精品解析：山东肥城市2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

肥城市2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（ ） A. 沿正北方向 B. 北偏东45°方向 C. 北偏东60°方向 D. 北偏东75°方向 2. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3. 已知复数，，则复数的代数形式为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. （1）证明：、、、四点共面； （2）设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 5. 记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. （1）求； （2）若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥城市2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（ ） A. 沿正北方向 B. 北偏东45°方向 C. 北偏东60°方向 D. 北偏东75°方向 【答案】B 【解析】 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 2. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为的面积是，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 因为，所以， 又是的内角平分线， 所以， 所以，所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3. 已知复数，，则复数的代数形式为_____. 【答案】 【解析】 【详解】 ， 故代数形式为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. （1）证明：、、、四点共面； （2）设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 【答案】（1） 、分别是、的中点，故为的中位线， 故， 、分别是、边上的点，，故， 故，、、、四点共面； （2）（ⅰ）周长为；（ⅱ）外接球半径为，内切球半径为 【解析】 【分析】（1）得到，得到四点共面； （2）（ⅰ）由余弦定理等知识求出各边长，相加求周长； （ⅱ）作出辅助线，根据外接球半径相等得到方程，求出外接球半径，并根据三角形相似得到内切球半径 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四面体的各棱长均为6， 故均为等边三角形， ，，故，， 且， 又， 在中，，由余弦定理得 ， 同理可得， 所以四边形的周长为. （ⅱ）连接，过点作⊥平面于点，则在上，且， 设四面体外接球的球心为，半径为，连接，则， 因为，由勾股定理得，， 故，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得； 如图所示，点为四面体内切球球心，内切球与切于点， 与切于点，设内切球半径为， 连接，则， 显然∽，故， 即，解得， 所以外接球半径为，内切球半径为 5. 记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. （1）求； （2）若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； 【小问2详解】 ， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， 【小问3详解】 由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $