第六章　平行四边形课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

第6课　三角形的中位线 数学　八年级下册 1. 如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为 20米，则池塘的宽BC为____米. 40 数学　八年级下册 2. 如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中 点，EF＝3，则BD的长为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D 数学　八年级下册 3. 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别 是OB，OC的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形. 证明：∵BE，CD是中线， ∴DE是△ABC的中位线 . 又∵F，G是OB，OC的中点， ∴FG是△OBC的中位线 . ∴DE∥FG，DE＝FG. ∴四边形DFGE是平行四边形. ∴DE∥BC，DE＝ BC. ∴FG∥BC，FG＝ BC. 数学　八年级下册 4. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：如图，连接AC. ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF和GH是△BAC和△DAC的中位线. ∴EF∥GH，EF＝GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. ∴EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC. 数学　八年级下册 5. 如图，在四边形ABCD中，M是边AD上的动点，N是边 CD上的定点，E，F分别是BM，NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是 ( ) A. 线段EF的长度逐渐减小B. 线段EF的长度逐渐增大C. 线段EF的长度不变D. 线段EF的长度不能确定 C 数学　八年级下册 6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝AC， CE⊥AD于点E，F是AB的中点. 求证：EF∥BC. 证明：∵DC＝AC，CE⊥AD， ∴AE＝ED. 又∵F是AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线 . ∴EF∥BD，即EF∥BC. 数学　八年级下册 7. (新教材P177T15)如图，DE是△ABC的中位线，过点E 作AB的平行线交BC于点F，过点A作BC的平行线交直线EF于点G. 线段DE，BF，FC之间有怎样的数量关系？请证明你的结论. 解：DE＝BF＝FC. 证明如下： ∵DE是△ABC的中位线， 又∵EF∥AB，∴F也为BC的中点. ∴BF＝FC＝ BC. ∴DE＝BF＝FC. ∴DE＝ BC，D，E分别是AB，AC的中点. 数学　八年级下册 $第六章　平行四边形 第1课　平行四边形的性质(1)——边和角 数学　八年级下册 1. (2025·佛山期中)如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，则 ∠C的度数为_____. 60° 数学　八年级下册 2. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝10 cm，AB＝6 cm，AE 平分∠BAD交BC于点E，则EC等于 ( )A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm B 数学　八年级下册 3. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F. 求证：AE＝CF. 证明：∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D， ∴△ABE≌△CDF(AAS). ∴AE＝CF. 数学　八年级下册 4. (新教材P157T1)如图，小明用四根木条钉成一个 ▱ABCD木框，推动AB得到▱A′BCD′. 现测得∠ABA′＝15°，∠A′＝140°，求∠ABC的度数. 解：∵四边形A′BCD′是平行四边形， ∴A′D′∥BC. ∴∠A′BC＝180°－∠A′＝180°－140°＝40°. ∴∠ABC＝∠ABA′＋∠A′BC＝15°＋40°＝55°. 数学　八年级下册 5. 如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，延长CB至点F， 使得DE＝BF，连接EF，交对角线AC于点O. 求证： OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF. ∵DE＝BF，AD＝BC， ∴AE＝CF. ∴△AOE≌△COF(ASA). ∴OE＝OF. 数学　八年级下册 6. 在▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠D＝ ( ) A. 18° B. 36° C. 72° D. 144° D 数学　八年级下册 7. (新教材P177T11)已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC的 平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G. 求证：AF＝DE. 证明：∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠EBC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC且AB＝CD. ∴∠AEB＝∠EBC. ∴∠ABE＝∠AEB. ∴AB＝AE. 同理，DF＝CD，∴AE＝DF. ∴AE－EF＝DF－EF，即AF＝DE. 数学　八年级下册 8. 如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE并延长 与DC的延长线交于点F. (1)求证：CF＝CD； (1)证明：在▱ABCD中AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠FCE，∠BAE＝∠F. ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE. ∴△ABE≌△FCE(AAS). ∴CF＝AB. ∴CF＝CD. 数学　八年级下册 (2)若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由. (2)解：DE⊥AF. 理由如下： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF. ∵∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F. ∴AD＝FD. ∴△ADF为等腰三角形. 又∵△ABE≌△FCE， ∴AE＝FE. ∴DE⊥AF. 数学　八年级下册 $第4课　平行四边形的判定(2)——对角线 数学　八年级下册 1. 下列命题中，真命题是 ( ) ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④对边相等的四边形是平行四边形 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ B 数学　八年级下册 2. 如图，AD是△ABC的中线，延长AD到点E，使DE＝AD， 连接EB，EC. 求证：四边形ABEC是平行四边形. 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC. 又∵DE＝AD， ∴四边形ABEC是平行四边形. 数学　八年级下册 3. 如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝ DF. 求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：如图，连接AC与BD相交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF， 即OE＝OF. ∴四边形AECF是平行四边形. 数学　八年级下册 4. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，A′，B′， C′，D′分别是AO，BO，CO，DO的中点. 求证：四边形A′B′C′D′是平行四边形. 证明：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD. ∵A′，B′，C′，D′分别是AO，BO，CO，DO的中点， ∴OA′＝OC′，OB′＝OD′ . ∴四边形A′B′C′D′是平行四边形 . ∴OA′＝ OA，OC′＝ OC，OB′＝ OB，OD′＝ OD. 数学　八年级下册 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在▱ABCD的外面)，连接AE，CE，AF，CF. (1)若DE＝ OD，BF＝ OB. ①求证：四边形AFCE为平行四边形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求AE的长. 数学　八年级下册 (1)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∴DE＝BF. ∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形. ②解：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA. ∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA. ∴∠DCA＝∠DAC. ∴AD＝CD. ∵OA＝OC，∴OE⊥AC. ∴OE是AC的垂直平分线. ∴AE＝CE. ∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形. ∴AE＝AC＝2OA＝2×5＝10. ∵DE＝ OD，BF＝ OB， 数学　八年级下册 (2)若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由. (2)解：四边形AFCE仍是平行四边形. 理由如下： ∴DE＝BF. ∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形. ∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB， 数学　八年级下册 $第7课　平行四边形单元复习 数学　八年级下册 1. 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，若 BE＝2，CD＝3，则AD的长为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 数学　八年级下册 2. (2025·惠州期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，E， F是直线BD上的两点，且DE＝BF. (1)求证：AE＝CF； 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB. ∴∠ADB＝∠CBD. ∴∠ADE＝∠CBF. 又∵DE＝BF， ∴△ADE≌△CBF(SAS). ∴AE＝CF. 数学　八年级下册 (2)连接AF，CE，求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：(2)∵△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB. ∴AE∥CF. 又∵AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 数学　八年级下册 3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O 与BA，DC的延长线分别相交于点E，F. 求证：OE＝OF. 证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，OA＝OC， ∴∠E＝∠F. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF. 数学　八年级下册 4. 如图，△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC， AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF. (1)求证：四边形EFCD是平行四边形； 证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°. ∵∠EFB＝60°， ∴∠ABC＝∠EFB. ∴BC∥EF，即EF∥DC. 又∵EF＝DC， ∴四边形EFCD是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)若BF＝EF，求证：AE＝AD. 证明：(2)如图，连接BE. ∵∠EFB＝60°，BF＝EF， ∴△EFB是等边三角形. ∴BE＝EF，∠FBE＝60°. 在▱EFCD中，∵EF＝DC， ∴BE＝CD. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACD＝60°. ∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴AE＝AD. 数学　八年级下册 5. 如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°， OB＝8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，若 AD＝BD＝OD，连接AD并延长交OC于点E. (1)求证：四边形ABCE是平行四边形； (1)证明：∵DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°. ∵△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝∠BCO＝60°. ∴∠EOA＝90°. ∴∠AEO＝∠BCO＝60°. ∴BC∥AE. ∵∠BAO＝∠COA＝90°， ∴CO∥AB，即CE∥AB . ∴四边形ABCE是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长. (2)解：设OG＝x，由折叠，得AG＝GC＝8－x. 在Rt△ABO中， ∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BO＝8， 在Rt△OAG中，OG2＋OA2＝AG2， ∴AB＝ OB＝4. ∴OA＝ 即x2＋(4 )2＝(8－x)2，解得x＝1，∴OG＝1. 数学　八年级下册 $第5课　平行线间的距离 数学　八年级下册 1. 如图是一个长方形，则图中表示AD与BC之间的距离的 线段有 ( )A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 B 数学　八年级下册 2. 如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，BC＝ 5，△ABC的面积为20，则a与b之间的距离为___. 8 数学　八年级下册 3. (新教材P176T6改编)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝90°，AD＝2，BC＝5，∠C＝60°，则CD的长度为___. 6 数学　八年级下册 4. (新教材P176T5)已知：如图，点E在▱ABCD边BC的延 长线上，且CE＝BC. 求证：四边形ACED是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， 即AD∥CE. ∵CE＝BC， ∴AD＝CE. ∴四边形ACED是平行四边形. 数学　八年级下册 5. 如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC， CD，AD上，且AE＝CG，AH＝CF. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC， ∠A＝∠C，∠B＝∠D. 又∵AE＝CG，AH＝CF， ∴△AEH≌△CGF(SAS). ∴EH＝GF. 同理可证HG＝EF， ∴四边形EFGH是平行四边形. 数学　八年级下册 6. 如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点， OE⊥AC于点E，且OE＝4 cm，则AB与CD间的距离为___cm. 8 数学　八年级下册 7. 如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E， 使CE＝ BC，连接DE，CF. (1)求证：四边形CEDF是平行四边形； (1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC. ∵F是AD的中点， 又∵DF∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形. ∴DF＝ AD . 又∵CE＝ BC，∴DF＝CE. 数学　八年级下册 (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长. 在▱CEDF中，CE＝DF＝ AD＝3，则EH＝1. ∴在Rt△DHE中，由勾股定理，得DE＝ (2)解：如图，过点D作DH⊥BE于点H. 在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB＝4， ∴∠DCE＝∠B＝60°，CD＝AB＝4. ∴CH＝ CD＝2. ∴DH＝ 数学　八年级下册 8. 如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延 长线于点M，N，交AB，CB于点P，Q. 求证：(1)四边形ACQM是平行四边形； 证明：(1)在▱ABCD中， ∵AD∥BC，∴AM∥CQ. ∵MN∥AC，∴MQ∥AC. ∴四边形ACQM是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)MQ＝NP. 证明：(2)在▱ACQM中，MQ＝AC. 同(1)可证四边形APNC是平行四边形， ∴NP＝AC. ∴MQ＝NP. 数学　八年级下册 $第3课　平行四边形的判定(1)——边 数学　八年级下册 1. 如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE 上，只需添加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形. 这个条件可以是____________________. AD＝BC(答案不唯一) 数学　八年级下册 2. (新教材P178T18改编)小华要做一个平行四边形木框， 他有七根木条，长度分别为：①3 cm，②5 cm，③3 cm，④6 cm，⑤5 cm，⑥8 cm，⑦9 cm. 请你帮他选一选，用四根木条：__________可以组成一个平行四边形木框. ①②③⑤ 数学　八年级下册 3. (新教材P162T7)如图，AC∥DE，点B在AC上，且AB＝ DE＝BC. 找出图中的平行四边形，并说明理由. 解：图中的平行四边形为平行四边形ABDE，平行四边形 BCDE. 理由如下： ∵AC∥DE，且AB＝DE＝BC， ∴四边形ABDE，四边形BCDE是平行四边形. ∴AB DE，BC DE. 数学　八年级下册 4. (新教材P170T14改编)已知：如图，在四边形ABCD中， 点E，F在AC上，且AE＝CF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 又∵∠2＝∠1，∠4＝∠3， ∴△ADF≌△CBE(AAS). ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 5. 如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于以下结论： ①BC＝EF；②AD∥BE；③四边形BCFE为平行四边形；④四边形ACFD为平行四边形. 其中正确的是 ( ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ A 数学　八年级下册 6.已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F. 求证：BF＝DE. 证明：∵DF，BE分别平分∠ADC，∠ABC， ∴∠ADF＝∠CDF，∠ABE＝∠CBE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC. ∴∠CDF＝∠ABE，∠ABE＝∠CEB. ∴∠CDF＝∠CEB. ∴BE∥DF. 又∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形. ∴BF＝DE. 数学　八年级下册 7. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外 作等边△ACD、等边△ABE. 已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. 求证：(1)AC＝EF； 证明：(1)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC. 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF，AB＝EA. ∴BC＝AF. ∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL). ∴AC＝EF. 数学　八年级下册 (2)四边形ADFE是平行四边形. 证明：(2)∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD. ∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°. ∵EF⊥AB，∴EF∥AD. ∵AC＝EF，AC＝AD， ∴EF＝AD. ∴四边形ADFE是平行四边形. 数学　八年级下册 $第2课　平行四边形的性质(2)——对角线 数学　八年级下册 1. 如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm， BD＝6 cm，则AD的长为______. 4 cm 数学　八年级下册 2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋ BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是 ( )A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B 数学　八年级下册 3. (新教材P157T2改编)如图，一块梯形玻璃破损成三块， 测量发现a∥b，∠1＝110°，∠4＝125°，则∠2＝____°，∠3＝____°. 70 55 数学　八年级下册 4. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF， BD相交于点O，且O为对角线的交点. 求证：OE＝OF. 证明：在▱ABCD中，AD∥BC，OD＝OB， ∴∠EDO＝∠FBO. 又∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF(ASA). ∴OE＝OF. 数学　八年级下册 5. 如图，在▱ABCD中，BC⊥DB，且BC＝3，CD＝5. (1)求平行四边形ABCD的面积； (2)连接AC与BD交于点O，求AC的长度. 解：(1)∵BC⊥DB， ∴S▱ABCD＝3×4＝12. ∴在Rt△BCD中，DB＝ ＝4. 解：(2)在▱ABCD中，OB＝ DB＝2， ∴在Rt△BOC中，OC＝ ∴AC＝2OC＝2 . 数学　八年级下册 6. 如图，若▱ABCD周长为28 cm，△ABC的周长为20 cm， 则OA的长为 ( ) A. 11 cm B. 1. 5 cm C. 6 cm D. 3 cm D 数学　八年级下册 7. 如图，在▱ABCD中，M，N分别是OA，OC的中点. BM 与DN有什么数量和位置关系？说明理由. 解：BM＝DN，BM∥DN. 理由如下： 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 又∵M，N分别是OA，OC的中点，∴OM＝ON. ∴△DON≌△BOM(SAS). ∴DN＝BM，∠ODN＝∠OBM. ∴BM∥DN. 在△DON和△BOM中， 数学　八年级下册 8. 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别与 AD，BC相交于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF； (1)证明：在▱ABCD中，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. ∴△AOE≌△COF(AAS). 数学　八年级下册 (2)若AB＝4，BC＝7，OE＝3，试求四边形EFCD的周长. (2)解：∵△AOE≌△COF， ∴OE＝OF＝3，AE＝CF. ∴EF＝6. ∴四边形EFCD的周长 ＝CD＋DE＋EF＋FC＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD＋AD＋EF＝AB＋BC＋EF＝4＋7＋6＝17. 数学　八年级下册 $