第八章 立体几何初步 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一下学期(人A必修二第八章立体几何初步 ) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 2.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是(    ) A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 4.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是(    ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形 5.古代数学名著九章算术商功中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为(    ) A. B. C. D. 6.设四面体的棱，，，的中点分别为，，，，则四面体的体积与四面体的体积之比为(    ) A. B. C. D. 7.已知菱形的边长为，，将这个菱形沿折成的二面角，则，两点间的距离为(    ) A. B. C. D. 8.如图直角梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则下列结论错误的是       ． A. 平面平面 B. C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则(    ) A. 由，，，得与平行或者异面 B. 由，，，得或 C. 由，，得 D. 由，，，，得 10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是(    )           A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，下列说法正确的是(    ) A. B. 三棱锥的体积为 C. 点在平面的投影是的内心 D. 设与平面所成角分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是          ． 13.如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为          ． 14.如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点．点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积． 16.本小题分 已知四棱锥中，底面，，，，，． 求证：平面； 求直线与平面所成的角的正弦值 17.本小题分 如图，在三棱台中，，， 分别为，的中点． 求证：平面 若三棱锥的体积为，求三棱台的体积． 18.本小题分 九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点． 证明：平面； 证明：平面； 求直线与平面所成角的大小． 19.本小题分 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图．                         图                                         图 求证：平面 求证：平面平面； 求点到平面的距离。 2025-2026学年高一下学期(人A必修二第八章立体几何初步 ) 答案和解析 1.【答案】  解：对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故错误，反例如图： 对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误； 对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确； 对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误， 2.【答案】  解：若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 若，，则与平面可能平行，也可能在平面内，故B错误； 若，，，与平面可相交，也可能在平面内，故C错误 若，，，则，正确故选D． 3.【答案】  解：由题意可得  ，所以  ， 故在原图中，  ，   ， 所以四边形  为菱形如图所示，  ， 则原图形面积为  ．   4.【答案】  解：画出截面图形如图所示， 显然正三角形，正方形，正六边形均可以画出． 5.【答案】  解：设外接球的半径为，所以，故，所以， 设内切球的半径为，利用，解得，故，故外接球与内切球的表面积之比为． 6.【答案】  【解析】解：由题设，几何体示意图如下，其中，平面平面， 若到平面的距离为，则到平面的距离为， 所以，即． 故选： 7.【答案】  解：设， 因为是菱形，所以，， 所以将这个菱形沿折成的二面角，即， 菱形的边长为，， 所以，且利用余弦定理得． 8.【答案】  解：由直角梯形中，，，，为中点， 则，，易知， 又因为以为折痕把折起，使点到达点的位置， 则，， 由， 所以，所以， 又，，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 直线在平面内的射影为， 又四边形为正方形，所以， 故，故B正确； 由平面，易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确； 由平面，易知为直线与平面所成的角，又，，， 所以，故D错误． 故选D． 9.【答案】  【解析】解：对于选项，由，，可知，直线、无公共点，故与平行或者异面，对； 对于选项，由，可得，因为，所以或，对； 对于选项，因为，过作平面，使得，则， 因为，，则，故，对； 对于选项，因为，，，则或，故， 若，则、平行、相交或异面，错． 故选：． 10.【答案】  解：对于选项A：依题意得球的半径为，则圆柱的侧面积为，故A错误 对于选项B：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线为， 因此圆锥的侧面积为，故 B错误 对于选项C：球的表面积为，圆柱的侧面积为， 因此圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确 对于选项D：圆柱的体积， 圆锥的体积，球的体积， 所以，故D正确． 11.【答案】  解：由翻折前后的位置关系可得， 翻折后，，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故 A正确； 由上述过程可知平面，又因为平面，所以， 所以，故 B正确； 因为 两两互相垂直，，平面，所以平面，又因为平面，所以， 设为点在平面上的投影，连接，则平面，平面， 所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可证，即点为三角形高线的交点， 所以点在平面的投影是的垂心，故 C错误， 由上述过程可知，与平面所成角分别为， 结合翻折前的图形得， 由上述过程可知，所以， 所以，故 D正确； 12.【答案】  解：半径为的半圆弧长为，则圆锥的底面圆的周长为，底面半径为， 其轴截面为等腰三角形，圆锥的高， 13.【答案】  解：设，则． 因为平面，所以直线与平面所成角为． ． 14.【答案】  解：如图，连接，，， 因为，，分别为，，的中点，所以， 又平面，平面，则平面． 因为，所以同理得平面， 又，、平面， 得平面平面．因为直线平面， 所以点在直线上． 在中，，，， ， 故当时，线段的长度最小，最小值为． 15.【答案】解：三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 底面三角形的边长分别为，，， 是直角边长为，的直角三角形，                    设圆柱底面圆的半径为， 则，    所以．  16.【答案】解：证明：底面，平面， ， ，， 又，，平面， 平面． 过作于，连接， 底面，平面 ， ，，平面， 平面， 直线与平面所成的角为， ，，， ，是等边三角形， ，又，在中，，中求得， ，即直线与平面所成的角的正弦值为． 17.【答案】解：由题意，  ，  分别为  ，  的中点，  ， 又  平面  ，  平面  ，  平面  ，  ，  为  的中点，  ，  ，  ，  四边形  为平行四边形，  ， 又  平面  ，  平面  ，  平面  ， 又  ，  平面  平面        平面  ，   平面  ． 由题意及得， 设  的面积为  ， 则由几何知识知  的面积为  ，  的面积为  ， 设三棱台  的高为  ，则  ，   ． 18.【答案】解：证明：作的中点，连接， 由得分别为的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 证明：因为，所以， 因为底面，而底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面，而平面，所以， 因为，，所以，， 又因为平面，所以平面； 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得，所以， 因为为锐角，所以，所以与平面所成角为． 19.【答案】解：证明：取中点，连结，， 在中，，分别为，的中点， 所以，且， 由已知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． 证明：在正方形中，， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 在直角梯形中，，，， 所以，在中，，， 所以，所以，而平面平面， 得知：平面，即， 因为，，所以，，， 所以，， 设点到平面的距离为，根据，即， ，解得， 即点到平面的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $