精品解析：山东临沂市罗庄区2026年初中学业水平模拟考试（B卷）数学

2026年初中学业水平模拟考试（B卷） 数 学 （时间：120分钟 总分：120分） 2026.4 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 的相反数为． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，负整数指数幂的含义，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “四边形的内角和是”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可． 【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为：，故本选项不符合题意； B、这列数据从小到大排列为，，，，，中，8出现了3次，故众数是8，中位数是，故本选项不符合题意； C、，则，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意； D、“四边形的内角和是”是必然事件，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点、解一元一次不等式组，首根据点在第四象限，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标之间的关系，倍或倍，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 即：或； 故选D． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：设，将代入可得， ∴，故①正确； 当，，故②错误； 当，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴时，，故③正确，且④正确， 综上所述，说法正确的是①②④； 故选：C． 8. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 9. 如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，求解，，，，，，由最大，可得最小，可得最小，可得最小，当时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵三角板中，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵最大， ∴最小， ∴最小， ∴最小， 当时，最小， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况即可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出即为其他三边和的最小值． 【详解】解：①把代入中，得， ∵， ∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点，故①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点为，为顶点 则 又∵， ∴故②结论正确； ③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确； ④当时，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵点关于直线的对称点为，顶点为． ∴，， 作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则， 如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， ∴此时，四边形周长最小，为： ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及作对称点、处理四边形周长的最小值． 二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的两根为，，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系得到，对所求式子变形化简即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 12. 如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 13. 在中，，，，则的长为___________． 【答案】5或7 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，此题分两种情况：如图1，过A作于D，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理得到，求得，，在中，，于是得到结果；如图2，过A作交的延长线于D，同理可得结果． 【详解】解：如图1，过A作于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 如图2，过A作交的延长线于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 故答案为：5或7． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若，，…和，，…分别是直线和x轴上的点．且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先用待定系数法求出一次函数解析式，求出直线与轴的交点，与轴的交点，进一步得到，作轴交于点，轴交于点，轴交于点，根据等腰直角三角形得到规律，进而得出点的纵坐标． 【详解】解：，在上， ， 解得：， ， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，， ， 当时，， 解得：， ， ， 作轴交于点，轴交于点，轴交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 同理可得，第四个等腰直角三角形， 以此类推，点的纵坐标是． 15. 如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正切等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由题意易得最小时，的周长最小，由垂直平分线可得，连接，则，即点在上时，最小，过点作于点，则为的最小值，根据勾股定理可得，进而求得周长的最小值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∴最小时，的周长最小， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 连接，则， 又∵， ∴当时，且点在上时，最小， ∴过点作于点，则为的最小值， ∵在中，， ∴，即， 设，则， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，即最小， ∴的周长最小， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）先化简分式，然后在、、、中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算锐角三角函数值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加减即可； （2）先计算括号里的，进行通分，然后因式分解，除法转化为乘法运算，进行约分后，再进行加减运算即可；最后根据分式有意义的条件，确定合适的的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ，， 的值不能取，，，只能取， 当时，原式． 17. 如图，在中，，点P是的中点． （1）尺规作图：以线段为直径作，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图所示，，为所求 （2） 证明：如图，连接，， 为直径， ， 点为斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作即可； （2）连接，，．证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 描点，连线，函数图象如图所示， （3）当时的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，，在中，，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象分析，找图象在图象上方及交点的部分． 本题主要考查了一次函数与几何结合问题、反比例函数的图象与性质、勾股定理及解直角三角形等内容，利用数形结合是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：依题意，列表： 0 1 2 5 6 0 10 5 2 【小问3详解】 解：由图象得，当时的取值范围为． 19. 2025年中国航天将发射载人飞船、货运飞船、天问二号等，“神舟二十号”载人飞船最快将于4月发射．为了解学生对航空航天知识的掌握情况，某校组织开展了一次航空航天知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用x表示）分为A，B，C，D四个等级，分别是A：，B：，C：，D：，绘制了下列统计图、表． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 抽取的八年级C等级的学生的竞赛成绩：87，81，86，83，88，82，89． 抽取的七、八年级学生的竞赛成绩综合统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 a 59.66 八年级 85.2 b 91 58.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条即可） （3）若该校七年级有名学生参加知识竞赛，八年级有名学生参加知识竞赛，请估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于分）的学生共有多少人． 【答案】（1），， （2） 八年级学生的竞赛成绩更好，理由：因为两个年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，且方差小于七年级，所以八年级学生的竞赛成绩更好； （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、众数、中位数以及样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可求出；根据扇形统计图，先求出八年级学生的竞赛成绩中A、B等级的人数和，再将C等级的学生成绩按从小到大排列，找到名八年级学生排名第和名的成绩，取平均值即可求出；根据频率=频数总数可求出； （2）根据众数、中位数进行分析即可； （3）根据样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的是分， ； 由扇形统计图可知，八年级学生的竞赛成绩中A、B等级的人数为， 将抽取的八年级C等级的学生成绩按从小到大排列为：、、、、、、， 抽取的名八年级学生排名第和名的成绩为、， ； ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有人． 20. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 21. 如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，． （1）求旋转角的度数； （2）若，求的长度． 【答案】（1）； （2）的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）由旋转得，，再利用四边形内角和定理求解即可； （2）过点A作于点P，过点作于点H．在中，利用三角函数的定义求得，，证明，求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ∵， ∴． ∵， ∴在四边形中，； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点P，过点作于点H． ∵， ∴． 在中， ∴． ∴． ∴． 由（1）知，，即， ∵， ∴， 由旋转，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴． 所以，的长度为． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； （2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； （3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】（1）①②或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下： 由图可知：当时，或； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 【答案】 （1）四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②5或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（B卷） 数 学 （时间：120分钟 总分：120分） 2026.4 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “四边形的内角和是”是必然事件 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 8. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 9. 如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的两根为，，求的值为______． 12. 如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为______．（结果保留） 13. 在中，，，，则的长为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若，，…和，，…分别是直线和x轴上的点．且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是______． 15. 如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）先化简分式，然后在、、、中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 17. 如图，在中，，点P是的中点． （1）尺规作图：以线段为直径作，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：是的切线． 18. 如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 19. 2025年中国航天将发射载人飞船、货运飞船、天问二号等，“神舟二十号”载人飞船最快将于4月发射．为了解学生对航空航天知识的掌握情况，某校组织开展了一次航空航天知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用x表示）分为A，B，C，D四个等级，分别是A：，B：，C：，D：，绘制了下列统计图、表． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 抽取的八年级C等级的学生的竞赛成绩：87，81，86，83，88，82，89． 抽取的七、八年级学生的竞赛成绩综合统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 a 59.66 八年级 85.2 b 91 58.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条即可） （3）若该校七年级有名学生参加知识竞赛，八年级有名学生参加知识竞赛，请估计两个年级参加知识竞赛的学生中成绩优秀（大于或等于分）的学生共有多少人． 20. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，． （1）求旋转角的度数； （2）若，求的长度． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； （2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； （3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $