第八章 立体几何初步单元检测卷 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 融合文化传承与科技前沿，覆盖立体几何核心知识点，适配单元复习的综合检测，适用于高中立体几何初步单元。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|堑堵结构（《九章算术》）、正三棱台外接球、多面体性质|以文化素材考查空间观念，基础与中档题结合| |多选题|3/18|正方体点线面关系、空间线面位置命题判断|通过辨析强化推理能力，体现数学思维严谨性| |填空题|3/15|正方体轨迹问题、四棱锥线线位置关系|聚焦空间几何直观，考查动态思维| |解答题|5/77|正三棱锥周长最小值、勒洛四面体（科技前沿）、灯塔体积与费用计算（实际应用）|综合考查模型意识与应用能力，呼应真题创新命题趋势|

第八章 立体几何初步重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高三上·甘肃·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高三上·辽宁·期中）正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026高三·全国·专题练习）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．（24-25高一下·北京房山·期末）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 6．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 7．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·月考）已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·江苏南京·一模）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 10．（25-26高三上·河北·月考）下列命题不正确的是（    ） A．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 B．没有公共点的两条直线是异面直线 C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 11．（24-25高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 14．（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体棱长为，平行于平面分别为棱的中点，现将正四面体绕旋转一周，则在平面上的投影的取值范围是______．    四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知正三棱锥，顶面角（过顶角的两条棱的夹角）为，侧棱长为3，点在上，点在上，求周长的最小值. 16．（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 18．（25-26高一下·河南·期中）某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3） (1)求该灯塔主体结构的体积； (2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？ 19．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高三上·甘肃·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用侧面展开图可求周长的最小值. 【详解】由堑堵的定义可知， 又，，所以， 又点为棱的中点，则， 所以， ， 所以最小时，的周长最小， 如图，将面与面展开在一个平面内，连接，与的交点即为， 则此时最小， 则. 所以的周长的最小值为.    故选：C 2．（25-26高三上·辽宁·期中）正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三棱台的结构特征求出上、下底面所在平面截球所得圆的半径，然后根据正三棱台高为1求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出结果. 【详解】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为， 下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图， 设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得, 因为， 所以球心在的延长线上，则， 故， 故，整理得， 化简解得. 所以该球的表面积为. 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何性质，结合圆柱的定义逐一判断即可. 【详解】①：八棱柱有2个底面和8个侧面，共个面，正确； ②：在面体内取一点，将该点与各面连接，可分割成个棱锥，正确； ③：棱台由棱锥截得，其侧棱延长线必交于一点（原棱锥的顶点），正确； ④：矩形需绕一边旋转一周才形成圆柱，若绕对角线等旋转则不成立，错误． 故选：C 4．（2026高三·全国·专题练习）水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【解答过程】结合直观图的画法，画出原如下图： 其中，， 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B. 5．（24-25高一下·北京房山·期末）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用正四棱柱的表面积公式列式求解即可. 【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 6．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 【答案】C 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 7．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为， 则，所以， 则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为， 此时面积，可知当时，即时，面积最大， 此时面积. 8．（25-26高三上·北京·月考）已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取圆锥的轴截面，计算出内切球的半径，再结合锥体和球体的体积公式可求得结果. 【详解】取圆锥的轴截面等边，设该圆锥的内切球球心为， 由题意可知，球心在线段上，且为等边的中心， 为等边外接圆的半径，所以，可得， 又因为，且切圆于点，所以， 故，即内切球半径为， 由题意可知，圆锥的底面半径为，高为， 故从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·江苏南京·一模）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABC 【分析】根据基本事实和推论判断. 【详解】    连接，，，因为为的中点，所以，平面平面， 因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点， 所以，，，三点共线，故A正确； 因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确； 取中点，连接交于点，由题意得，， 所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点， 所以点平面，，，，四点不共面，故D错. 故选：ABC. 10．（25-26高三上·河北·月考）下列命题不正确的是（    ） A．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 B．没有公共点的两条直线是异面直线 C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，可判定A、B错误，C正确；结合棱锥的定义，可判定D错误. 【详解】对于A，若一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面或直线在平面内，所以A错误； 对于B，若两条直线没有公共点，则两直线可能异面，也可能平行，所以B错误； 对于C，过平面外一点有唯一一条直线与这个平面垂直，过这条直线的平面有无数个，这无数个平面与这个平面都垂直，所以C正确； 对于D，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以D错误. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 14．（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体棱长为，平行于平面分别为棱的中点，现将正四面体绕旋转一周，则在平面上的投影的取值范围是______．    【答案】 【分析】当平面时，最短，当平行于平面时，最长. 【详解】在正四面体绕旋转的过程中， 当平面时，最短， 取的中点，连接， 由正四面体性质可知，四边形为正方形，边长为， ,平面，平面，平面平面， 此时在平面上的投影；    当平行于平面时，最长， 因为，， 则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知正三棱锥，顶面角（过顶角的两条棱的夹角）为，侧棱长为3，点在上，点在上，求周长的最小值. 【答案】 【分析】沿剪开，，翻折到平面内，则可得结果 【详解】沿剪开，，翻折到平面内（如图36）， 则，， 所以周长的最小值为. 16．（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，进行求解； （2）求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径； （3）根据表面上任意两点间距离的最大值即为其内接四面体的棱长． 【详解】（1）勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为， 圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，    即． （2）勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，    其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接， 则三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得， （3）勒洛四面体能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触， 所以其表面上任意两点间距离的最大值，即为其内接四面体的棱长4， 所以长度的最大值为4. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 【答案】 【分析】根据直观图和原图形之间的关系结合图象求解即可. 【详解】在直观图中设交于点， 则，， 平面四边形如图所示， 则，， 所以. 18．（25-26高一下·河南·期中）某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3） (1)求该灯塔主体结构的体积； (2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？ 【答案】(1) (2)景区预算够用 【分析】（1）利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解； （2）根据题意计算物料费和人工施工费，进而求解. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为， 则，所以， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 所以该灯塔主体结构的体积为； （2）由（1）得：主体结构材料费为(元)， 又外部的表面积为， 所以外部装饰涂料费为（元）， 所以总物料费为：（元）， 所以人工施工费为（元）， 所以总的费用为：（元）， 即总的费用为：万元万元， 所以景区预算够用. 19．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $