精品解析：广西河池市罗城仫佬族自治县高级中学2025-2026学年高一下学期4月份阶段性检测数学试题

罗城高中2026年春季学期高一年级4月份阶段性检测数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定位置上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题上答题无效. 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则的虚部为1. 2. 如图， 是水平放置的的直观图， ，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直观图的定义求得原图形中的长，再由勾股定理计算． 【详解】在直观图中易知，又因为，所以， 在原图形中，，， 所以． 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 由题意得 . 故选：C. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆台的侧面展开图中，两个半圆的半径分别是4和6求出圆台上下底面半径和母线长，依据图形运用勾股定理求解出圆台的高，运用圆台的体积公式即可计算出圆台的体积 【详解】由题意及图得， 作出圆台的截面图如下图所示，过点作于点， 设圆台上底面圆半径为， 则，解得， ∴， 设圆台下底面圆的半径为， 则，解得：， ∴，， 由几何知识得，圆台的母线长为， 在Rt中，由勾股定理得： ， ∴圆台的体积为：， 故选：B. 6. 已知单位向量满足,（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知等式平方把模转化为数量积求得，然后再由数量积的运算律计算． 【详解】因为是单位向量，且， 所以，所以， 所以. 7. 在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】在中，，，，又满足条件的有2个， 则，即，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题(本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若为复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据复数的运算可得，进而可得虚部；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算结合模长根式运算求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：复数的虚部为，故B错误； 对于选项C：例如是纯虚数，则，，即，故C错误； 对于选项D：设， 则，，， 可得， 所以，故D正确. 10. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示计算判断． 【详解】对于A，由已知，，，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，又，所以，D错． 11. 已知三个内角、、的对边分别是、、，若，则下列选项正确的是（     ） A. B. 若点在边上，为角平分线且长度为，则 C. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 D. 若是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用结合三角形的面积公式可判断B选项；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断C选项；根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解D即可. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由与余弦定理可得，所以， 因为，故，A错； 对于B选项，因为点在边上，为角平分线且长度为，所以， 由，即， 因为，所以，故，B对； 对于C选项，因为，则，即， 所以， 即，即， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为，C对； 对于D选项，因为，所以， 可知点在优弧上（端点除外）， 由题意得，则， 又因为， 且，所以可得， 即，又因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示直接构造方程求解即可. 【详解】已知，，所以. 因为，所以，解得. 13. 如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 故答案为： 14. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 【答案】米 【解析】 【分析】设塔高，利用仰角关系将用表示，再在中应用余弦定理列方程求解正根得到塔高. 【详解】设塔高米，由题意平面，因此： 在中，点仰角为，，得； 在中，点仰角为，​，得； 在 中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得一元二次方程：， 解得 或（舍去），即塔高为30米. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，核心是利用仰角定义结合余弦定理解决高度测量问题，体现了数形结合与方程思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求出，，由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案. 【详解】（1）因为， 且与平行， 所以，解得， 所以， 所以． （2）已知与的夹角为， 所以， 因为与垂直， 所以 所以． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且 （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解； （2）由根据面积公式，结合余弦定理求出，即可求解； 【小问1详解】 由，得， 利用正弦定理，得， 又， 代入上式，， 整理得，， 因，两边除以，得， 即，又，故； 【小问2详解】 由面积公式，，，， ，结合， 由余弦定理：， 代入，，则， 故周长为 17. 如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积，即可得出答案； （2）分别求出两个半圆锥的表面积，ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分，求出，，则阴影部分形成的几何体的表面积为，求解即可. 【小问1详解】 过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥． ，，，， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为， ， 半圆面以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为， . 【小问2详解】 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为 ， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为 ， ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为， 正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：， . 18. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. 【小问2详解】 因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. 【小问3详解】 因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗城高中2026年春季学期高一年级4月份阶段性检测数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定位置上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题上答题无效. 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 如图， 是水平放置的的直观图， ，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量满足,（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题(本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若为复数，则 10. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 11. 已知三个内角、、的对边分别是、、，若，则下列选项正确的是（     ） A. B. 若点在边上，为角平分线且长度为，则 C. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 D. 若是的外心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则________． 13. 如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于__________． 14. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且 （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 18. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $