精品解析：浙江杭州市临安区2025-2026学年第二学期期中学业水平测试八年级(数学) 试题卷

2025学年第二学期期中学业水平测试八年级（数学）试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式正确的是（） A. B. C. D. 3. 某互联网公司由三个部门组成，共有名员工，年各部门人数及相应的人均年利润如表所示：该公司年人均年利润为（ ） 部门 人数 人均年利润/万元 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 4. 用配方法求解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（   ） A. 有一个实数根            B. 有两个相等的实数根            C. 有两个不相等的实数根            D. 没有实数根 6. 学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ） A. 竖直摆放可以直接进门 B. 水平横放可以直接进门 C. 斜着沿门框对角线能进门 D. 怎么都无法进门 7. 某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为分，期末成绩为分，加权平均数为分，平时成绩的所占权重比例为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 9. 有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______． 12. 若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 14. 已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 15. 观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则_____． 16. 在矩形中，，，现将矩形沿对角线剪开，拼成一个新的平行四边形（不重叠、无缝隙），若该平行四边形的一条对角线长为，则这个平行四边形较长一边的边长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） （1）求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； （2）根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 20. 已知实数满足， （1）求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； （2）若，求的值． 21. 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来越严重．为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（不考虑风速的影响，，已知小临所住小区楼层高度规律为第楼高度． （1）小临家在2楼，即，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； （2）计算当从楼坠落时，物品落地时的速度． 22. 已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． （1）经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． （2）在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 23. 【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 （1）化简：； （2）根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 24. 已知长方形的长和宽分别为． （1）当周长为时， ①请用含有的式子表示这个长方形的面积． ②当面积为时，求这个长方形的长和宽． （2）当周长为时，证明：当时，总能围成面积为的长方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中学业水平测试八年级（数学）试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件． 【详解】解：A．不含根号，不是二次根式，不符合题意； B．的根指数为2，被开方数，符合题意； C．的根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意； D．不含根号，不是二次根式，不符合题意． 2. 下列等式正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的运算法则和基本性质逐一判断即可得到正确结论． 【详解】解：对于选项A，与不是同类二次根式，不能合并得到，例如当，时，左边，右边，左边右边，故A错误； 对于选项B，根据二次根式除法法则，，例如当，时，左边，右边，左边右边，故B错误； 对于选项C，根据二次根式性质，，当时，，故C错误； 对于选项D，有意义时，计算可得，故D正确． 3. 某互联网公司由三个部门组成，共有名员工，年各部门人数及相应的人均年利润如表所示：该公司年人均年利润为（ ） 部门 人数 人均年利润/万元 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三个部门的总年利润，再除以总人数，即可得到公司人均年利润． 【详解】解：∵总年利润为（万元）， 公司总人数为名， ∴人均年利润为（万元）． 4. 用配方法求解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的变形．按照配方法的步骤，将方程左边配成完全平方式，即可对比得到正确选项. 【详解】原方程为 ，一次项系数为 ，一次项系数一半的平方是： ， 方程两边同时加，得 ， 配方得完全平方式， 即 ． 5. 一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（   ） A. 有一个实数根            B. 有两个相等的实数根            C. 有两个不相等的实数根            D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】a=1,b=2,c=1, , 故选B. 6. 学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ） A. 竖直摆放可以直接进门 B. 水平横放可以直接进门 C. 斜着沿门框对角线能进门 D. 怎么都无法进门 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 7. 某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为分，期末成绩为分，加权平均数为分，平时成绩的所占权重比例为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平时成绩的所占权重比例为，根据加权平均数的计算公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设平时成绩的所占权重比例为，则期末成绩的所占权重比例为， ∵加权平均数为分， ∴可列方程， 展开得， 整理得， 解得， ∴平时成绩的所占权重比例为． 8. 已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 9. 有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 10. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为， ∴竖直高度为， ∴路程为， ∵汽车在避险车道上的速度与路程的关系式为， ∴刚进入避险车道时的速度是． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 12. 若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，进一步列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 14. 已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 15. 观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据已知等式总结出正整数对应的等式规律，再根据结果为列出一元二次方程，求解后结合为正整数即可解答． 【详解】解：观察已知等式，可得正整数对应的等式为结果， 由题意得， 整理为一元二次方程的一般形式，得，解得 或 ． ∵是正整数， ∴． 16. 在矩形中，，，现将矩形沿对角线剪开，拼成一个新的平行四边形（不重叠、无缝隙），若该平行四边形的一条对角线长为，则这个平行四边形较长一边的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算原矩形对角线长，再结合已知平行四边形对角线长度确定符合条件的拼接方式，比较边长后得到较长边的长度． 【详解】解：由题意得，矩形中，，，. 根据勾股定理，原矩形对角线的长度满足： ， 将矩形沿对角线剪开得到和， 将两个直角三角形的和边拼接，得到平行四边形，则一条对角线为，平行四边形邻边长为 ， ， 此时该平行四边形对应另一条对角线长满足： ，（舍去） 将两个直角三角形的和边拼接，得到平行四边形，则一条对角线为，平行四边形邻边长为 ， ， 此时该平行四边形对应一条对角线长满足： 符合题目中对角线长为的条件. ∵ ， ∴， 因此该平行四边形较长一边的边长为 . 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）4 【解析】 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）直接开方法求出x的值即可； （2）利用因式分解法求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 19. 2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） （1）求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； （2）根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】（1）型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； （2）型号机器人的动作耗时更稳定，理由如下： ①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 【解析】 【分析】本题考查了四分位数、中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；（2）对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可． 【小问1详解】 解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； 【小问2详解】 解：略． 20. 已知实数满足， （1）求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； （2）若，求的值． 【答案】（1）一元二次方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【小问1详解】 解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； 【小问2详解】 解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 21. 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来越严重．为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（不考虑风速的影响，，已知小临所住小区楼层高度规律为第楼高度． （1）小临家在2楼，即，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； （2）计算当从楼坠落时，物品落地时的速度． 【答案】（1）该物品落地时的速度为 （2）当从楼坠落时，物品落地时的速度为 【解析】 【分析】（1）先根据楼层高度公式求出2楼的下落高度，再将高度和重力加速度代入速度公式，计算得到落地速度； （2）将楼层高度公式直接代入速度公式，通过二次根式的化简，推导出速度与楼层 的通用关系式． 【小问1详解】 解：当时，， 可得； 答：该物品落地时的速度为． 【小问2详解】 ， ． ． 答：当从楼坠落时，物品落地时的速度为． 【点睛】核心是利用已知的物理公式和楼层高度公式，通过代入、化简二次根式求解速度． 22. 已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． （1）经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． （2）在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 【答案】（1）30%； （2）①；②应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率和利润问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）根据亩产量的两年增长关系，列一元二次方程解答即可． （2）当作业面积时，超过60亩的部分为亩，每亩净利润降低元，故每亩净利润为元．根据，列方程解答即可． 【小问1详解】 解：依题意，得 ， 解得：（舍）， 因增长率为正，故舍去负根， ∴增长率为． 答：年平均增长率为30%； 【小问2详解】 解：①当时，总净利润为：； ②， 解得：， 因为合作社共拥有山核桃林100亩，所以，故不符合题意，应舍去， ∴． 答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉． 23. 【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 （1）化简：； （2）根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：略． 24. 已知长方形的长和宽分别为． （1）当周长为时， ①请用含有的式子表示这个长方形的面积． ②当面积为时，求这个长方形的长和宽． （2）当周长为时，证明：当时，总能围成面积为的长方形． 【答案】（1）①长方形的面积；②这个长方形的长为，宽为 （2） 证明：已知周长为，则，即， 要围成面积为的长方形，需满足：， 整理方程：， 计算根的判别式：， 当时，，则，即， 因此，当时，总能围成面积为的长方形． 【解析】 【分析】（1）①利用长方形的周长公式和面积公式即可求解； ②由面积为，代入①中整理为关于的一元二次方程，并解方程即可求解； （2）由长方形的周长得出，再由面积公式得出一元二次方程，利用根的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：①已知周长为，根据周长公式：， 化简得：， 因此，长方形的面积． ②已知面积为，代入①的结果：，整理为一元二次方程得： ， 因式分解得：，解得或． 当时，，此时长比宽小，不符合题意； 当时，，此时长比宽大，符合题意； 所以长为，宽为． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $