精品解析：江苏南通市崇川区、通州区、启东市2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

高一年级数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 5. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由， 根据正弦定理，得， 又， 则， 即，在中，， 则，因为，所以，则为直角三角形. 7. 已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 【答案】AC 【解析】 【分析】应用线线位置关系，结合平行垂直及异面判断各个选项即可. 【详解】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 10. 已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 当与的夹角为时， D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，设向量的夹角为，由向量夹角公式，由于,所以，故A错误； 对于B，由，两边平方化简得：，因为在上的投影向量为，代入数据可得，故B选项正确； 对于C，由当与的夹角为，，，故C正确； 对于D，，令，，这里，当时，取最大值，故的最大值为，故D正确； 11. 在锐角中，角所对的边分别为，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 存在，其面积为1 D. 边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与垂直的单位向量_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】设，由题意得， 解得或， 则或. 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由， ， 两式相减得，，即. 14. 在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合勾股定理可得出，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，根据以及图形求得，且有，分析可得，利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出的最大值，利用等号成立的条件可求出点的坐标，进而可求得四边形的面积. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以，故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则点在第一象限，设点， 则，解得，则， 因，而，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以，解得，则， 所以， 因为，所以. 16. 如图，在正方体中，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可； （2）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可； （3）连接，通过证明，得到四点共面，即可得解. 【小问1详解】 在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 由于四边形为正方形，则， 即异面直线与所成角为. 【小问2详解】 连接，在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 而，则为等边三角形，即， 则异面直线与所成角为. 【小问3详解】 设的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 在正方体中，，， 则四边形为平行四边形，即，则， 则四点共面， 因此平面与正方体表面的交线为，如图， 17. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解； （3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为为锐角，所以， 由，设， 由得，（舍去负值）， 所以，则． 【小问3详解】 为锐角，则，所以， 又，所以，则， 由，又，所以， 所以， 则 ， 因为，所以， 所以． 18. 如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． （1）若为的中点，证明：不是弧的中点； （2）求周长的最大值； （3）作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） 证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时​​，矛盾. 因此不是弧的中点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. 【小问3详解】 设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 19. 在中，已知是上的点，平分，． （1）证明：； （2）若，求的面积； （3）若，求． 【答案】（1） 如下图所示： 由题意可知，， 所以， 在中，由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理，可得， 因为，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论可求出、，结合勾股定理判断出为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）令，，结合已知得到与、的关系，过作交延长线于，有，，由即可得、、的线性关系式，应用向量数量积的运算律求的模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且，所以，， 又因为，则， 所以， 所以，故， 故. 【小问3详解】 令，设，，， 又因为，， 所以，，，， 如图过作交延长线于， 则且，， 又，即， 所以， 两边平方得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 10. 已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 当与的夹角为时， D. 的最大值为 11. 在锐角中，角所对的边分别为，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 存在，其面积为1 D. 边上的中线长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与垂直的单位向量_____． 13. 已知，则_____． 14. 在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角的值． 16. 如图，在正方体中，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 17. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． （1）若为的中点，证明：不是弧的中点； （2）求周长的最大值； （3）作，垂足为，求四边形面积的最大值． 19. 在中，已知是上的点，平分，． （1）证明：； （2）若，求的面积； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $