第八章《立体几何初步》章末综合检测2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章《立体几何初步》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A D B A C B AD BC ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中错误的是(　　) A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 【解析】A 由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确． 2. 如图所示，正方形的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为（ ） A. 12cm B. 16cm C. D. 【解析】B 从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为cm. 3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，所以，所以. 4. 设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若m//α，n⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m⊥n，n⊂α，则m⊥α D. 若m⊥α，m//n，则n⊥α 【解析】D 中，还可能有异面，A错；B中相交、平行、异面都有可能，B错； C中仅仅垂直于平面中的一条直线，与斜交也都有可能，C错； ，则垂直于内所有直线，而，则也垂直于内所有直线，，正确． 5. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 6. 如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成60°角 D. 与垂直 【解析】A 还原成正四面体， 如图，由异面直线判定定理： 易知与为异面直线，A错， 与为异面直线，B对， 易知：，又， 所以与成角，C对， 因为正四面体对棱垂直，所以， 所以，D对. 7. 在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 如图，设的中点，的中点，的中点，连结，，， 所以，，且，， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 由于，， 所以在等边中，， 同理在等边中，，故， 所以为等边三角形，故， 所以在中，，，， 由余弦定理可得：， 则， 则， 由于异面直线的夹角范围为， 所以异面直线与所成角为的补角， 则异面直线与所成角的正切值为. 8. 如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ） A. 时，该截面是正六边形 B. B. 时，四边形为正方形 C. 平面 D. 当四边形为正方形时，它的面积为 【解析】B 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确. 判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确. 判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确. 综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解析】AD 由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 10. 在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【解析】BC 如图，取中点，连接， 分别是和的中点，四棱锥是正四棱锥， 且，即四边形是平行四边形， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，是中点，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D，连接交于点，连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，， 因为平面，平面，所以， 则由，，平面平面，可证得平面， 又因为，所以与为异面直线， 如果平面，则与题意矛盾，故D错误. 11. 如图，已知等边的边长为，是边上的高，沿将平面折起，得到四面体，若二面角的平面角大小为，是四面体棱的中点，是内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 设二面角的平面角大小为，则 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 点到平面的距离为 【解析】ACD 因为为等边三角形，是边上的高，所以， 翻折后，又，，平面， 所以平面，故A正确； 连接，因为，所以二面角的平面角为， 所以为等边三角形，所以， 由A选项可知，平面，平面， 所以，又，，平面，所以平面， 过点G作，连接，因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以，则为二面角的平面角， 又，， 在中，，即，故B错误； 取的中点分别为，连接，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以的轨迹为线段， ，所以点的轨迹长度为，故C正确； 设点到平面的距离为，在中，， 所以边上的高为，所以的面积为， 根据，可得， 所以，即点到平面的距离为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为__________. 【解析】圆半径为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：． 13. 在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为__________. 【解析】如图，过点作于，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为平面与平面所成角得平面角， ， 由， 得， 所以， 即平面与平面的夹角的正切值为. 14. 已知三棱锥中的平分线交于点，若，则面积最大时，三棱锥外接球的表面积为__________. 【解析】在底面中，以所直线为轴，其中垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则.设.因为的平分线交于点，， 所以，即得点的轨迹方程为 面积最大，即点到轴距离最远，故此时点为， 所以. 由余弦定理可知，. 所以， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可知，，解得. 设外接球的半径为，三棱锥的高为的外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为. 又，故， 解得，所以. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． （1）求证：三线交于点P； （2）在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【解析】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【解析】（1） 如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得， 因平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）如图，取的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面，平面， 所以平面． 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． （1）求证：； （2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 【解析】（1）取的中点为，连接、， 在直三棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 因，则，故， 因为，，，、平面，故平面， 因为平面，所以. （2）因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为，，则， 所以， 因为平面，平面，则， 因为，，所以四边形为矩形， 设，则， 所以，解得， 因为平面，所以直线与平面所成角为， 在中，，，所以， 因为，故，因此直线与平面所成角为. 18. 如图，三棱柱中，，，，，． （1）证明：． （2）求三棱柱的体积． （3）求二面角的平面角余弦值大小． 【解析】（1）取中点，连结，，， ，， 是正三角形，． ，， ，平面平面， ∴平面． 又平面，； （2）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以． 又，则，故． 因为， 所以平面，即为三棱柱的高， 又面积， 故三棱柱的体积． （3）过作于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面， 故，． 则即为二面角的平面角． 中：，， 所以， 所以． 19. 如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. （1）当时，求四面体的外接球的表面积； （2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 【解析】（1）当时，平面平面， 由题意的外心为中点，连接， 则四面体外接球的球心在直线上， 又为等边三角形，则的中心即为球心， 于是，所以； （2）依题意，因为， 所以点在平面内的投影到点和点的距离相等， 即点在的垂直平分线（也是的角平分线）上， 而点在平面内的投影又应该在过点且与垂直的直线上， 从而得出点即为的三等分点且靠近， 于是平面平面，则即为直线与平面所成角， 在中，，，所以， 则； （3）因为，，且为等腰三角形，所以． 连接，，，， 由题意得：，，， 满足，根据勾股定理可知， 又平面， 所以平面． 所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，， 则， 于是，， 又，从而， 则， 即多面体的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中错误的是(　　) A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 2. 如图所示，正方形的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为（ ） A. 12cm B. 16cm C. D. 3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 4. 设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若m//α，n⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m⊥n，n⊂α，则m⊥α D. 若m⊥α，m//n，则n⊥α 5. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成60°角 D. 与垂直 7. 在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ） A. 时，该截面是正六边形 B. B. 时，四边形为正方形 C. 平面 D. 当四边形为正方形时，它的面积为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10. 在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 如图，已知等边的边长为，是边上的高，沿将平面折起，得到四面体，若二面角的平面角大小为，是四面体棱的中点，是内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 设二面角的平面角大小为，则 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 点到平面的距离为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为__________. 13. 在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为__________. 14. 已知三棱锥中的平分线交于点，若，则面积最大时，三棱锥外接球的表面积为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． （1）求证：三线交于点P； （2）在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． （1）求证：； （2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 18. 如图，三棱柱中，，，，，． （1）证明：． （2）求三棱柱的体积． （3）求二面角的平面角余弦值大小． 19. 如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. （1）当时，求四面体的外接球的表面积； （2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $