江西上饶经开区中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

**基本信息** 上饶经开区中学八年级数学期中试卷以文化传承与能力梯度为特色，融合秦九韶公式、《九章算术》“葭生池中”等经典素材，设置“将军饮马”模型应用、折叠动态探究等题，考查勾股定理、平行四边形等核心知识，渗透几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|直角三角形判定、平行四边形性质等|第5题结合秦九韶公式考查三角形面积| |填空题|6/18|最简二次根式、正多边形内角外角等|第10题引用《九章算术》“葭生池中”古题| |解答题|11/84|菱形证明、二次根式规律、勾股定理应用等|第22题用“总统证法”探究勾股定理，第23题设计折叠动态问题考查空间观念|

上饶经开区中学八年级数学期中试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1.下列各组数中，不能构成直角三角形的是() A.1、3、10 B.512、13 c.8、15、17 D.5√4、5 2.如图，将平行四边形ABCD的边BC延长，若∠A=110°，则∠1=（) D A.70° B.80° C.100° D.110 3.下列各式计算正确的是() A.3+V5=23 B.V48÷V3=4 C.√2×5=√5 D.√4=2 4.如图，DE是ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F,若AB=4,BC=6,则EF的长为 () A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 5.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的 2+b2-c2 三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S= 已知ABC的三边长a, 4 2 b,c分别为2,25,4，则ABC的面积是（) A.3 B.25 C.3 D.45 6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF,将BCF沿BF对折，得到 八年级·数学试题等 △BPF,延长FP交BA延长线于点2，正方形ABCD的边长为3，下列结论正确的个数是() ①AE=BF;②AE⊥BF;③OF=QB;④AQ=0.75 P G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(1本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.最简二次根式√m与√12可以合并，则m=· 8.若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是 9.如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3,若S1=6,S2=9,则 S3= S3 S2 B 10.古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水 深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1 尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺 1.对于任意不相等的两个实数ab,定义一种新运算※：※b=a+b,如：3※2=3+2-5，则 a-b 3-2 4※(6※3)= 12.如图，在矩形ABCD中，AD=30,AB=12,P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且B0=2BP, ；1页共4页 R是边AD上一动点，连接P2,PR,OR、当以点P,2,R为顶点的三角形是等腰直角三角形时，BP 的长为 三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.计算： (1)2+V8-V32; (2)(5-1+25÷5. 14.如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点E,AC⊥BC.若AC=6,BD=10. B (I)求BC的长： (2)求ABCD的面积. 15.定义：若两个二次根式m,n满足mn=p,且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”， (1)若m与5是关于10的友好二次根式，求m: (2)若2-√2与6+√2m是关于6的友好二次根式，求m. 16.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角AC上的两点，且BE⊥AC,DF⊥AC,连接ED,FB,求证： 四边形BEDP为平行四边形 17. 根据要求作图。 八年级·数学试 图1 图2 (I)如图1，平行四边形ABCD,点E,F分别在边AD,BC上，且AE=CF,连接EF.请你只用无刻度 直尺画出线段EF的中点O. (2)如图2，平行四边形ABCD,点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F,使得四边形 AECF为平行四边形.（保留画图痕迹，不必说明理由）. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. A D (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE-4,∠BCF-120°，求菱形BCFE的面积. 19.在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算 规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： +1=以 11+12 ,1,1 @1+2+ =1+112 "22+16 ，1,1 11 1+京+年-1+ =1 33+112 (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 1.1 1+4+ 的结果，并验证： (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第n个等式（n为正整数)； 3)【应用规律】计算：++空++京+京+++ 1 0232+ 20242· 题第2页共4页 20.综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》)，这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问 题：将军从A地出发到河边1饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，A,B是直线1同旁的两个定点.在直线I上确定一点P,使PA+PB的值 最小 【问题解决】作点A关于直线I的对称点A!,连接AB交I于点P,则点P即为所求.此时，PA+PB的值 最小，且PA+PB=A'P+PB=AB. B 图1 图2 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形，使△ABC的周长最小. (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C; (2)若(1)中的∠MON=30°，OA=10,求AABC的最小周长， 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.两个长为2cm,宽为lcm的长方形，摆放在直线l上（如图①所示），CE=2cm,将长方形ABCD绕 着点C顺时针旋转a角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度， G B ① ② (1)当旋转到顶点D,H重合时，连接AG(如图②所示)，求点D到AG的距离. (2)当a=45°时（如图③所示)，求证：四边形MHWD是正方形. 22.勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.图1为美国第二十任总统加菲 尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上.利 八年级·数学试题身 用此图的面积表示证明勾股定理。 C B A H B a b D 图1 图2 图3 (1)如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠A=∠D=90°，直角边分别为a,b,斜边为c,请根据图1证明勾股 定理a2+b2=c2; (2)如图2，AD⊥CD,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3,求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水， 决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,使CH⊥AB,现测得CA=1.3 千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米，求新修路CH的长. 六、（本大题共1小题，共12分） 23.探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. E B 图1 图2 图3 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=16,将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕 和AC交于点E,EC=6,BC=-; 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC交AD于点E,若AB=5, BC=10,求AE的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片ABCD中，AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直 线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出AE的长， ;3页共4页上饶经开区中学八年级数学期中试卷参考答案 题号 1 2 3 4 6 答案 D A B B D 7.3 8.6 9.15 10.12 1.s 3 12.4或6或8 13.(1)2 (2)6 14.(1)4: (2)24 15.(1)25 (2)3 16.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, :∠BAE=∠DCF, :BE⊥AC,DF⊥AC, ∴.∠AEB=∠CFD=90°，∠BEF=∠DFE=90°， BE∥DF, 在△ABE和CDF中 「∠BAE=∠DCF ∠AEB=∠CFD, AB=CD △ABE≌△CDF(AAS, :BE=DF, :BE∥DF, :四边形BEDF为平行四边形 17.(1)连接AC,与EF的交点即为点O: (2)连接AC、BD交于点O,连接EO并延长交CD于点F;由平行四边形的性质得出 AB∥CD,OA=OC,证明△AE0≌aCF0,得出AE=CF,即可得出结论 【详解】(1)解：如图点O即为所求， E D (2)如图点F即为所求， B 18.(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点， :DE/IBC且2DE=BC, 又：BE=2DE,EF=BE, :.EF=BC,EF //BC :四边形BCFE是平行四边形， 又：BE=FE, :四边形BCFE是菱形； (2)解：：∠BCF=120°， ∠EBC=60°， △EBC是等边三角形， ：菱形的边长为4，高为2√5， :菱形的面积为4×2√5=8√5. 19.(0)1+ 11 5=1+ 1=1从，验证见解析 44+120 11=1+ ②++n++nn+1nn+ -=1+ (3)20232023 2024 【详解】(1)解：① 11 11 1 V+2=l+ 1+ -=1-=1+- 11+12 1×29 @ 11 11 1 1 ,1+ 2+3 =1+ -=1二=1+ 22+16 2×3 ③ 1,1 人1 11 1 V32+42=1+ 1+ =1+- 33+112 3x4’ 1.1 1,1 故+家+5=1+4x5120 验证： 400 ,1,1 ,11,1 2)解：0++京=1+片1 1 1 11 V+2+3=1+ 2+16 11 ③1++ 11 1 42 =1+ -=1 33+112 1 :按照上面各等式反陕的规律，第n个等式（为正整数）为+厅+m+ 1 =1+ 11 nn+l =1+ n(n+1) (3)解： 1 1 20232+ 0242 =1+1-+1+分+1+号1+*+1+2004 4 =1+11+1+号方+兮++应 =2024-2024 =20232023 2024 20.1.(1)见解析 (2)10 【详解】(1)解(1)作点A关于OM的对称点A,关于ON的对称点”，连接A'A”,与 OM、ON相交于B,C两点，即为所求 M (2)连接OA,OA,OA" M B A 由对称性可知OM是AA'的垂直平分线， .0A'=0A, “△0AA'为等腰三角形，∠AOM=∠AOM=∠AOA, 同理可证得：ON是AA"的垂直平分线，OA'=0A”,OA=0A”,△AOA”是等腰三角形， .∠A'0A"=∠A0A'+∠A0A"=2∠A0M+2∠A0N, .∠AOM+∠AON=∠MON=30°， .∠A'OA"=2∠MON=60°， :0A'=0A”, .△A'OA”为等边三角形， A'A"=0A'=0A"=0A=10, 连接AB,AC,则AB=AB,AC=A"C, :C.Bc AB+BC+AC=A'B+BC+A"C=A'A", 由两点之间，线段最短可知，此时A'A”最小， :△ABC的周长最小值为10. 21.(02m (2)见解析 (1)解：如图所示，过点D作DK⊥AG于点K, CD=CE DE =2cm, △CDE是等边三角形， :∠CDE=60°， .∠ADG=360°-2×90°-60°=120°， AD DG =1cm ∠DAG=∠DGA=30°， 1 ∴DK=。DG=5cm, 2 2 :点D到AG的距离是 （2)证明：：=45°， :∠WCE=∠NEC=45°，CN=NE, :∠CNE=90°， :∠DNH=90°， :∠D=∠H=90°， :四边形MHND是矩形， :∠NCE=∠NEC, :CN =NE, :CD=EH, :DN =NH ·矩形MHND是正方形. 22.(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【详解】(I)证明：：RtAABE≌RtADEC, ·LAEB=∠DCE, :∠A=∠D=90°， .∠DEC+∠DCE=90°， ∠DEC+∠AEB=90°，即∠BEC=90°， .5.we +5m+5nexexe axb=c 1 -+ab, 2 2 2 SmmC-(a+b)(a+b)=t 2 -+ab, Q2+6 +ab=C+ab,即a2+=c, 2 2 (2)解：：AD⊥CD,AD=4,CD=3, :有勾股定理得，AC=VCD2+AD2=V32+42=5, :AB=13,BC=12, .AC2+BC2=AB2, .∠ACB=90°， =5w-5m5x2-×3x4=24. 答：阴影部分面积为24： (3)解：设AH=x千米，则BH=(1.4-x千米， :CH⊥AB, :∠CHA=∠CHB=90°， :在RtAAHC中，CH2=AC2-AH2, 在Rt△BHC中，CH2=BC2-BH2, .AC2-AH2=BC2-BH2,即1.32-x2=1.52-(1.4-x)2, 整理得，2.8x=1.4, 解得，x=0.5, AH=0.5千米， CH=√AC2-AH3=.32-0.52=1.2(千米)， 答：新修路CH的长为1.2千米. 23.(1)8 a号 (3)AE的长为5或20 【详解】(1)解：：AC=16,EC=6, .AE=AC-EC=16-6=10, 由折叠的性质得：BE=AE=10, 在RtaBCE中，由勾股定理得：BC=VBE2-CE2=V102-62=8, 即BC=8; (2):四边形ABCD是长方形， AD=BC=10,∠A=90°，AD|BC, LEDB=∠CBD, 由折叠的性质得：∠EBD=∠CBD, ∠EDB=∠EBD, :BE =DE, 设AE=x,则BE=DE=I0-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2, 即x2+52=(10-x)2, 潮路：x=宁 即-安 (3):四边形ABCD是长方形， :AD=BC=8,∠B=90°， 设线段BC的垂直平分线交BC于点M,交AD于点N,则MN=AB=I0, 分两种情况：①如图，当点F在长方形内部时， 点F在线段BC的垂直平分线MN上， M :4N-74D-8,BM-7BC-8. 由折叠的性质得：BF=BA=I0,AE=FE, 在RtaBFM中，由勾股定理得：FM=√BF2-BM2=V102-82=6, .FN=MN-FM=10-6=4, 设AE=FE=y,则EN=8-y, 在RtAENF中，由勾股定理得：EF2=EW2+FN2, 即y2=(8-y)+16, 解得：y=5, 即AE=5; ②如下图所示，当点F在长方形外部时， B 由折叠的性质得：BF=BA=10,AE=FE, 由①得：FM=6,FN=MN+FM=10+6=16, 设AE=FE=a,则EN=a-8, 在RtAENF中，由勾股定理得：EF2=EN2+FN2, 即a2=(a-82+162, 解得：a=20, 即AE=20; 综上所述，点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AE的长为5或20. 上饶经开区中学八年级数学期中试卷 时间：100分钟 满分: 120分 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项) 1.下列各组数中，不能构成直角三角形的是( ) A. 1、3、 B. 5、12、13 C. 8、15、17 D. 2.如图,将平行四边形ABCD的边BC延长,若∠A=110°,则∠1= ( ) A.70° B.80° C.100° D.110° 3.下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 4.如图, DE是ceABC的中位线, ∠ABC的角平分线交DE于点F,若AB=4, BC=6,则EF的长为( ) A.0.5 B.1 C. 1.5 D. 2 5.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 已知 ceABC的三边长 a,b, c分别为 2, 2 , 4,则 ceABC的面积是( ) A. B. 2 C. 3 D. 6.如图,在正方形ABCD中, E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、BF,将ceBCF沿BF对折,得到 △BPF，延长FP交BA延长线于点Q，正方形ABCD的边长为3，下列结论正确的个数是( )① AE=BF; ② AE⊥BF; ③QF=QB; ④AQ=0.75 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(1本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.最简二次根式 与 可以合并,则m= . 8.若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是 9.如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S₁、S₂、S₃，若 则 10. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水深几何?如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺. 11. 对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种新运算※： 如： 则4※(6※3)= . 12.如图,在矩形ABCD中,AD=30,AB=12,P是边AB上一动点,Q是边BC上一动点,且BQ=2BP,R是边AD上一动点，连接PQ，PR，QR.当以点P，Q，R为顶点的三角形是等腰直角三角形时，BP的长为 . 三、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.计算: 14.如图,在▱ABCD中,对角线AC, BD交于点E, AC⊥BC.若AC=6, BD=10. (1)求BC的长; (2)求▱ABCD的面积. 15.定义：若两个二次根式m，n满足m-n=p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”. (1)若m与 是关于10的友好二次根式，求 m； (2)若 与 是关于6的友好二次根式，求m. 16.如图, E、F是平行四边形ABCD的对角AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC ,连接ED,FB ,求证:四边形BEDF为平行四边形. 17.根据要求作图。 (1)如图1,平行四边形ABCD,点E, F分别在边AD,BC上,且AE=CF,连接EF.请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O. (2)如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形.(保留画图痕迹，不必说明理由). 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18.在△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. (1)求证:四边形 BCFE 是菱形; (2)若 CE=4, ∠BCF=120°,求菱形 BCFE的面积. 19.在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第n个等式(n为正整数)； (3)【应用规律】计算： 20.综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐·李颀《古从军行》)，这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短? 可以转化为数学模型：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小. 【问题解决】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小,且PA+PB=A'P+PB=A'B. 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使△ABC的周长最小. (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点 B和C； (2)若(1)中的∠MON=30°, OA=10,求△ABC的最小周长. 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.两个长为2cm,宽为1cm的长方形,摆放在直线l上(如图①所示), CE=2cm,将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度. (1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AG (如图②所示)，求点D到AG的距离. (2)当α=45°时(如图③所示),求证:四边形MHND是正方形. 22.勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示证明勾股定理. (1)如图1, Rt△ABE≌Rt△DEC, ∠A=∠D=90°, 直角边分别为a, b, 斜边为c, 请根据图1证明勾股定理 (2)如图2, AD⊥CD, AB=13, BC=12, AD=4, CD=3, 求阴影部分的面积; (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，使( ，现测得CA=1.3千米, AB=1.4千米, BC=1.5千米, 求新修路CH的长. 六、(本大题共1小题，共12分) 23.探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中， ，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E, EC=6, BC= ; 【深入探究】 (2)如图2,将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,若AB=5,BC=10, 求AE的长; 【拓展延伸】 (3)如图3, 在长方形纸片ABCD中, AB=10, BC=16, 点E为射线AD上一个动点, 把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出AE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $