精品解析：云南昆明市外国语学校禄劝分校 (禄劝民族中学) 2025-2026学年高二下学期期中训练数学试卷

云南昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）2025-2026学年高二下学期期中训练数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 的展开式中含的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 4. 、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 若都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且40，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论错误的是（ ） A. 越大，与的线性相关性越弱 B. 若，则 C. 若，则 D. 若样本点都在回归直线上，则 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 11. 已知为坐标原点，抛物线的准线为，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的最小值为 C. 直线OM与准线交于点，线段DF的垂直平分线与抛物线相切 D. 为定值 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，且，则__________． 13. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是______． 14. 已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数的最小正周期为π. （1）当时，求函数f（x）的值域； （2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若且a＝4，b+c＝5，求△ABC的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，分别为棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数的图象在点处的切线l在x轴上的截距为． （1）当时，求l的方程； （2）求的最小值； （3）求数列的前n项和． 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为． （1）求的方程； （2）过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）2025-2026学年高二下学期期中训练数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式的性质化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题，得，故，进而， 故选：A 2. 若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，． 故选：C 3. 的展开式中含的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得结果. 【详解】的展开式中的第项． 令，则，所以的系数为7． 故选：A． 4. 、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，分步进行分析： ①将、之外的三人全排列有种情况， ②将、插空有种情况， 则有种排法. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， 所以. 故选：B． 6. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 7. 与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 8. 若都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且40，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论错误的是（ ） A. 越大，与的线性相关性越弱 B. 若，则 C. 若，则 D. 若样本点都在回归直线上，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】由于可得，则， 对于，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误； 对于C，当时，把代入得，则，故C错误； 对于D，若样本点，）都在回归直线上，且，则，D正确； 对于B，当时，无法确定的值，B错误． 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 【答案】AD 【解析】 【详解】A：，正确. B：， ，所以，错误. C：由，错误. D：，所以，正确. 11. 已知为坐标原点，抛物线的准线为，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的最小值为 C. 直线OM与准线交于点，线段DF的垂直平分线与抛物线相切 D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定抛物线的方程，利用弦长公式及基本不等式可判断A,B，求出中垂线方程与抛物线联立，通过判别式可判断C，求出斜率，结合韦达定理可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点，所以，即， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为. 联立，，设， 则，， ，当时，，A正确. 由抛物线的定义可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，B错误. 直线的方程：，交点，的中点，直线的斜率为， 故线段DF的垂直平分线的方程为，与抛物线方程联立可得； 由可知，，所以线段DF的垂直平分线与抛物线相切，C正确. ，，D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，列式求出即可得解. 【详解】依题意，，由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得与直线在时上恰有一交点，据此可得答案. 【详解】由题可知在上恰有一个变号零点， 即与直线在时上恰有一交点，易得函数在上单调递增，值域为，则时满足题意. 故答案为：． 14. 已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，则，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的体积． 【详解】三棱锥中，平面，设与面所成角为， 又的最大值是，所以，解得， 即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为， 如下图，直角三角形△ABQ中，所以，又， 所以重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点， 又平面，从而外接球的球心O为PB的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球的体积． 故答案为：． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） （3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【解析】 【小问1详解】 由列联表知， 【小问2详解】 由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． 【小问3详解】 零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 16. 已知函数的最小正周期为π. （1）当时，求函数f（x）的值域； （2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若且a＝4，b+c＝5，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据函数的最小正周期为可求出的值，从而求得函数的解析式，结合正弦函数的单调性即可求出当时，函数的值域。 （2）根据及为的内角可求出的值，在中应用余弦定理可求出的值，此时根据面积公式即可求出的面积. 【详解】（1）f（x）的最小正周期是π，得 当时， 所以此时f（x）的值域为； （2）因为所以 , ，解得， 的面积. 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质、正余弦定理的应用以及函数的概念与图象. 17. 如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，分别为棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） ∵为等边三角形，为的中点，， 棱柱为直三棱柱，平面， 平面，， 平面，平面， 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）通过等边三角形和直三棱锥的性质证明线面垂直，根据线面垂直得线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 为等边三角形，，. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 由题意得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的一个法向量为． ， 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数的图象在点处的切线l在x轴上的截距为． （1）当时，求l的方程； （2）求的最小值； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，由导数的定义即可求得在点处的切线方程； （2）先写出直线l的方程，令，得其在x轴上的截距，即的表达式，构造出对应函数， 利用导数求出对应函数的最小值，并判断n能否取到； （3）由（2）可得数列的通项公式，再由错位相减法即可算得其前n项和． 【小问1详解】 当时，，则，所以， 因为，所以l的方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 则l的方程为， 令，得，所以， 设，则， 因为为增函数，且， 所以当时，，当时，， 则，此时为正整数，能取到， 故的最小值为； 【小问3详解】 由（2）知， 则， 则， 所以， 即， 故． 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为． （1）求的方程； （2）过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，所以① 长轴长为，则，又， 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 （i）当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 有 ，可得或． 又有， 如图，由题，， 所以，， 整理得 ， 解得，故点的坐标为； 当直线l的斜率为0时，也满足题意， 故点的坐标为； （ii）要求的面积的最大值，则直线l的斜率不为0， 令，有， 此时，． 当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $