精品解析：2025年山东省临沂市罗庄区九年级数学一模试题B卷

2025年初中学业水平考试适应性训练（B卷） 数 学 2025.05 （满分：120分，时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 神舟十九号飞船在轨道上运行时，每小时飞行约28800千米，将28800千米用科学记数法表示为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列尺规作图不能得到平行线的是（　　） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A. B. C. D. 1 9. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 12. 如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________． 13. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为______． 14. 如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______． 15. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 18. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 21. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 23. 如图，是菱形的对角线． （1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图中，连接，； ①求证：； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性训练（B卷） 数 学 2025.05 （满分：120分，时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 3. 神舟十九号飞船在轨道上运行时，每小时飞行约28800千米，将28800千米用科学记数法表示为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：千米千米， 故选：B． 4. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长． ∴左视图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 6. 下列尺规作图不能得到平行线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断． 【详解】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意； B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意； C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意； D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算． 8. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键． 9. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径． 【详解】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P， ∵，，， ∴四边形ABDC是矩形， ∵CD与切于点E，OE为的半径， ∴，， ∴，， ∵AB=CD=16cm， ∴， ∵， 在，由勾股定理得， 解得，， 则这种铁球的直径＝， 故选C． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及动点问题，勾股定理解三角形等，理解题意，根据函数图象得出相应的信息是解题关键过点作于点，在上截取，连接，则，结合函数图象得出，，，，再由勾股定理建立方程求解即可得出结果 【详解】解：如图，过点C作于点D，在上截取，连接，则， 由图②得，当时，，即点与点重合时，， 当点运动到点时，， ， 当时，，即点与点重合时，， ∴， ， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴最低点的纵坐标为， 故选： 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 12. 如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，为菱形的对角线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵是的中点，点为中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，， ， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的周长， 故答案为：． 14. 如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D， 则， 由题意得：， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴点， 代入中，得：， ∴故答案为：． 15. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查数字变化规律，当时，从1，2，3⋯⋯9中，取两个数的和大于9，由列举法找到规律可得． 【详解】解：这两个数分别是： ，，，，，，，共8种； ，，，，，共6种； ，，，共4种； ，共2种； ∴； 故答案为：20． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 该不等式的解集在数轴上的表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算及解一元一次不等式并用数轴表示解集， （1）首先计算化简绝对值、特殊角的三角函数计算、负整数指数幂及零指数幂计算，最后进行加减运算即可求解； （2）首先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 18. 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于，延长交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】 （1）20， 补全条形统计图如下： （2）72；（3）430；450； （4）∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数，中位数，都是最高的， ∴选择C型号的纯电动汽车较为合适． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．掌握定义是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为390km的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 的数量为：（辆）， 故答案为：20； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； （3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应第第10，11辆的平均数， ，， ∴， C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程的出现次数最多共6辆， ∴． 故答案为：430，450； （4）略 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 21. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 则， ， ， ． ； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】（1）函数表达式为 （2） （3）小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 23. 如图，是菱形的对角线． （1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图中，连接，； ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1） 如图，就是所求的图形． 图1 （2）①证明：由旋转得，，， ∴，， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据作两个三角形全等即可； （2）①证明，，即可得证；②延长交于点，由菱形的性质得，，进而证明，得，再利用三线合一得，设，，利用三角函数及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，延长交于点， 图2 ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解关于的方程得， ∴， ∴ ∴的值是． 【点睛】本题主要考查了尺规作三角形、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、解直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $