第10章 分式 学情评估卷 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册数学第10章 分式 学情评估卷 一、单选题（每题3分 共30分） 1．在代数式，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．若，则（　　）中的数是（　　） A． B． C． D．任意实数 5．分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 6．已知，能使等式恒成立的运算符号是（　　） A． B． C． D． 7．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的方程产生增根，则m的值是（　　） A． B． C．2 D．0 9．已知，，，若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（　　） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（每题3分 共30分） 11．下列各式中，最简分式有 　 　个． ①；②；③；④； 12．计算：　 　． 13．当时，分式无意义，求的值为　 　． 14．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2025个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是　 　． 15．化简的结果是　 　． 16．已知，则　 　． 17．若，则代数式的值为　 　． 18．已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是　 　． 19．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则　 　．（用含，的最简分式表示） 20．若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为　 　． 三、解答题（共40分） 21．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．解分式方程： （1） （2） 23．已知，求的值． 24．如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度． 25．某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 26．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： （1）下列式子中，属于“奇妙分式”的是　 　；（只填写字母代号） A． B． C． D． E． （2）若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； （3）已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：在代数式，，，中，分式有，共2个， 故选：B 【分析】形如 的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、此选项式子从左至右的变形时，分子乘以了b，分母乘以了a，只有当a=b时，等式才一定成立，故选项不符合题意； B、此选项式子从左至右的变形时，分子、分母同时减去1，不一定成立，故选项不符合题意； C、 此选项式子从左至右的变形时，分子、分母都乘以了3，一定成立，故选项符合题意； D、的分子和分母不能约分，，故选项不符合题意. 故答案为：C． 【分析】分式的分子、分母同时乘以或除以（除数不为0）的同一个数或式子，分式的值不变，据此逐一判断得出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：． 故选：A． 【分析】分式乘法法则，即分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，然后进行约分. 4．【答案】B 【解析】【解答】解： = = 所以括号找中的数是-2. 故答案为：B． 【分析】此题是已知差和减数求被减数，根据被减数等于差加减数列出式子，然后根据同分母分式加法法则计算即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：为原分式方程的根， 故答案为：B． 【分析】根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A. ， 不符合题意； B. ， 不符合题意； C. ， 不符合题意； D. ， 符合题意； 故选：D． 【分析】把四则运算符号代入， 化简等号左边分式，然后和左边对比解答即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：原式 ， 故选：A 【分析】先运算括号内的分式加减，然后把除法化为乘法约分化简即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故答案为：B． 【分析】先将分式方程转换为整式方程，再利用方程的增根可得，最后将其代入求出m的值即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，，，， 又∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：D． 【分析】利用比差法比较分式的大小即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解： ，故甲正确， ，故乙正确， ∵分式要意义， ∴， ∴或， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵为正整数，且， ∴的最小值为， ∴原式有最大值，最大值， 故选：C ． 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，根据x为正整数确定出最小值即可. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 【分析】对每个分式的分子和分母进行分析，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式，据此解答即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】先对分子进行因式分解，再约去分子分母的公因式，从而得到化简结果. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 【分析】分式无意义的条件是分母等于零，据此将x=1代入x-2m=0，求解即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：把2025个山楂平均分成份，每份是， 故答案为：． 【分析】根据每串的山楂个数相等，列代数式即可求解. 15．【答案】 【解析】【解答】解： ， 故答案为：． 【分析】根据同分母分式的加减法法则计算，然后把分子分解因式，然后约分解答即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：== ∵， ∴， 即x+2=0，y-3=0， ∴，， 将x=-2，y=3打入，． 故答案为：． 【分析】利用完全平方公式将多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数的非负性即可求得的值，最后代入求值即可. 17．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：原式 ， 又， 提取公因式，，， 则代数式的值为， 故答案为：． 【分析】先对给定的代数式运用分式的运算法则，将除法转化为乘法，再进行约分进行化简，然后根据已知条件求出化简后式子的值. 18．【答案】且 【解析】【解答】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【分析】先解分式方程可得x=m-1，由题意得 1，再由x≠2，得m-1≠2，求出m的取值范围即可. 19．【答案】 【解析】【解答】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 【分析】先根据工作总量除以工作效率等于工作时间表示出，再代入即可用含的式子表示出s． 20．【答案】2 【解析】【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数a的值之和为：2． 故答案为：2． 【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出a的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出a值，最后求出同时满足已知条件的a的值，求出它们的和即可. 21．【答案】（1）解：原式= • = （2）解：原式=144x8y2÷（﹣27• ）=﹣ x2y4 （3）解：原式=﹣（a﹣5）• =﹣（a+5）=﹣a﹣5 （4）解：原式= • = 【解析】【分析】（1）原式约分即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果；（3）原式约分即可得到结果；（4）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 22．【答案】（1）解：两边同乘以得 解得：， 检验：当时， 是原分式方程的解， （2）解：两边同乘以得： ， 解得：， 检验：当时，为方程的增根， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【解析】【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得未知数的值后进行检验即可. 23．【答案】解：∵ ∴ 解得： ∴ 【解析】【分析】将已知等式右边通分计算后与等式左边部分比较即可得出关于字母A、B的二元一次方程组，解方程组求出A、B的值，进而代入待求式子计算即可得出答案. 24．【答案】解：由题意，得，． 装裱后与的比是， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．故上边衬的宽度为． 答：上边衬的宽度为． 【解析】【分析】根据装裱后的书画的比例解方程求出啊的值，然后检验解答即可. 25．【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据总价除以单价等于数量及用2000元购买甲种足球的数量是用1400元购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据单价乘以数量等于总价及购买甲乙两种足球的总费用不超过2850元列出不等式，求出最大整数解即可. （1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 26．【答案】（1）A、B （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 【解析】【解答】解：（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． 【分析】(1)根据“奇妙分式”定义，判断每个选项能否化为整式与真分式和的形式，逐一分析选项. (2)先将 变形为整式与真分式的和，再依据值为整数的条件，确定 的取值，进而求出正整数a. (3)①通过对分子进行变形，将 拆分为整式与真分式的和； ②先确定①中整式部分a、真分式分母b，代入式子化简，根据可化简为整式的条件求m. 学科网（北京）股份有限公司 $