辽宁鞍山市2026届高三下学期5月份质量检测数学试卷

答案和解析 1.【答案】 2.【答案】  【3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】   【解析】解：在中，，，， 根据余弦定理可得， 解得； ----------------------------------------------------------- 4分 延长，交于点，则， 所以为等边三角形，，， 由，得， 在中，根据两角和的正弦公式可得： ， 在中，由正弦定理可得，，则， 在中，设，由， 可得， 即，则， 故的值为．-------------------------------------------------------13分 利用余弦定理即可求出； 延长，交于点，先在中，求出的值，再利用正弦定理求出的长，最后设，由即可求出． 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 16. 【解析】证明：由题意可知，，， 点的路径所在平面的展开图如图， 其中最短路径为， 得，则点为的中点， 因为，所以，得， 则点为上靠近点的四等分点，-----------------------------------------3分 分别取线段，的中点，，连接，， 易知平面，， 故以点为原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，-----4分 因为等边的边长为，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令， 则， 则， 即， 又平面， 所以平面；----------------------------------------------------------9分 解：易得，平面的法向量为， 可得，，， 可得，， 则平面和平面所成的二面角锐角的余弦值为， ----------------------14分 故平面和平面所成的二面角锐角的正切值为．------------------------15分 利用平面展开图求出点，的位置，再取线段，的中点，，以为原点建系，求出平面的法向量，根据，即可求证； 利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出． 本题考查线面平行的证法及两个平面的夹角的正切值，属于中档题． 17.【答案】【解析】解：由题意可知，， ，， ，， ， 则的分布列如下： 故； -----------------------------------6分 当时记系统中正常工作的元件数为随机变量，则， 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为， 故， ， 故， 故时增加一个量子芯片元件即，能提高系统的可靠性； ---------------------------11分 由已知有， 故没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联．------------------------------------15分 由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； 计算出时系统的可靠性，时系统的可靠性，比较大小后可得出结论； 计算出的观测值，结合临界值表可得出结论． 本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】 【解析】解：设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则， 即， 即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为． 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变， 所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称． 只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为； 当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示， 其面积为．-------------------------------------------------------4分 因为，， 所以椭圆的左右顶点分别为，． 设椭圆的方程为，过点， 则， 解得， 所以椭圆的方程为．-------------------------------------------------------8分 (ⅱ)直线与圆相切，理由如下： 设过点与圆相切的直线方程为． 则，， 由， 解得或， 设点，． 则，． 所以． 故直线的方程为， 又， 化简得直线方程为． 因此，圆心到直线的距离为， 即直线与圆相切．-------------------------------------------------------17分 根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积； 代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系． 本题考查新定义的应用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题． 19.【答案】证明见解析；   ；   证明见解析．  【解析】证明：由，得， 要证，只需证． 令，则． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故，因此．---------------------------------3分 解：， 令，则， 当时，由，得，，因此，满足题意． 当时，由，得，， 因此，则在上单调递增． 若，则， 则在上单调递增，所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，不合题意． 综上，的取值范围为．-------------------------------------------------------8分 证明：由知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到，，， 故在上存在唯一的零点，， 注意到，，且在上单调递增． 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证． 因为，即， 所以只需证， 只需证，， 由得， 因此， 设，， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此得证， 从而．-------------------------------------------------------17分 由，得，构造函数，求解单调性，证明结果； 求解，令，则，分类讨论求解的范围； 由知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证，，进而证明结果． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数恒成立问题，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $26届高三5月份质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={xx<3,x∈N,B=〔-1,0,1,2,3,4，则AnB=() A.0,1,2] B.（-1,0,1,2} C.(0,1,2,3] D.xl0≤x<3) 2.若复数z满足(2+)z=4-3i,则复数z虚部为() A.1 B.i C.-2 D.-2i 3.为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x(单位：dm)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关 系，收集了4组数据，如表格所示，得到y与x的线性回归方程y=1.2x一2，则m=() 3 4 6 7 2.5 4.5 m A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知F是抛物线C:x=2y的焦点，点M(2,m)在抛物线C上，则MF=() A 8 c号 D.吕 5.已知a,b是两条不同直线，a,B是两个不同的平面，且aca,bcB,al/B,b/a,则“a与b为异 面直线”是“a//B”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB,AC两边（或其延长线）分别交于点E,F,设 A正=xAE,AC=yAF(x>0,y>0),则+的最小值为() A2+V2 B.1+V2 c.+2 D.2+√2 7.将正整数N分解为两个正整数k1,k2的积，即N=k1·k2,当k1,k2两数差的绝对值最小时，我们称其为 最优分解.如6=1×6=2×3,23即为6的最优分解，当k1,k2是N的最优分解时，定义p(m=k1-k2l, 则数列[p(5)的前100项和为) A59-1 B.50-1 C.50-2 D.549-2 2x-1,0≤x≤1 8.定义在R上的偶函数fe)满足f2-x)=f2+刘，且当x∈[0,2]时，f闭=3sm号x-2,1<x≤2 若关于x的方程x=f(x)至少有8个实数解，则实数的取值范围是() 第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP A(-四，-名U品+o) B.(品点 C.-品60)u(0,品点】 D.品点制 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数fx)=sin(owx+p)(w>0,lpl<)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有() A.函数f(x)的最小正周期T=π B.(一受，0)是函数f)的一个对称中心 C函数)在区间(--》上的值城为(-》 D.将函数f)的图象向左平移受后得到g)的图象，则g()=cos2x 10.已知数列(an)满足a1=2,an+1= g+2,n=2k-1.k∈N”设bn=a2n,记数列b,l的前n项和为 (2an,n 2k,k EN", Sn,则下列说法正确的是() A.a3=6 B.bn+2是等比数列 C.Sn=-2n-6+3×2n+1 D.a1+a2+ag+a4+…+a20=12214 11.函数f(x)=2x2+的图象（如图称为牛顿三叉戟曲线，则(） Afx)的极小值点为 B.当x>0时，f(-x引<f(x) C.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线仅有2条 D.若fx1)=fx2),x1<0<x2,则x2-x1的最小值为V3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在二项式(1-3x)”的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数 是（用数字作答） 13.已知幂函数f)=xm2-2m(m∈Z),在区间(0，+o)上是单调减函数.若f(sina+cosa）=5, a E(0,n),f(sina-cosa)=_ 14.已知双曲线x2-苦=1的左、右焦点分别为R,乃，过R的直线与该双曲线的左、右支分别交于A, B两点。△识与△MB的内切四的半径分别为，，若号=克则的值为一。 MABI 第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置A,B,C,D在对岸处，下面得到了一些参数已知：AB=2, BC=3,LABC=∠BAD=120,c0sC=手 (1)求AC的长度： (2)求tanDBC的值. 16.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，AA1=4,A=3MA.P 是棱BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到达M点的最短路线长为3V2, 设这条最短路线与CC的交点为N. (1)求证：A1B/平面MNP: (2)求平面MNP和平面ABC所成的二面角（锐角）的正切值. B 17.(本小题15分) 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置n(n∈N°，n≥ 4④)个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为各元件工作状态相互独立. (1)当n=4时记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X,回答以下问题： ①求X的分布列及数学期望E(): ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性为改善 n=4时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即n=5提高系统G的可靠性？请给出你的结 论并证明。 (2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境和“地面实验室环境”下测试 其工作状态，得到如下2×2列联表： CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 正常工作故降合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25100 请根据小概率值α=0.01独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(atc)+dn=a+b+c+d. Px2≥)0.050.010.001 k 3.8416.63510.828 18.(本小题17分) 在平面直角坐标系中，定义A(x1,y1),B(x2,y2)两点之间的“曼哈顿距离"为d=x1一x2+y1一y2l, 我们把到两个定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫曼哈 顿椭圆” (1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用α，c表示）： (2)当a=4,c=0时，该"曼哈顿椭圆的项点都在椭圆C上，过点D(0,1)作圆M:x一22+y2=的 17 两条切线与椭圆C分别交于E,F两点， (①求椭圆C的方程： ()判断直线EF与圆M的位置关系，并说明理由. 19.(本小题17分) 已知函数f()=xex+asinx. (1)当a=0时，求证：>x+1: (2)若f(x)>0对x∈(0，π)恒成立，求a的取值范围： (3)若存在x1,x2E(0,m),使得f(x1)=f'(x2)=0,求证：1<2x2 第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫App