：中不包括， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 解：A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 【知识点三】不等式的对称性与传递性 不等式的对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变 即：如果，那么。 不等式的传递性：不等关系可以传递 即：如果，，那么。 【要点提示】（1）不等式的对称性：不等式左右两边互换位置，不等号必须反向，这是和等式对称性最大的区别；等式互换符号不变，不等式互换符号必变；（2）不等式传递性前提：需两个同向不等关系才能传递，不等号方向一致是关键条件。 【知识点四】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【要点提示】（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向始终不变，操作不受数的正负影响；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，核心前提是乘数或除数为正；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，这是解不等式的高频易错点。 【题型 4】不等式的基本性质辨析 【例题4】（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： （1）小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； （2）已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】（1）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变；（2） 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 解：（1）解：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得：． 【变式1】（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）平面直角坐标系中，点在第_____象限． 【答案】四 【分析】本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0是解题的关键． 解：∵， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在学习不等式的内容时，小王认为： ∵， ∴对于实数a， 则有． 请判断小王的想法是否正确？并说明理由． 【答案】小王的说法不正确，理由见分析 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，对实数进行讨论，判断即可． 解：小王的说法是错误的，理由如下：                    ∵a是实数， ∴a可以为正数也可以为负数也可以为0． 当时， ∵， ∴， 当时， ，，则 ∴小王的说法不正确． 【题型 5】不等式的基本性质的应用 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．根据题意列出不等式，整理得，再根据不等式基本性质即可得出． 解：根据题意，得， 整理，得， 不等式两边都减去，得， 不等式两边都除以5，得， 所以a与b的大小关系为． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 解： 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 【变式2】（2025·浙江台州·模拟预测）如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 解：由可知，，， ∴， 由可知，，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 【答案】，12（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的应用，不等式的基本性质，正确理解题意并列不等式求解是关键．由题意得，原来的两位数是，对调后的两位数是，则，根据不等式的基本性质可求得，再举例即可． 解：原来的两位数是，对调后的两位数是， 由题意可知，， 由不等式的基本性质1和2，可得， 这样的两位数举例：12（答案不唯一）． 二.综合培优题型精析 【题型 6】数轴上不等式的基本性质的运用 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 解：由数轴可得， ∴． 【变式1】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴得到，再根据不等式的性质求解即可． 解：由数轴可得，， 则，，，， 故C正确． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    （1）若，则点A，B间的距离是多少? （2）求x的取值范围； （3）请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】（1）点A、B间的距离是；（2）；（3）表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 解：（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 【题型 7】不等式的基本性质的证明 【例题7】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见分析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 解：证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）求证：如果，那么． 【答案】见分析 【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案． 解：证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点拨】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足：．求证： （1）； （2） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可； （2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点拨】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【题型 8】运用求差法比较大小 【例题8】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 解：（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求差法比较大小的应用及不等式的性质，熟练掌握整式的运算及不等式的性质是解题的关键． （1）利用求差法比较大小即可； （2）利用求差法及不等式的性质即可得出答案． 解：（1）解：由题意，得， ， ， ； （2）， ，， ，， ． ． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【答案】，方法见分析 【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过判断差的正负得到大小关系． 解：方法一：， 不等式两边同乘以负数，不等号方向改变 ； 方法二： 计算两式的差 ． 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 【答案】（1）；（2）①当时，；②当时，；③当时， 【分析】（1）利用作差法，根据题意，得，解答即可； （2）利用作差法，根据题意，得，分类解答即可； 本题考查了作差法比较大小，熟练掌握作差法比较大小的基本特征是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，得， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 【题型 9】不等式的对称性与传递性的应用 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示是某位同学解不等式的过程，其中由③得到④的依据是（   ） ① ② ③ ④ A．交换不等式两边，不等号的方向改变 B．不等关系可以传递 C．不等式的性质2 D．不等式的性质3 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，由步骤③到④是将不等式两边交换位置，同时改变不等号方向，依据的是不等式的基本对称性，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键． 解：步骤③为，改写为（步骤④），此过程未进行任何运算，仅将不等式两边交换位置，同时改变不等号方向，根据不等式的基本性质，若，则，这属于交换不等式两边的操作 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见分析；【拓展提升】 【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可； 性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； 拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 解：教材呈现： ，， ，即， ，， ，即， 故答案为：，； 性质应用： 由，得， 将代入得， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展提升： ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 解：（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）年月日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 解：深圳当天最高气温是，最低气温，因此气温的变化范围应满足最低气温最高气温，即， 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 5．（24-25七年级下·山东济宁·月考）下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 【答案】C 【分析】根据选项语句描述概括出数量关系即可得出结论． 解：A.小于0，用不等式表示为：，故选项A不符合题意； B. 是正数，用不等式表示为：，故选项B不符合题意； C. 等于零，即，是相等关系，故选项C符合题意； D. a比b大，用不等式表示为：，故选项D不符合题意； 故选：C 【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 6．（25-26七年级下·广西贵港·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法判断A；根据绝对值的意义判断B；根据不等式的性质判断C；根据数轴上两点间的距离判断D即可． 解：如图可知：，，故选项B的结论不正确； ∴，故选项A的结论不正确； ∵， ∴，故选项C的结论不正确； ∵， ∴实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离大于实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离， 即，故选项D的结论正确． 7．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 【答案】 解：根据题意，可列不等式为． 10．（25-26八年级下·山东青岛·月考）若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 11．（25-26七年级下·山东东营·月考）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意确定车辆行驶的车道，观察对应的交通标志牌，读出最高限速和最低限速，即可确定车速的取值范围． 解：由题意可知，爸爸开小型车走中间车道，观察图片可知，中间车道为“小型车道”，其对应的限速标志显示：最高限速为千米/时，最低限速为千米/时， ∴车速的取值范围是． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 13．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 【答案】 / 【分析】（1）根据不等式的基本性质得出，求出a的取值范围即可； （2）根据得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可． 解：（1）不等式两边除以后，不等号方向改变， ∴， 解得：． （2）， ∴，， ． 14．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 解：举例，如，，符合题意． 15．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第_____象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点P的坐标，通过讨论m的取值范围，分析点P可能所在的象限，并判断不可能出现的象限． 解：点P的坐标为．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 分情况讨论： 当时，，点P在第一象限； 当时，且，点P在第二象限； 当时，且，点P在第三象限； 不存在m使得且，因此点P不可能在第四象限． 故答案为：四． 16．（24-25七年级下·广东广州·期末）关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 【答案】不少于克 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意求出蛋白质含量的最小值即可得到答案． 解：∵某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”， ∴蛋白质含量的最小值为克， ∴蛋白质的含量不少于克， 答：蛋白质的含量不少于克． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【答案】见分析 【分析】注意不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变． 解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 19．（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： （1）若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ （2）设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； （3）求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【答案】（1）方案一：元；方案二：元；（2）方案一：元；方案二：元；（3）当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据两种采购方案的方式解答即可； （2）根据两种采购方案的方式解答即可； （3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解． 解：（1）解：方案一：费用为（元）， 方案二：费用为（元）． （2）解：方案一：费用为， 方案二：费用为． （3）解：根据题意得：， 解得． 当时，， 所以当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱． 20．（25-26八年级下·江西九江·月考）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是____________； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $