11.3一次函数与方程、不等式的关系第2课时一次函数与二元一次方程的关系 课件 2025--2026学年青岛版数学八年级下册

第11章 一次函数 函数 ………… 青岛版 八年级下册 函数 内容提要 ◆ 一次函数的概念、图象与性质 ◆ 一次函数与方程、不等式 ◆ 一次函数与实际问题 常量与变量 一次函数 解一元一次方程ax＋b＝0，相当于求一次函数 y＝ax＋b的函数值等于零时自变量x的值，即求 直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标。 1.一元一次方程ax＋b＝0的解与一次函数 y＝ax＋b的关系： 温故而知新 2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤： ①转化：将一元一次方程转化为 kx+b = 0 (k≠0)的形式； ②画图象：画出一次函数 y = kx+b 的图象； ③找交点：找出一次函数图象与 x 轴交点的横坐标， 即为一元一次方程的解. 温故而知新 解不等式ax＋b＞0(或ax＋b<0)，相当于求一次 函数y＝ax＋b的函数值大于(或小于)零时自变量x 的取值范围，即求直线y＝ax＋b在x轴上方(或下方) 的点的横坐标的取值范围． 温故而知新 3.解不等式ax＋b＞0(或ax＋b<0)与一次函数 y＝ax＋b的关系 第三步：找出图象与x轴交点的横坐标，不等式的解 集就是比交点的横坐标大或小的x值的集合． 4.用函数图象法解不等式的步骤： 第一步：把不等式化为kx＋b>0或kx＋b<0的形式； 第二步：画出一次函数y＝ kx＋b的图象； 温故而知新 一次函数的表达式也可以看作含有两个未知数的等式,即二元一次方程。 从函数视角看二元一次方程,会有什么新收获呢? 创设情境 导入新课 青岛版数学 八年级下册 第11章 一次函数 11.3 一次函数与方程、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程的关系 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 (1)y=3x-5是一次函数吗? 是二元一次方程吗? y = 3x - 5是一次函数； 把y = 3x - 5中的x,y当作未知数， 那么它就是一个二元一次方程； 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 (1)一次函数与二元一次方程之间有什么关系吗? 一次函数 y = 3x - 5 二元一次方程 3x - y = 5 用方程观点看 二元一次方程 y = 3x - 5 用函数观点看 一次函数 二元一次方程 (2)二元一次方程3x-y=5的一个解与一次函数y=3x-5图象上相应的点的坐标之间有什么关系? 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 二元一次方程3x-y=5有无数解，如： x=1 y=-2 x=2 y=1 x=3 y=4 二元一次方程3x-y=5的解为坐标的点(1,-2)，(2,1)，(3,4)在一次函数y=3x-5图象上。 (2)二元一次方程3x-y=5的一个解与一次函数y=3x-5图象上相应的点的坐标之间有什么关系? 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 以方程3x-y=5的解（x, y）为坐标的点都在一次函数y=3x-5的图象上。 反过来,直线y=3x-5上任意一个点的坐标（x, y）,都是二元一次方程3x-y=5的解。 任意二元一次方程的解与其对应的一次函数图象上点的坐标之间有什么关系? 思考与交流 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 任意二元一次方程都可以可以转化为y=kx-b 任意二元一次方程的解与其对应的一次函数图象上点的坐标之间是一对一的关系。 在一次函数 y=3x-5的图象上 方程 3x-y=5的解 从形到数 从数到形 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 概括与表达 探究一 一次函数与二元一次方程的关系 一般地,二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0) 可看作一个一次函数y= - x+。 以二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的任意一个解为坐标的点,都在直线y= - x+ 上; 反之,直线y= - x+ 上任意一个点的坐标,都是二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的一个解。 例1、下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　) C 直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合． 练习1. （1）二元一次方程3x-4y=8的解，一定是一次函数 图象上的点。 （2）一次函数y=3x-1的图象上任意一个点的坐标一 定是二元一次方程 的解。 y= x-2 3x- y=1 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 思考与交流 2x-y=1 3x+5y=8 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗? 解：二元一次方程组 2x-y=l 3x+5y=8 可转化为两个一次函数 y=2x-1 y= - x+ 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x-1 p （1,1） 同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1 与y=-x+ 这两条直线的交点坐标为（1，1） y=-x+ 由此得出方程组 2x-y=l 3x+5y=8 得解是 x=l y=1 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. (2)方程组的解在图象上对应着哪个点？ (3)为什么交点的坐标就是这个方程组的解？ 思考与交流 (1)你能用之前学过的方法解这个方程组 吗？ 2x-y=1 3x+5y=8 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 解一个二元一次方程组，可以先写出方程组中的两个二元一次方程分别对应的一次函数，其图象的交点坐标即为方程组的解。 反之，求直角坐标系中两条直线的交点坐标，就是可以转化成由两条直线的表达式组成的二元一次方程组的解。 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 概括与表达 求二元一次方程组的解 就是求其两个二元一次方程对应一次函数图像交点坐标。 就是求由两直线的表达式组成的二元一次方程组的解 确定两条直线交点的坐标 探究二 一次函数与二元一次方程的关系 例2.函数y=2x-1与y=x+1的图象是否有交点? （1）若有,求出交点坐标。 （2）当x取何值时2x-1＞x+1？ 解：直线y=2x-1上点的坐标都是方程y=2x-1的解, 直线y=x+1上点的坐标都是方程y=x+1的解。 y=2x-l y=x+1 两个函数图象若有交点, 则其坐标满足方程组： 解得 x=2 y=3 所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点,交点坐标为(2,3)。 x y=x+1 在同一坐标系里画出函数y=2x-1与y=x+1的图象： x 0 y=2x-1 -1 0 0 1 0 -1 所以函数y=2x-1与y=x+1的图象有交点,交点坐标为(2,3)。 两个函数图象的交点坐标也可以通过画出它们的图象得到 （2）观察图象得，2x-1＞x+1 表示y=2x-1图像在y=x+1的图象 上方时自变量x的取值 ∴x＞2 例3、如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3). (1) 求 m，a 的值； x O y P A B y＝－x－1 y＝ax＋4 (2) 根据图象，直接写出 不等式－x－1＞ax＋4 的解集. 解：把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得， －m－1＝－3，解得 m＝2， ∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P， ∴点 P 的坐标为 (2，－3)， ∴ 2a＋4＝－3. 解得：a＝- （2）由图象得， 不等式 －x－1＞ax＋4 的解集为 x O y P A B y＝－x－1 y＝ax＋4 (2，－3) x＞2. 练习2.如图，根据图中信息解答下列问题: (1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是　 　； (2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是　 ； (3)当 x 为何值时，y1≤y2? (4)当 x 为何值时，0＜y2＜y1? x＜2 x＜0 解: (3) x≤1. (4) 1＜x＜2. 一次函数与二元一次方程组、不等式 解一元一次不等式 解二元一次方程组 对应一次函数的函数值大（小）于另一个函数的值时，求自变量的取值范围，即在一个函数图像上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 求对应两条直线交点的坐标 . 课堂小结 1. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y＝ax＋b和y＝kx 的图象交点坐标为 . (－4，2)　 当堂检测 2.如图，已知直线l1：y＝x＋n－2与直线l2： y＝mx＋n相交于点P(1，2). (1)求m，n的值； (2)请结合图象直接写出不等式 mx＋n＞x＋n－2的解集。 解：(1)把P(1，2)代入y＝x＋n－2得1＋n－2＝2， 解得n＝3； 把P(1，2)代入y＝mx＋3得m＋3＝2， 解得m＝－1. ∴m＝－1，n＝3. (2)不等式mx＋n＞x＋n－2的 解集为x＜1. 3．一次函数l1：y1＝－x－和l2：y2＝2x＋1的图象 如图所示． (1)求交点坐标； (3)当y1＞y2时，求x的取值范围； (4)求不等式－x－≤2x＋1的解集． (3)x＜－1. 解：（1）（-1,-1） （2） x=－1. y=－1. (4)x≥－1. $