精品解析：山西太原市晋源区2025～2026学年第二学期七年级阶段性学习成果考查 数学

2025～2026学年第二学期七年级阶段性学习成果考查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法运算：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算时注意保留原式的负号即可． 【详解】解：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同类项合并规则、完全平方公式、多项式除以单项式法则、积的乘方法则逐一判断选项正误． 【详解】解：对于选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 对于选项B，∵，∴B错误． 对于选项C， ，计算符合运算法则，∴C正确． 对于选项D，∵，∴D错误． 3. 如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据，得，，再根据平角的定义得，然后，由，得，进而得，最后，可得的度数为． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4. “月明松影路，春满杏花山”表达了人们对自然美景的喜爱，杏花花粉的直径为0.000032米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，需满足，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数． 【详解】解：∵原数为，左起第一个非零数字为，其前共有个，且， ∴． 5. 如图是一个转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指针落在区域的圆心角除以周角可得到指针落在区域的概率． 【详解】解：， 故选：D ． 6. 下列能用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、在中，两个二项式中的对应项均互为相反数，不符合平方差公式的结构，不符合题意； B、，两项都相同，不符合平方差公式的结构，不符合题意； C、，是相同项，与是互为相反项，符合平方差公式的结构，符合题意； D、，不存在完全相同的项，不满足平方差公式的结构要求，不符合题意． 7. 如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：依题意， ∴ ∵ ∴ ∴ 8. 一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次，发现有25次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为（ ） A. 20 B. 10 C. 30 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到红球的概率，再根据概率公式建立关系，计算得到白球个数． 【详解】解：设口袋中原有白球个，则口袋中总球数为个， ∵重复试验100次，25次摸到红球， ∴摸到红球的频率为，用频率估计概率得摸到红球的概率为． ∵红球共10个， ∴， 解得：． ∴估计口袋中白球个数约为30． 9. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，利用幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】解：根据幂的运算法则变形得 又， 代入得： 10. 直角三角形和直角三角形位置如图，，交于F，，，，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 如果，则有 D. 如果，则有 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊三角形的有关性质、余角、补角的性质、平行线的判定与性质逐选项判断即可． 【详解】解：A选项：根据已知条件可得，， 但无法证得， ∴无法证得，选项A不正确，符合题意； B选项：∵，， ∴，选项B正确，不符合题意； C选项：∵， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∵， ∴，选项D正确，不符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：（__________）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题可利用平方差公式对等式右侧的多项式进行因式分解，结合已知因式即可得到所求结果． 【详解】解： 因此所求括号内的项为 ． 12. 如图，连接四边形对角线，增加一个条件使得，你增加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：增加的条件（答案不唯一） ∴． 13. 若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 5或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构，即可列出等式求解的值． 【详解】解：是完全平方式． 约去得 当时，解得 当时，解得 14. 某种子公司对一批玉米种子进行发芽试验，先在室内培育，再运往大田种植．工作人员随机抽取若干种子统计发芽情况，获得数据如下： 试验种子总数n/粒 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 发芽种子数m/粒 924 1845 2773 3688 4617 5531 6448 7360 8283 9205 发芽频率 0.924 0.923 0.924 0.922 0.923 0.922 0.921 0.920 0.920 0.9205 估计从室内取出一粒种子，发芽的概率为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】0.92 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验种子总数不断增大，发芽频率逐渐稳定在附近，因此估计从室内取出一粒种子发芽的概率为． 15. 在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【解析】 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）化简：； （3）简便计算： 【答案】（1）5 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先运用零次幂、负整数次幂、积的乘方的逆用化简，然后再计算即可； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （3）先把原式化成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，已知，是边上的一点． （1）请以为顶点，为一边作，点在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与的位置关系是________，理由是________； （3）画出点到的垂线段，比较和的大小并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）；同位角相等，两直线平行 （3）图见解析，，理由：垂线段最短 【解析】 【分析】（1）按照作一个角等于已知角的尺规作图流程进行作图即可； （2）根据平行线的判定定理得出结论； （3）作出垂线，结合垂线段最短比较两条线段的大小即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 【小问3详解】 解：垂线段如图所示： ∵垂线段最短， 又∵点与点不重合， ∴． 18. 已知：如图点E，F，G分别在边，，上，，且平分，点D是边上的一点，连接，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】首先，根据平分，得，再根据， 得，然后，根据， 得，最后，可得． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 19. 永辉超市为迎“五一”特举办了促销抽奖活动，设置了一、二、三等奖，在不透明的抽奖箱里放有60个乒乓球，它们除颜色外都相同，其中4个颜色是白色，为一等奖，8个颜色是黄色，为二等奖，12个颜色是红色，为三等奖，其余没奖的球颜色是蓝色． （1）顾客从中随机抽出1个球，抽到一等奖的概率是多少？ （2）若向抽奖箱中再放入4个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，从抽奖箱中随机取出1个球是二等奖的概率是，求需再放入多少个黄色乒乓球． 【答案】（1） （2）需再放入6个黄色乒乓球 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可得解； （2）设需再放入x个黄色乒乓球，根据从抽奖箱中随机取出1个球是黄色乒乓球（二等奖）的概率是，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵顾客随机抽取1个球，共有60种等可能的结果，其中抽到白色球（一等奖）的结果有4种， ∴． 【小问2详解】 解：设需再放入x个黄色乒乓球， 由题意得，， 解得， 答：需再放入6个黄色乒乓球． 20. 位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本为200元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1）， （2）完成绿化共需要35000元 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式． (1)求出长方形面积与正方形面积的差即可； (2)代入求出绿地的面积，再求出费用即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：当，时， ， (元) 答：完成绿化共需要35000元． 21. 阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… （1）请利用小军的结论直接写出计算结果：________； （2）继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； （3）通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； 【小问3详解】 解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务 数形结合是数学学科的重要思想之一，它将抽象的代数数量关系与直观的几何图形有机结合，既能用图形直观呈现代数规律，也能用代数运算巧妙破解图形难题．在实际学习中，我们常常借助这种思想解决各类综合问题．例如：小明就利用大小不同的正方形与长方形纸片，拼接成了一个完整的大正方形（如图①为所用纸片，图②为拼接后的大正方形），请结合数形结合思想，完成下列问题： （1）结合图②的图形特征，用两种不同的代数式表示出阴影部分的总面积，据此写出一个代数等式：________． 借助数形结合思想，小明发现（1）中推导的等式可快速解决代数式求值问题． 问题：已知满足，求的值． （2）小明的解题思路如下：设，，那么所求代数式可转化为，请你按照这个思路，利用上面的等式完成本题的求解过程． （3）如图③，在长方形中，，，点E在边上，点K在边的延长线上，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别记为和，且，请运用数形结合思想，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）10，见解析 （3）63 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分面积的两种求法列出等式即可； （2）根据（1）中得出的等式：及小明的解题思路，运用整体思想，将数据整体换入，计算即可； （3）根据已知条件得出，设，再根据，得到，再由，运用整体思想，将数据整体换入，计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ∴ 设， ∵， ∴，， 由，得：， ， ∵阴影部分是长为，宽为的长方形， ∴阴影部分的面积为． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1，，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接，以为斜边作直角，． （1）如果． ①直接写出的度数：________°． ②如图2，若，，试说明平分． 深入思考： （2）平分交直线m于Q，角平分线上一点H在直线m上方，G是射线上一点（点G与点Q不重合），请直接写出，和之间的关系． 【答案】（1）①30，②见解析 （2）当点G在线段上时，；当点G在点Q的右侧时，． 【解析】 【分析】（1）①由直角三角形两锐角互余可得，由平行线的性质得，从而得，再根据可得结论； ②证明，，，得，故可得结论； （2）分点G在点左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵在的内部 ∴平分 【小问2详解】 解：当点G在线段上时，如图， ∵平分， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴ 当点G在点Q的右侧时，如图， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期七年级阶段性学习成果考查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. “月明松影路，春满杏花山”表达了人们对自然美景的喜爱，杏花花粉的直径为0.000032米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图是一个转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列能用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次，发现有25次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为（ ） A. 20 B. 10 C. 30 D. 50 9. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 10. 直角三角形和直角三角形位置如图，，交于F，，，，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 如果，则有 D. 如果，则有 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：（__________）． 12. 如图，连接四边形对角线，增加一个条件使得，你增加的条件是________． 13. 若是完全平方式，那么a的值是________． 14. 某种子公司对一批玉米种子进行发芽试验，先在室内培育，再运往大田种植．工作人员随机抽取若干种子统计发芽情况，获得数据如下： 试验种子总数n/粒 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 发芽种子数m/粒 924 1845 2773 3688 4617 5531 6448 7360 8283 9205 发芽频率 0.924 0.923 0.924 0.922 0.923 0.922 0.921 0.920 0.920 0.9205 估计从室内取出一粒种子，发芽的概率为________（结果保留小数点后两位）． 15. 在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）化简：； （3）简便计算： 17. 如图，已知，是边上的一点． （1）请以为顶点，为一边作，点在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与的位置关系是________，理由是________； （3）画出点到的垂线段，比较和的大小并说明理由． 18. 已知：如图点E，F，G分别在边，，上，，且平分，点D是边上的一点，连接，．判断与的位置关系，并说明理由． 19. 永辉超市为迎“五一”特举办了促销抽奖活动，设置了一、二、三等奖，在不透明的抽奖箱里放有60个乒乓球，它们除颜色外都相同，其中4个颜色是白色，为一等奖，8个颜色是黄色，为二等奖，12个颜色是红色，为三等奖，其余没奖的球颜色是蓝色． （1）顾客从中随机抽出1个球，抽到一等奖的概率是多少？ （2）若向抽奖箱中再放入4个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，从抽奖箱中随机取出1个球是二等奖的概率是，求需再放入多少个黄色乒乓球． 20. 位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本为200元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 21. 阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… （1）请利用小军的结论直接写出计算结果：________； （2）继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； （3）通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 22. 根据以下素材，探索完成任务 数形结合是数学学科的重要思想之一，它将抽象的代数数量关系与直观的几何图形有机结合，既能用图形直观呈现代数规律，也能用代数运算巧妙破解图形难题．在实际学习中，我们常常借助这种思想解决各类综合问题．例如：小明就利用大小不同的正方形与长方形纸片，拼接成了一个完整的大正方形（如图①为所用纸片，图②为拼接后的大正方形），请结合数形结合思想，完成下列问题： （1）结合图②的图形特征，用两种不同的代数式表示出阴影部分的总面积，据此写出一个代数等式：________． 借助数形结合思想，小明发现（1）中推导的等式可快速解决代数式求值问题． 问题：已知满足，求的值． （2）小明的解题思路如下：设，，那么所求代数式可转化为，请你按照这个思路，利用上面的等式完成本题的求解过程． （3）如图③，在长方形中，，，点E在边上，点K在边的延长线上，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别记为和，且，请运用数形结合思想，直接写出图中阴影部分的面积． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1，，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接，以为斜边作直角，． （1）如果． ①直接写出的度数：________°． ②如图2，若，，试说明平分． 深入思考： （2）平分交直线m于Q，角平分线上一点H在直线m上方，G是射线上一点（点G与点Q不重合），请直接写出，和之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $