8.2 平行四边形 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

8.2 平行四边形 课时1 边角的性质 1.理解平行四边形的定义，能识别平行四边形. 2. 掌握平行四边形 “对边相等”“对角相等” 的性质定理，并能进行简单推理与计算. 3.理解平行线间距离的概念，会利用平行四边形性质证明线段相等. 学习目标 观察下图,请找出其中的平行四边形.你能说出什么是平行四边形吗? 探究一 平行四边形的概念 新课讲授 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 如图,在四边形ABCD 中, 平行四边形的定义： 若AB∥CD,AD∥BC, 则四边形ABCD 是平行四边形. 新课讲授 平行四边形的表示方法： 平行四边形用“ ”来表示. 如图四边形ABCD是平行四边形， 记作 “ ABCD ”, 读作 “平行四边形ABCD”. 新课讲授 平行四边形的要素： ABCD的边 邻边： AB与BC,AB与AD, AD与CD,BC与CD, 对边： AB与CD,AD与BC ABCD的角 邻角： ∠A与∠B,∠B与∠C, ∠A与∠D,∠C与∠D, 对角： ∠A与∠C, ∠B与∠D 新课讲授 不相邻两顶点的连线称为对角线. 平行四边形的对角线： ABCD的对角线 ： 新课讲授 对边分别平行的四边形 平行四边形 几何语言： ∴四边形ABCD是平行四边形. AB∥CD，　 AD∥BC　 ∵ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，　 AD∥BC　 对平行四边形的理解： 判定方法 性质方法 新课讲授 (1)如图,根据平行四边形的定义,你能得到哪些结论? 探究二 平行四边形的性质 思考与交流： 两组对边分别平行, 每组对边好像是相等的. 每对邻角互补 , 每对对角好像也相等. 新课讲授 (2)上面的结论对于任何一个平行四边形都成立吗? 如何证明? 新课讲授 已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形. 求证:AB=CD,AD=CB. 新课讲授 证明：如图，连接BD. ∴AD∥BC , AB∥CD ∴∠1=∠2， ∠3=∠4 ∴△ABD≌△CDB（ASA）， A B C D 1 2 3 4 ∴AB=CD ， AD=CB. 在△ABD和△CDB中， ∠1=∠2, BD=DB, ∠3=∠4, ∵四边形ABCD是平行四边形， 新课讲授 平行四边形的两组对边分别相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形对边相等） A B C D 平行四边形的性质定理1： 探究二 平行四边形的性质 新课讲授 已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形. 求证:∠A=∠C，∠B=∠D. A B C D 新课讲授 证明：如图，连接BD. ∴AD∥BC , AB∥CD ∴∠1=∠2， ∠3=∠4 ∴△ABD≌△CDB（ASA）， A B C D 1 2 3 4 ∴∠A=∠C. 在△ABD和△CDB中， ∠1=∠2, BD=DB, ∠3=∠4, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1+∠4=∠ABC ∠2+∠3=∠ADC ∴∠ABC=∠ADC 新课讲授 平行四边形的两组对角分别相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，∠B=∠D. （平行四边形对角相等） A B C D 平行四边形的性质定理2： 每对邻角有什么数量关系？ 新课讲授 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，BC=AD. 性质定理1：平行四边形的对边相等.（平行） 性质定理2：平行四边形的对角相等.（邻角互补） ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D. A B C D 平行四边形的性质定理： 探究二 平行四边形的性质 新课讲授 A B C D E F G H 例1、如图,E,F,G,H 分别是 ABCD 的边AD,AB,BC, CD 上的点,且AE=CG,BF=DH. 求证：EF=GH. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C(平行四边形的对角相等), AB=CD(平行四边形的对边相等). ∵BF=DH, ∴AF=CH. ∴△AFE≌△CHG(SAS). ∴EF=GH. 在△AEF和△CGH中， AE=CG ∠1=∠2, BD=DB, 典例精析 例2：如果两条直线平行，那么一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等. 已知：如图，直线l1∥l2，A、B是l1上两点，AE⊥l2，BF⊥l2，垂足为E、F.求证：AE = BF. 证明：∵AE⊥l2，BF⊥l2， ∴∠AEF=∠BFE=90° ∴∠AEF+∠BFE=180° ∴∠AE∥BF ∴四边形AEFB是平行四边形 ∴AE=BF 典例精析 两条平行线中，其中一条直线上任意 一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 如：AC、BD的长均是平行线a与b之间的距离. A C D B a b F E 夹在两平行线间的垂线段相等.即平行线间的距离处处相等. 平行线之间的距离： 归纳 如图，P为 ABCD内的任意一点，连接PA,PB,PC,PD,得到△PAB， △PBC， △PCD， △PAD.你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与 ABCD积之间有什么关系？从而你能得到什么结论？证明你的结论. A B C D P 解：其中两个不相邻的三角形的面积之和等于平行四边形ABCD面积的一半. 练一练 A B C D P 证明：如图，过点P分别作边AB,BC的平行线， 则四边形ABCD被分成四个小平行四边形， AP,BP,CP,DP分别为相应平行四边形的对角线， △PAB与△PCD的面积的和等于△PBC与△PAD的面积的和，都等于平行四边形的面积的一半， 即 S△PAB +S△PCD=S△PBC +S△PAD=S OABCD . 练一练 本节课你有什么收获？ 平行四边形的两组对角分别相等. 平行四边形的性质定理2： 平行四边形的两组对边分别相等. 平行四边形的性质定理1： 课堂小结 1.在 ABCD中，∠A=60°，BC=3cm，则∠B=_____，∠C=_____，AD=_____. 3cm 120° 60° 2、在 ABCD中， 若∠A:∠B= 5:4，则∠C=______ 、∠D=______. 100° 80° 3、若AE、AF为高，∠EAF=60° 则∠C= _____，∠B=_____. C D A B E F 120° 60° 当堂检测 A B C D 4.在 ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是( ). A . 1∶2∶3∶4 B . 1∶2∶2∶1 C . 2∶2∶1∶1 D . 1∶2∶1∶2 D 当堂检测 5.如图,在 ABCD 中,G,H 是对角线AC 上两点, 且AG=CH.求证:BG∥DH. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠BAC=∠BCD, AB=CD. 在△ABG和△CDH中， AB=CD ∠BAC=∠DCH, AG=CH, ∴△ABG≌△CDH(SAS) ∴∠AGB=∠CHD ∴∠BGC=∠AHD ∴GB∥HD 当堂检测 8.2 平行四边形 8.2 课时2 对角线的性质 1.掌握平行四边形的性质定理 3：“平行四边形的对角线互相平分”； 2.理解平行线间距离的概念，会利用平行四边形性质证明线段相等. 学习目标 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 记作: ABCD 读作： A B C D 1.平行四边形的定义: 平行四边形ABCD 新课导入 ∵四边形ABCD是平行四边形 . 性质定理1：平行四边形的对边 . 性质定理2：平行四边形的对角 . ∵四边形ABCD是平行四边形 . A B C D 2.平行四边形的性质定理： 相等（平行） ∴AB=CD，BC=AD 相等（邻角互补） ∴∠A=∠C，∠B=∠D 新课导入 3、平行四边形性质的推论： （1）夹在两条平行线间的 相等； （2）平行线之间的 处处相等. ∟ A D C B ∟ 4、平行四边形的有关计算： 周长： 两邻边之和×2 面积： 边长×边长上的高 平行线段 距离 新课导入 前面我们研究了平行四边形的边和角的性质,它的对角线有什么性质? 新课导入 A C D B O 探究一 平行四边形的性质 小亮通过观察和测量发现：OA=OC,OB=OD. 思考与交流： 如图,在 ABCD 中,对角线AC和BD 交于点O. OA与OC,OB与OD有什么数量关系？ 由此,他猜想点O同时是AC和BD 的中点. 小亮的猜想正确吗? 新课讲授 ● A D O C B D B O C A 发现： OA=OC,OB=OD 观察与发现： 如图,在 ABCD 中,对角线AC和BD 交于点O.把平行四边形ABCD绕着O点旋转180°. 从对角线的角度思考，你发现了什么？ 新课讲授 猜想得出：OA=OC,OB=OD. 如何证明你的猜想？ A C D B O 即平行四边形对角线互相平分. 已知：如图 ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 思考与交流： 新课讲授 ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. 即平行四边形对角线互相平分. 新课讲授 平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝OC，OB＝OD． （平行四边形的对角线互相平分） 几何语言： A C D B O 平行四边形的性质3： 新课讲授 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线，分别交于AD,BC于点E、F．求证：OE＝OF． 典例精析 ∴OE=OF 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分) ∴∠1=∠2 在△OAE和△OCF中， ∠3=∠4 OA=OC ∠1=∠2, ∴△OAE≌△OCF(ASA) 典例精析 在例 3 中，经过两对角线的交点 O 作直线，还有以下的两种情况，上述结论还成立吗？并给出证明. A C D B O 练一练 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质3： 课堂小结 1.在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=30cm,BD=24cm,则AO= ，BO= . 若AB= 18cm，则△COD的周长为______. 2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则∆ABO的周长为___. A C D B O 15cm 12cm 45cm 14 当堂检测 3.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O. 作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F. (1)写出图中两对全等三角形; (2)求证:OE=OF. 解：(1)△AOB≌△COD, △AOD≌△COB,△ABE≌△CDF, △AOE≌△COF,△ABD≌△CDB, △ABC≌△CDA; 当堂检测 (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO, ∵AE⊥BD, CF⊥BD, ∴∠AEO=∠CFO, ∵∠AOE=∠COF 在△OAE和△OCF中， ∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC ∴△AOE≌△COF(AAS), ∴ EO=FO. 当堂检测 8.2 平行四边形 课时3 平行四边形的判定定理1、2 1.掌握平行四边形的两个判定定理1、2； 2.能运用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边形； 3.能结合平行四边形的性质与判定解决简单的几何问题. 学习目标 ∵四边形ABCD是平行四边形 . 性质定理1：平行四边形的对边 . 性质定理2：平行四边形的对角 . ∵四边形ABCD是平行四边形 . A B C D 1.平行四边形的性质定理： 相等（平行） ∴AB=CD，BC=AD 相等（邻角互补） ∴∠A=∠C，∠B=∠D 新课导入 性质定理3：平行四边形的对角线 . ∵ 四边形ABCD是平行四边形 A C D B O 互相平分 ∴ ． OA＝OC，OB＝OD 新课导入 性质定理3的推理论： 过平行四边形两条对角线的 的直线与平行四边形的一组对边或一组对边的延长线所截得的 . 交点 线段相等 O A C D B O ∵ EF经过 ABCD的对角线AC、BD交点O ∴OE=OF. 新课导入 运用平行四边形的性质可以解决与平行四边形相关的问题. 如何判定一个四边形是平行四边形呢? 新课导入 对边分别平行的四边形 平行四边形 几何语言： ∴四边形ABCD是平行四边形. AB∥CD，　 AD∥BC　 ∵ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，　 AD∥BC　 探究一 平行四边形的判定定理 平行四边形的定义： 判定方法 性质方法 新课讲授 (1) 王老师用两根长度均为20cm的木条和两根长度均为30cm的木条,将四个木条首尾相接,制作成一个如图所示四边形的教具.这个教具是平行四边形吗? 观察与发现： 新课讲授 猜想：这个两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. 上述结论正确吗? 怎样证明她得出的结论? 求证:四边形ABCD 是平行四边形. 新课讲授 A D C B 分析： 连接AC △ACD≌△CAB SSS ∠1=∠2，∠3=∠4 1 3 2 4 AB∥CD，AD∥BC 四边形ABCD是平行四边形 新课讲授 ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 证明:如图,连接AC. 在△ABC 与△CDA 中, 1 2 3 4 AB=CD, AC=CA, AD=BC, ∴△ABC≌△CDA(SSS). ∴AB∥DC,AD∥BC. ∴四边形ABCD 是平行四边形. 新课讲授 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵ AB＝CD，BC＝AD． 几何语言： 平行四边形的判定定理1： ∴四边形ABCD是平行四边形 新课讲授 (2)将对边的平行关系和相等关系结合起来,是否也能判定一个四边形是平行四边形呢? 思考与交流： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 是平行四边形. 如何证明？ 新课讲授 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=BC. 求证:四边形ABCD 是平行四边形. 探究一 平行四边形的判定定理 新课讲授 A D C B 分析： 连接AC △ACD≌△CAB SAS ∠3=∠4 1 3 2 4 AB∥CD 四边形ABCD是平行四边形 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=BC. 求证:四边形ABCD 是平行四边形. 新课讲授 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形. 1 2 3 4 证明:如图,连接AC. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠2. CB=AD, ∠2=∠1, AC=CA, 在△ABC 与△CDA 中, ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴∠4=∠3. ∴AB∥CD. 新课讲授 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AD∥BC，AD=BC． 几何语言： 平行四边形的判定定理2： ∴四边形ABCD是平行四边形 新课讲授 例4 如图,在 ABCD中,E,F 分别是边AD,BC上的点,且AE=CF. 求证:四边形EBFD 是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴ED∥BF,AD=BC. ∵AE=CF,∴ED=BF. ∴四边形EBFD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 典例精析 平行四边形的判定方法 文字语言 符号语言 图形 定义 判定1 判定2 两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 ∵AD∥BC, AB∥CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形. ∵ AD=BC,AB=DC ∴四边形ABCD是平行四边形 A B C D 课堂小结 1.已知点A,B,C,D在同一平面内，且任何两点不重合.现有四个条件：①AB//CD,②AB=CD,③BC//AD, ④BC=AD.从这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( ). A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 B 当堂检测 2.如图,在四边形ABCD 中,∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB. 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：∵∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB ∴AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形. 当堂检测 3.已知 ABCD，点E,F分别为边AD,BC的中点，连接EF,AF,DF,BE CE，图中能得到哪些新的平行四边形? 请说明理由. 解：四边形ABFE，四边形EFCD，四边形AFCE，四边形BFDE是平行四边形. 当堂检测 $