专题 11.3 一元一次不等式组（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理定义、解法步骤（分别解不等式、数轴表示解集、找公共部分）、解集判断、整数解与最值及含参数问题，构建从基础到综合（如与方程组结合）的学习支架，形成完整知识脉络。 资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为特色，题型含例题与变式，同步检测分选择、填空、解答。通过程序运算等实例培养数学思维（逻辑推理）与数学眼光（抽象数量关系），课中辅助教师递进教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题 11.3 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式组定义 1 【题型 1】一元一次不等式组及解集的判断 1 【知识点二】解一元一次不等式组 3 【题型 2】求解一元一次不等式组的解集 4 【题型 3】求解一元一次不等式组的整数解与最值 6 【知识点三】求一元一次不等式组中的参数 9 【题型 4】由一元一次不等式组的解集求参数 9 二.综合培优题型精析 10 【题型 5】一元一次不等式组的解集求参数 10 【题型 6】一元一次不等式组与方程组综合 13 三.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元一次不等式组定义 把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 【要点提示】构成一次一次不等式组的基本条件：（1）必须含有同一个未知数，未知数要完全相同；（2）每个不等式都必须是一元一次不等式；（3）将两个不等式联立组合，就构成一元一次不等式组。 【题型 1】一元一次不等式组及解集的判断 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴表示不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 找出两个不等式解集的公共部分即可确定出不等式组的解集即可． 解：根据数轴得：不等式组的解集为． 故选C． 【变式2】（2024·福建厦门·二模）如图的数轴上表示的是两个关于x的一元一次不等式的解集，由这两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，弄清取不等式组解集的方法是解题的关键．找出两个不等式解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 解：根据数轴得：不等式组的解集为， 故选C． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【知识点二】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【题型 2】求解一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组： （1）； （2），并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）无解；（2），数轴见分析 解：（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分，最后在数轴上表示出来即可 解：解不等式，得 解不等式，得 不等式组的解集为 在数轴上表示如下： 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·月考）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可． 解：由题意得：， 解得． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤，正确计算是解题的关键； （1）去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，即可求得每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）第一个不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；第二个不等式按照去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；再求出两解集的公共部分即可． 解：（1）解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； （2）解：第一个不等式去分母得：， 整理得：， 解得：； 第二个不等式去括号、移项、合并同类项，得：， 解得：， 则不等式组的解集为：． 【题型 3】求解一元一次不等式组的整数解与最值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1），0，1，2；（2），0，1． 【分析】（1）分别求解两个不等式，再取它们的解集的公共部分，最后找出公共部分中的所有整数解； （2）同理，分别求解两个不等式，取公共部分后找出其中的非负整数解． 解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故原不等式组的所有整数解为，，． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 故原不等式组的所有非负整数解为，． 【点拨】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题关键是正确求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后准确找出符合条件的整数解． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先分别解两个不等式，求出解集的公共部分，再确定其中的正整数解的个数即可． 解：解不等式： 展开得： 移项合并同类项： 解得：； 解不等式： 移项得： 两边乘以，得 ∴不等式组的解集为， 则正整数解为 即不等式组的正整数解的个数为1个， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）按照如图所示的程序进行运算时，发现输入的恰好经过次运算输出，则输入的整数的最小值是______． 【答案】11 【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可． 解：第一次的结果为：2x5，没有输出，则2x5≤45， 解得：x≤25； 第二次的结果为：2（2x5）5=4x15，没有输出，则4x15≤45， 解得：x≤15； 第三次的结果为：2（4x15）5=8x35，输出，则8x35＞45， 解得：x＞10， 综上可得：10＜x≤15， 所以输入的整数x的最小值是11， 故答案为：11． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式． 【变式3】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解． 【答案】，数轴见分析，最小整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来，据此找出最小整数解即可得． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如下： ∴不等式组的最小整数解为． 【知识点三】求一元一次不等式组中的参数 解一元一次不等式组基本步骤： （1） 先分别解不等式，用参数表示出各自解集；（2）结合题目给定解集、有无解等条件，列等式或不等式；（3）重点关注边界取值、不等号方向，检验参数范围是否成立。 【题型 4】由一元一次不等式组的解集求参数 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知不等式组的整数解只有3个，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．掌握不等式组的解法及整数解的确定是解本题的关键． 首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有3个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围即可． 解：解不等式， ， ， ， 解不等式， ． 由不等式组的整数解只有3个， 不等式组的整数解是1，2，3， ， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组解集的表示方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）若不等式组恰有两个整数解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，列出关于m的不等式组． 根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组可以求得m的取值范围 解：∵不等式组恰有两个整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 二.综合培优题型精析 【题型 5】一元一次不等式组的解集求参数 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设甲将数字3抄成参数a，先分别解两个不等式，再根据不等式组无解得到a的取值范围，即可判断符合条件的选项． 解：设甲将数字3抄成了，得到甲所用的不等式组为 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 选项中只有满足，因此甲将3抄成了5． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 【变式3】（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知关于的不等式组：． （1）若，求这个不等式组的解集． （2）若这个不等式组无解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）令，解不等式组即可得到答案； （2）先解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组无解求解即可． 解：（1）解：当时，， 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 该不等式组无解， ∴， 解得， 的取值范围是． 【题型 6】一元一次不等式组与方程组综合 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 （1）若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． （2）若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键． （1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可； （2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围． 解：（1）解：解方程组，得 ∵点在第一象限， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知方程组的解为， 代入，得， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． （1）请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； （2）若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】（1）集外点；（2） 【分析】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 解：（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·山西晋中·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 2．（2026九年级下·河南信阳·专题练习）关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 3．（2026·河南信阳·一模）不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解，根据题意判断两端的大小，从而得到关于的不等式，求解即可． 解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 5．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，列不等式组，即可作答． 解：第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ， 解不等式，解得， 解不等式，得， 取两个不等式解集的公共部分，得． 7．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）对于任意实数,，规定一种新运算（和均是非零常数），若关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于y的不等式组． 解：由题意可得，原不等式组可化为解得． 该不等式组恰有3个整数解， ，解得， 故选B． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 解：， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 解不等式 ， 移项得 ， 系数化为1得， 取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为． 10．（25-26九年级下·河南南阳·期中）若实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】综合考查了数轴的有关内容，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．根据题意得到，然后求解即可． 解：由题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴， ∴的取值范围为． 11．（2026·河南新乡·一模）不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则横线处可以是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解出已知不等式的解集为．根据“同小取小”的原则，横线处的不等式需要满足：它的解集包含，即其本身的解集是（且），或者是恒成立的不等式． 解：①先解已知不等式： ． ②要使不等式组的解集为，横线处的不等式需要满足“同小取小”的规则，即： 若横线处为，此时不等式组的解集为，符合要求； 也可以是其他满足条件的不等式，如，解得． 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解集规则，解题关键是理解“同小取小”的原则，即当两个不等式的解集都是小于号时，取较小的那个作为不等式组的解集． 13．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组有一个整数解为7，列出关于的不等式，进行求解即可． 解：解，得， ∵不等式组有一个整数解为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴． 14．（24-25六年级下·上海·期中）已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二元一次方程组的解法．先根据和是关于，的方程的两个解，求出，，得出，再根据当取不小于的负数时，，解不等式组，即可得出答案． 解：∵和是关于，的方程的两个解， ∴， ，得， 把代入①，得， 解得：， ∴， ∴， 当取不小于的负数时，， 解得：， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 16．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）按照如下程序，输入x的值并计算，规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为， ，， ． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）计算 （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并求出它的整数解． 【答案】（1），数轴见分析；（2），整数解为： 解：（1）解：， ∴， ∴， 解得：， 在数轴上表示： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解为：． 18．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． （1）求k、b的值； （2）若y的值不小于0，求x的取值范围； （3）若，求y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将与代入求解即可； （2）由（1）得，根据“y的值不小于0”列不等式求解即可； （3）由（1）得，进而得到，根据列不等式组求解即可． 解：（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 解得； （3）解：由（1）得， ∴． ∵， ∴， 解得． 19．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． （1）写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； （2）设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）①；②和． 【分析】（1）根据数轴得出解集，再写出符合条件的一元一次不等式即可； （2）①根据题意可得，，且，即可得解；②根据已知不等式，得出，进而得出，即可得解． 解：（1）解：由题意可知，数轴表示的解集为， 则符合条件的一元一次不等式为； （2）解：①m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ，，且， ， ， ， m的取值范围为； ②由①可知，，， ， ， ， ， ∵，即， ∴ ， 整数n的值为和． 20．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 解：（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.3 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式组定义 1 【题型 1】一元一次不等式组及解集的判断 1 【知识点二】解一元一次不等式组 2 【题型 2】求解一元一次不等式组的解集 2 【题型 3】求解一元一次不等式组的整数解与最值 3 【知识点三】求一元一次不等式组中的参数 4 【题型 4】由一元一次不等式组的解集求参数 4 二.综合培优题型精析 4 【题型 5】一元一次不等式组的解集求参数 4 【题型 6】一元一次不等式组与方程组综合 5 三.同步检测 5 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 7 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元一次不等式组定义 把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 【要点提示】构成一次一次不等式组的基本条件：（1）必须含有同一个未知数，未知数要完全相同；（2）每个不等式都必须是一元一次不等式；（3）将两个不等式联立组合，就构成一元一次不等式组。 【题型 1】一元一次不等式组及解集的判断 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建厦门·二模）如图的数轴上表示的是两个关于x的一元一次不等式的解集，由这两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【知识点二】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【题型 2】求解一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组： （1）； （2），并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·月考）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1）； （2）． 【题型 3】求解一元一次不等式组的整数解与最值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）按照如图所示的程序进行运算时，发现输入的恰好经过次运算输出，则输入的整数的最小值是______． 【变式3】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解． 【知识点三】求一元一次不等式组中的参数 解一元一次不等式组基本步骤： （1） 先分别解不等式，用参数表示出各自解集；（2）结合题目给定解集、有无解等条件，列等式或不等式；（3）重点关注边界取值、不等号方向，检验参数范围是否成立。 【题型 4】由一元一次不等式组的解集求参数 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知不等式组的整数解只有3个，求的取值范围． 【变式1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）若不等式组恰有两个整数解，求m的取值范围． 二.综合培优题型精析 【题型 5】一元一次不等式组的解集求参数 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【变式3】（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知关于的不等式组：． （1）若，求这个不等式组的解集． （2）若这个不等式组无解，求的取值范围． 【题型 6】一元一次不等式组与方程组综合 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 （1）若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． （2）若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． （1）请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； （2）若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·山西晋中·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．（2026九年级下·河南信阳·专题练习）关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南信阳·一模）不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）对于任意实数,，规定一种新运算（和均是非零常数），若关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集是___________． 10．（25-26九年级下·河南南阳·期中）若实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围为______． 11．（2026·河南新乡·一模）不等式组的最大整数解为___________． 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则横线处可以是____________（写出一种情况即可）． 13．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 14．（24-25六年级下·上海·期中）已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是______． 15．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 16．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）按照如下程序，输入x的值并计算，规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）计算 （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并求出它的整数解． 18．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． （1）求k、b的值； （2）若y的值不小于0，求x的取值范围； （3）若，求y的取值范围． 19．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． （1）写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； （2）设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 20．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $