专题 11.2 一元一次不等式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学一元一次不等式核心知识点，系统梳理定义判断、解法步骤（含数轴表示、整数解）、实际应用（生活与几何问题）及参数问题，形成从基础到综合的递进式学习支架。 资料特色在于知识点与题型深度融合，每个知识点配例题及变式题强化理解。通过租车、购物等场景培养模型意识，解法中强调符号变化、数轴表示提升运算能力与几何直观，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题 11.2 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式的定义 1 【题型 1】一元一次不等式定义的判断 1 【知识点二】一元一次不等式解法 3 【题型 2】求解一元一次不等式解集 3 【题型 3】求解一元一次不等式解集，并在数轴上表示不等式的解集 6 【题型 4】求解一元一次不等式整数解与最值 8 【知识点三】用一元一次不等式解决实际问题 10 【题型 5】列一元一次不等式 10 【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 12 【题型 7】用一元一次不等式解决几何问题 15 二.综合培优题型精析 17 【知识点四】已知一元一次不等式解集，求参数 解题步骤 17 【题型 8】求一元一次不等式的参数取值或取值范围 17 【题型 9】一元一次不等式的应用 20 三.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。 【要点提示】（1）一元：只含一个未知数，不能同时出现多个未知数的字母；（2）一次：未知数的次数是1，且未知数不能在分母、根号等位置；（3）整式不等式：含未知数的式子必须是整式，不能是分式、根式等形式。 【题型 1】一元一次不等式定义的判断 【例题1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 【变式2】（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，先根据一元一次不等式的定义，得，先求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴． ∴原不等式化为：， 解得． 【知识点二】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【易错点提示】（1）去分母时不含分母的项也要乘，分子是多项式时要加括号；（2）去括号时漏乘括号内的项，或去括号时符号出错；（2）移项时只移项不变号，或混淆移项与交换位置的区别；（3）系数化为1时：除以负数时忘记变号，这是最常见的丢分点。 2、数轴上表示不等式解集基本步骤： （1）化简解集：先解出一元一次不等式，求出不等式解集、形式； （2）画数轴：画出带有原点、正方向和统一单位长度的标准数轴； （3）标记界点：在数轴上找到对应的点：含等号（≥ 或 ≤）时，用实心圆点；不含等号（> 或 <）时，用空心圆圈。 （4）确定方向：大于向右画，小于向左画，用射线从界点出发向对应方向延伸，表示解集的范围。 【题型 2】求解一元一次不等式解集 【例题2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤，并注意在不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变． （1） 通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2） 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 解：（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 即． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，去分母时的乘法分配律，掌握解不等式去分母时，每一项都要乘以公分母，注意括号内的符号变化是解题的关键． 检查解不等式的每一步，重点在于去分母时是否正确处理符号和分配律． 解：∵原不等式为 ， 去分母时，两边应同乘， 左边： ， 右边： ， ∴正确结果应为 ， 但步骤中写为 ，即 ， ∴第一步错误，开始出现错误的步骤是第一步． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，化简：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和绝对值的化简，先通过解不等式确定的取值范围，进而判断绝对值内代数式的符号是解题的关键． 先解一元一次不等式得到的取值范围，再根据取值范围判断绝对值内的代数式的符号，从而化简含绝对值的式子． 解：解不等式：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解． 解：（1）解： 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，． 【题型 3】求解一元一次不等式解集，并在数轴上表示不等式的解集 【例题3】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． （1） （2） 【答案】（1），解集在数轴上的表示见分析；（2），解集在数轴上的表示见分析 解：（1）解： 去括号得， ∴ 解得： 解集在数轴上的表示： （2）解： 不等式两边同时乘以去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1时改变不等号方向得 解集在数轴上的表示： 【变式1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式2】（2026八年级下·广东深圳·专题练习）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），数轴表示见分析；（2），数轴表示见分析 解：（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： 【题型 4】求解一元一次不等式整数解与最值 【例题4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）不等式的最小整数解是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集，找出最小整数解即可． 解： 去括号得： 不等式移项合并得：， 所以，不等式最小的整数解为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    （1）求a的值． （2）若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 解：（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点拨】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【知识点三】用一元一次不等式解决实际问题 解题步骤： （1）审：审题，明确题目中的已知量、未知量，以及不等关系（如 “不超过”“至少”“最多”“不足” 等关键词）； （2）设：设未知数，通常直接设所求的量为，并注明单位； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式； （4）解：解这个不等式，求出未知数的解集； （5）答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数应为正整数），并写出答案。 【题型 5】列一元一次不等式 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： （1）若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． （2）若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 解：（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 【例题6】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． （1）王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） （2）请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【答案】（1）方式一：元；方式二：元；（2） 【分析】（1）先求出总价，再根据方式一和方式二的促销方式计算即可； （2）根据方式一的费用比方式二的费用少列不等式求解即可． 解：（1）解：∵购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（）， ∴购买徽章个， ∵玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元， ∴总价为元， 方式一：元； 方式二：元； （2）解：∵选择方式一购买更划算， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【答案】八 解：设该卫衣打折销售， 依题意得， 解得， 即至多可以打八折． 【变式3】（2026·青海·模拟预测）某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元， （1）求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？ （2）现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？ 【答案】（1）每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元；（2）10 【分析】（1）设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元，根据汽车数量和总价格可列出关于，的方程组即可求解； （2）设购进A型汽车辆，可以表示出B型汽车的数量，再根据利润售价进价，可用关于的代数式表示出总利润，从而列出关于的不等式即可求解此题． 解：（1）解：设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元， 由题意得， 解得， 答：每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元． （2）设购进A型汽车辆．则购进B型汽车辆， 根据题意得：， 解得 ， 答：最多能购进A型汽车10辆． 【题型 7】用一元一次不等式解决几何问题 【例题7】（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【答案】90 解：设这个角为，则其补角为， 由题意，得， 解得， 这个角最大为． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． （1）点整个运动过程中，共需___秒； （2）若的面积为时，求的值； （3）若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）的值为或；（3） 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 解：（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 二.综合培优题型精析 【知识点四】已知一元一次不等式解集，求参数 解题步骤 （1） 把参数当作常数，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，解出含参数的不等式解集； （2） 对照范围：将算出的含参数解集，与题目给出的已知解集一一对应； （3） 列式求解：根据对应关系列方程或不等式，算出参数的值或取值范围，注意系数为负时不等号变号； （4）检验取舍：验证参数是否符合题意，排除增根、矛盾情况，写出最终答案。 【题型 8】求一元一次不等式的参数取值或取值范围 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据“不等式的解都是关于x的不等式的解”列不等式进行计算即可． 解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵不等式的解都是关于x的不等式的解， ，解得， 的取值范围为． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了不等式的基本性质和含参数不等式的解法，解题关键是：通过已知解集判断系数的符号，建立参数间的关系，再代入目标不等式求解． 【变式3】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值方程及一元一次方程的解法是解题的关键；根据题意结合绝对值方程进行分类讨论即可求解 解：①当时， 若时，无解， 若，，，则， 即时，在有一个解； ②当时， 若时，无解， 若，，，则或； 即或时，在有一个解， 综上，当时，方程没有解； 当或或时，方程有一个解： 当时，方程有两个解． 【题型 9】一元一次不等式的应用 【例题9】（2026·江苏南京·模拟预测）方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【答案】2本练习本价格更高 【分析】设练习本每本元，铅笔每支元，根据题意可得，再化简，比较与的大小即可． 解：设练习本每本元，铅笔每支元 根据题意可得 化简第二个等式得 因此 将代入不等式得 整理得 解得 作差得 即 答：2本练习本价格更高． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案（2）更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法（1）的总费用为 ， 优惠方法（2）的总费用为 ， ∵方法（2）比方法（1）更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 【变式2】（2026九年级下·北京西城·专题练习）某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 【答案】 9 【分析】（1）分别求出先做A、B和先做C、D时需要的最小天数，比较即可得到答案； （2）根据D所需要的工人数为6可知，，讨论m的值，确定最小的天数，计算出对应情形下支付给工人的工资总额，比较即可得到答案． 解：（1）先派5人做A，3人做B，那么前3天可以完成A，前五天可以完成B，第4天开始，做完A的5人中派2人去做C，第6天开始做完B的3人和做完A的剩下3人去做D，第9天可以完成C，第9天可以完成D，此时n的最小值为9； 先派2人做C，6人做D，那么前6天可以完成C，前2天可以完成D，第3天开始做完D的6人中派3人去做B，那么第7天可以完成B，第7天开始派做完C的人和做完D的6人中剩下的2人去做A，第9天可以完成A，此时n的最小值为9； 综上所述，n的最小值为9； （2）根据D所需要的工人数为6可知，， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数一定不会比6小，则支付给工人的工资总额一定不低于元， ∵， ∴支付给工人的工资总额最少为元． 【变式3】（2026·江西上饶·三模）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【答案】（1）巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元；（2）29套 【分析】（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元，由此列式求解即可； （2）根据题意得到无人机每套，智能小车每套的价格，结合题意列不等式求解即可． 解：（1）解：设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元， 依题意得， 解得，， 答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元． （2）解：无人机每套售价为（元）， 智能小车每套售价为（元）， 设这次购买巡线机器人m套， ∴， 解得，， 又∵m为整数， ∴m可以取的最大值为29， 答：这次最多能购买巡线机器人29套． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 2．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列不等式的解集在数轴上的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：， ， ， 则不等式的解集在数轴上表示为： ． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 6．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 解：由题意得，当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 综上所述，的解集是或． 故选：D． 8．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【答案】B 【分析】先计算出剩余需要走的路程，再根据8秒内通过马路的要求列不等式，求解得到最小倍数，进而结合实际情况作答即可． 解：设小华的速度要提高到原来的倍， ∵人行横道全长24米，小华行至离起点处， ∴剩余路程为米， 要在红灯亮起前也就是8秒内通过马路，可得不等式： 化简得， 解得， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 【答案】 解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 10．（25-26七年级下·上海·月考）不超过的最大整数是7，试用不等式表示应该满足的条件：______． 【答案】 解：不超过的最大整数是， ． 11．（25-26七年级下·上海虹口·期中）写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先观察数轴确定不等式的解集，再根据解集构造一个一元一次不等式即可． 解：由数轴可知，空心圆圈在 处，且折线向右延伸， 不等式的解集为 ， 解集是 的一元一次不等式可以为 （答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【答案】 【分析】设一个锐角度数为，则它的余角为，根据题意得到不等式，再解不等式即可． 解：设一个锐角度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得， ∴这个锐角最大为度． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）若是一个正偶数，且它的3倍与10的和不小于它的5倍与的和，则的值为___________． 【答案】6或4或2 【分析】本题考查了解不等式的整数解集，根据题意列出不等式，再解不等式即可，解题的关键是列出不等式． 解：根据题意可得， 解得， 是一个正偶数， ， 故答案为：6或4或2． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）一般来说，在一个食物链中上一营养级的能量只有能够流入下一营养级，在“植物→食草动物→食肉动物”这条食物链中，要使食肉动物增长不少于5千克，至少需消耗植物_______千克． 【答案】125 【分析】设需要消耗植物x千克，根据在一个食物链中上一营养级的能量只有能够流入下一营养级，要使食肉动物增长不少于5千克，列一元一次不等式，求解即可． 解：设需要消耗植物x千克， ∵在一个食物链中上一营养级的能量只有能够流入下一营养级， ∴根据题意，得， 解得， ∴至少需消耗植物125千克， 故答案为：125． 【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立不等关系是解题的关键． 16．（20-21七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中有点，点，点（点在点的右边），连接，，．若在以，，所围成的区域内（含边界），横，纵坐标都是整数的点恰有6个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于的不等式，解之确定的范围． 解：如图，点是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于上， ， 当最短时，，都是整数点，； 当最长时，，都不是整数点，； ， ， ． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解题的关键，也考查了解一元一次不等式． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 18．（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： （1）解不等式： （2）解不等式并求出所有负整数解： 【答案】（1）；（2），负整数解：，， 解：（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 19．（2026·安徽宿州·二模）安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】（1）A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元；（2）至少需要采购B种茶叶167盒 【分析】（1）A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒，根据题意列出不等式，解得，结合为整数，求出最小值即可． 解：（1）解：设A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，由题意得， ， 解得， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元． （2）解：设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒， 根据题意，总利润， ， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，即的最小值为． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 20．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． （1）直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” （2）判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． （3）若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】（1）B；（2）专属组合，理由见详解；（3） 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 解：（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.2 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式的定义 1 【题型 1】一元一次不等式定义的判断 1 【知识点二】一元一次不等式解法 2 【题型 2】求解一元一次不等式解集 3 【题型 3】求解一元一次不等式解集，并在数轴上表示不等式的解集 3 【题型 4】求解一元一次不等式整数解与最值 4 【知识点三】用一元一次不等式解决实际问题 4 【题型 5】列一元一次不等式 4 【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 5 【题型 7】用一元一次不等式解决几何问题 6 二.综合培优题型精析 7 【知识点四】已知一元一次不等式解集，求参数 解题步骤 7 【题型 8】求一元一次不等式的参数取值或取值范围 7 【题型 9】一元一次不等式的应用 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。 【要点提示】（1）一元：只含一个未知数，不能同时出现多个未知数的字母；（2）一次：未知数的次数是1，且未知数不能在分母、根号等位置；（3）整式不等式：含未知数的式子必须是整式，不能是分式、根式等形式。 【题型 1】一元一次不等式定义的判断 【例题1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【知识点二】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【易错点提示】（1）去分母时不含分母的项也要乘，分子是多项式时要加括号；（2）去括号时漏乘括号内的项，或去括号时符号出错；（2）移项时只移项不变号，或混淆移项与交换位置的区别；（3）系数化为1时：除以负数时忘记变号，这是最常见的丢分点。 2、数轴上表示不等式解集基本步骤： （1）化简解集：先解出一元一次不等式，求出不等式解集、形式； （2）画数轴：画出带有原点、正方向和统一单位长度的标准数轴； （3）标记界点：在数轴上找到对应的点：含等号（≥ 或 ≤）时，用实心圆点；不含等号（> 或 <）时，用空心圆圈。 （4）确定方向：大于向右画，小于向左画，用射线从界点出发向对应方向延伸，表示解集的范围。 【题型 2】求解一元一次不等式解集 【例题2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）解不等式： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，化简：_____________． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）解下列不等式． （1）； （2）． 【题型 3】求解一元一次不等式解集，并在数轴上表示不等式的解集 【例题3】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级下·广东深圳·专题练习）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【题型 4】求解一元一次不等式整数解与最值 【例题4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）不等式的最小整数解是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    （1）求a的值． （2）若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【知识点三】用一元一次不等式解决实际问题 解题步骤： （1）审：审题，明确题目中的已知量、未知量，以及不等关系（如 “不超过”“至少”“最多”“不足” 等关键词）； （2）设：设未知数，通常直接设所求的量为，并注明单位； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式； （4）解：解这个不等式，求出未知数的解集； （5）答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数应为正整数），并写出答案。 【题型 5】列一元一次不等式 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： （1）若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． （2）若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 【例题6】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． （1）王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） （2）请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【变式3】（2026·青海·模拟预测）某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元， （1）求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？ （2）现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？ 【题型 7】用一元一次不等式解决几何问题 【例题7】（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． （1）点整个运动过程中，共需___秒； （2）若的面积为时，求的值； （3）若的面积大于时，求的取值范围． 二.综合培优题型精析 【知识点四】已知一元一次不等式解集，求参数 解题步骤 （1） 把参数当作常数，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，解出含参数的不等式解集； （2） 对照范围：将算出的含参数解集，与题目给出的已知解集一一对应； （3） 列式求解：根据对应关系列方程或不等式，算出参数的值或取值范围，注意系数为负时不等号变号； （4）检验取舍：验证参数是否符合题意，排除增根、矛盾情况，写出最终答案。 【题型 8】求一元一次不等式的参数取值或取值范围 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【变式3】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系． 【题型 9】一元一次不等式的应用 【例题9】（2026·江苏南京·模拟预测）方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式2】（2026九年级下·北京西城·专题练习）某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 【变式3】（2026·江西上饶·三模）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列不等式的解集在数轴上的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 10．（25-26七年级下·上海·月考）不超过的最大整数是7，试用不等式表示应该满足的条件：______． 11．（25-26七年级下·上海虹口·期中）写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 13．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）若是一个正偶数，且它的3倍与10的和不小于它的5倍与的和，则的值为___________． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）一般来说，在一个食物链中上一营养级的能量只有能够流入下一营养级，在“植物→食草动物→食肉动物”这条食物链中，要使食肉动物增长不少于5千克，至少需消耗植物_______千克． 16．（20-21七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中有点，点，点（点在点的右边），连接，，．若在以，，所围成的区域内（含边界），横，纵坐标都是整数的点恰有6个，则的取值范围是______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式： （1）； （2）． 18．（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： （1）解不等式： （2）解不等式并求出所有负整数解： 19．（2026·安徽宿州·二模）安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 20．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． （1）直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” （2）判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． （3）若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $