精品解析：河南省开封市祥符区实验中学2025-2026学年七年级下学期第一次学情自测数学试卷

祥符区实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 计算，正确结果是（ ） A. B. C. D. 2. 人体白细胞的主要作用是防御功能，可以通过趋化作用、吞噬病原菌，以及分泌炎性因子等方式来保护机体，又被称为与疾病斗争的“卫士”．某白细胞的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 弯曲河道改直 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 两钉子固定木条 5. 下列选项中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的有（ ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 8. 已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的结果是（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 25 10. 如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 11. 如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 12. 如图，直线，直角三角板的直角顶点P在直线b上，若，则的度数为______． 13. 计算：____________． 14. 若，，则______． 15. 图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 16. 如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是__________． 三、解答题（本大题共计8个小题，共计72分） 17. 计算： （1） ； （2）； （3） （4）． 18. 先化简，再求值： （1），其中 ； （2），其中，． 19. 已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． （1）画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． （2）用尺规作图在的右侧以点为顶点作； （3）射线与的位置关系为__________，理由是__________； 20. 如图，已知，，问：与平行吗？请说明理由． 解：．理由如下： ∵（已知） （ ） ∴_____________ ∴（ ） _________（ ） 又∵（ ） ∴∠_________ ∴（ ） 21. 原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： （1）若，则__________，__________； （2）若，求的值． 22. 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. （一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：； （二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足，，求斜边c的值． 24. 已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究． （1）如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为________； （2）将含角的直角三角板如图2所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由； （3）将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥符区实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 计算，正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原式=，故选A 2. 人体白细胞的主要作用是防御功能，可以通过趋化作用、吞噬病原菌，以及分泌炎性因子等方式来保护机体，又被称为与疾病斗争的“卫士”．某白细胞的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法表示法则写出即可． 【详解】， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟悉科学记数法规则． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，该选项计算正确，符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4. 我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 弯曲河道改直 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 两钉子固定木条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故不符合题意； B、木板上弹墨线为两点确定一条直线，故不符合题意； C、测量跳远成绩为垂线段最短，故符合题意； D、两钉子固定木条两点确定一条直线，故不符合题意； 故选：C ． 5. 下列选项中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 【详解】解：A选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，都在被截直线的上方，在截线的右侧，符合同位角的位置关系，所以和是同位角，故A选项符合题意； B选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故B选项不符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的右侧，在截线的左侧，所以和不是同位角，故C选项不符合题意； D选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故D选项不符合题意； 故选：A ． 6. 下列说法中，正确的有（ ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，平面内，两直线的位置关系，补角的定义，平面内，两直线只有平行和相交两种位置关系，据此可判断①；根据垂线的定义可判断②；当该点在直线上时，过该点不能作出已知直线的平行线，据此可判断③；同角或等角的补角相等，据此可判断④． 【详解】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，原说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ④同角或等角的补角相等，原说法正确； ∴说法正确的有②④， 故选：C． 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 8. 已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查余角与补角的定义，掌握知识点是解题的关键．根据余角与补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即这个角的补角为． 故选D． 9. 若，，则的结果是（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同底数幂的乘法和除法法则逆用把分解成，然后将已知，代入求解即可． 【详解】， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、除法法则逆用是解题的关键． 10. 如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，角的和差．先根据互为余角的定义求出的度数，再分两种情况讨论：当射线在内部时；当射线在外部时；分别计算求解，即可解题． 【详解】解：因为，与互余， 所以， 当射线在内部时， 则， 当射线在外部时， 则， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 11. 如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 【答案】对顶角相等 【解析】 【详解】解：∵与是对顶角， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 12. 如图，直线，直角三角板的直角顶点P在直线b上，若，则的度数为______． 【答案】34° 【解析】 【分析】根据和直角三角板的直角顶点P在直线b上，求得∠4，又直线可求得∠3进而可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴∠3=∠4=34°， ∴∠2=34°， 故答案为：34°． 【点睛】本题考查了平行线的性质及对顶角相等，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 13. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方和同底数幂的运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 利用指数法则和有理数运算规则，先将负数的偶次幂化为正，再合并底数相同的指数项进行计算． 【详解】解：原式为． 由于指数2026是偶数，因此． 原式化为． 根据指数运算法则，，得． 故答案为：． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先进行多项式的乘法运算，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15. 图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 三、解答题（本大题共计8个小题，共计72分） 17. 计算： （1） ； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算同底数幂除法，积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，再算乘法，最后算除法即可； （3）先计算负整数指数幂，零指数幂和绝对值，再合并同类项即可； （4）先按照多项式除以单项式的运算法则去括号，再分别计算各项最后相加即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简，再求值： （1），其中 ； （2），其中，． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 由绝对值和平方的非负性知， 代入得原式 ． 【小问2详解】 解：原式 代入得原式 ． 19. 已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． （1）画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． （2）用尺规作图在的右侧以点为顶点作； （3）射线与的位置关系为__________，理由是__________； 【答案】（1）解：如图，线段即为所求： （2） 解：如图，即为所作． （3）平行；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、平行线的判定，点到直线的距离，熟练掌握尺规作图和平行线的判定是解题关键． （1）分别过点作的垂线和过点作的垂线，垂线段即为所求； （2）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可得； （3）根据平行线的判定即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：射线与的位置关系为平行，理由是同位角相等，两直线平行， 故答案为：平行；同位角相等，两直线平行． 20. 如图，已知，，问：与平行吗？请说明理由． 解：．理由如下： ∵（已知） （ ） ∴_____________ ∴（ ） _________（ ） 又∵（ ） ∴∠_________ ∴（ ） 【答案】对顶角相等；∠CGD；同位角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，同位角相等；已知；BFD；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，然后根据等量代换可得∠CGD，再根据同位角相等，两直线平行可得，然后根据两直线平行，同位角相等可得BFD，从而得出∠BFD ，最后根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】解：．理由如下： ∵（已知） （对顶角相等） ∴∠CGD ∴（同位角相等，两直线平行） ∴BFD（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴∠BFD ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；∠CGD；同位角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，同位角相等；已知；BFD；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查的是平行线的性质及判定和对顶角的性质，掌握平行线的性质及判定和对顶角相等是解决此题的关键． 21. 原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： （1）若，则__________，__________； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可； （2）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ． 又， ， ， ． 23. （一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：； （二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足，，求斜边c的值． 【答案】（1）； （2）证明：中间正方形的边长为c，面积为，也可以看作从边长为的正方形面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即， 化简得， 所以； （二）知识应用： 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． （一）动手探究：（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案； （2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为，也可以从边长为的正方形面积减去四个直角三角形的面积即可； （二）知识应用：利用（2）中的结论，代入计算即可． 【详解】解：（一）动手探究：（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 由面积相等得， 故答案为：； （2）略 （二）知识应用：，， ， ， 答：斜边的长为13． 24. 已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究． （1）如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为________； （2）将含角的直角三角板如图2所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由； （3）将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数． 【答案】（1） （2） 解：一定平分， 理由：， ， 平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴， 平分； （3） 【解析】 【分析】（1）由平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，从而即可求解； （3）延长交于点，利用平行线的判定与性质可求得，最后再利用进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：130°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握平角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $