8.3特殊的平行四边形第四课时课件2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第四课时 菱形的性质定理有哪些？ 菱形性质定理的逆命题可以作为判定菱形的方法吗? (1)“菱形的四条边都相等”的逆命题是什么? 是真命题吗? 四条边都相等的四边形是菱形。 “四条边都相等的四边形是菱形”是真命题。由两组对边分别相等判定四边形是平行四边形,再由一组邻边相等,便可判定该四边形是菱形。 (2)“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是什么? 是真命题吗? 对角线互相垂直的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 如何证明： 已知，平行四边形四边形ABCD，AC⊥BD，AC与BD相交于点O, 求证：平行四边形ABCD是菱形 O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB=∠AOD， 在△AOB与△AOD中， AO=AO, ∠AOB=∠AOD， BO=DO ∴△AOB≌△AOD， ∴AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形。 我们已经学习了哪些判定方法？ 判断： 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ） √ 例5 如图,过▱ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF⊥AC,分别交边BC,AD 于点E,F,连接AE,CF。 求证:四边形AECF 是菱形。 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD∥BC。 所以∠FAC=∠ECA,∠AFE=∠CEF。 因为O 是AC 的中点, 所以OA=OC。 在△AOF 与△COE 中, ∠FAO=∠ECO,∠AFO=∠CEO,OA=OC, 所以△AOF≌△COE(AAS)。 所以OF=OE。 所以四边形AECF 是平行四边形。 因为AC⊥EF, 所以四边形AECF 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。 变式： 如图,过▱ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF⊥AC,分别交边BA,DC 的延长线于点E,F,连接AE,CF。 求证:四边形AECF 是菱形。 求证:有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 已知，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠BAD， 求证：四边形ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD, ∴∠DCA=∠BAC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DCA=∠DAC, ∴AD=DC， ∴四边形ABCD是菱形。 取一张矩形纸片,用折叠的方法折出四个顶点都在矩形边上的菱形。有几种不同的折法? 画出图形,并说明其中的道理。 说一说你的收获！ 1.如图，已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，点 E 是 OC 上一点，且 BE=DE。求证：四边形 ABCD 是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵BE=DE， ∴△BED是等腰三角形， ∴OE⊥BD，即AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P. (1) 判断四边形 CODP 的形状，并说明理由； (2) 若 AB=6, AD=3, 求四边形 CODP 的面积. (1) 解：四边形 CODP 是菱形。 理由：∵CP∥BD，DP∥AC， ∴ 四边形 CODP 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD，且 OC=AC，OD=BD， ∴OC=OD。 ∴ 平行四边形 CODP 是菱形。 (2) 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，AB=6，AD=3， ∴S矩形ABCD​=AB×AD=6×3=18， ∴S△OCD​=S矩形ABCD​=×18=29​。 ∵ 四边形 CODP 的形状是菱形， ∴ 根据对称性，S△OCD​=S△CDP​， ∴S四边形CODP​=S△OCD​+S△CDP​=2×29​=9。 即四边形 CODP 的面积为 9。 3.如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形 ABCD，若 AB=5，则四边形 ABCD 的周长为 。 E F 20 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F、G 分别为线段 AO、DO、BC 的中点，连接 BE、EF、FG。 (1) 求证：四边形 BEFG 为平行四边形； (2) 若 AC=2CD，请判断并证明四边形 BEFG 的形状。 (1) 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC。 ∵ 点 E、F、G 分别为线段 AO、DO、BC 的中点， ∴ EF 是 △AOD 的中位线， ∴ EF∥AD，EF=AD，BG=BC。 ∴ EF∥BG，EF=BG。 ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形。 (2) 解：四边形 BEFG 为菱形，理由如下： 如图，连接 CF。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC=AC。 ∵ AC=2CD，∴ OC=CD。 ∵ F 为 OD 的中点，∴ CF⊥BD。 ∵ G 为 BC 的中点， ∴ GF=GB。 ∵ 四边形 BEFG 为平行四边形，∴ 四边形 BEFG 为菱形。 再 见 $