精品解析：山东济宁市任城区2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的学校、姓名和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 化简二次根式：________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为______． 14. 正方形中，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P，则的度数是______． 15. 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是_______． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 19. 印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是，那么猴子总数是多少？ 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 22. 像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 23. 如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．         （1）求证； （2）如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； （3）在（）的条件下求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的学校、姓名和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】由题意，得 ， 解得． 故选：D． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 3. 下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形和平行四边形的对角都相等，不符合题意； B、矩形和平行四边形的对边都平行且相等，不符合题意； C．矩形和平行四边形的对角线都互相平分，不符合题意； D、矩形的对角线相等，但是平行四边形的对角线不一定相等，符合题意； 故选：D． 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，最简二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同即可合并，据此进行分析即可作答． 【详解】解：A、已是最简形式，被开方数为6，与的被开方数2不同，不能合并； B、，被开方数为3，与2不同，不能合并； C、，被开方数为2，与相同，可以合并； D、，被开方数为6，与2不同，不能合并； 故选：C 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的加法以及除法运算，根据二次根式的性质以及二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 化简二次根式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为： 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得：，， 则，再根据角平分线可得：，所以，根据等边对等角可得，，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，，， ∴， ∵DE平分∠AEC， ∴ ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 14. 正方形中，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】作图分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和正方形的性质求解即可． 【详解】如图，点P在正方形内或在正方形外 当点P在正方形内 四边形是正方形 分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P ， ，且 同理 当点P在正方形外， 同理可得：, 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 15. 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘法． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法法则计算，再化为最简二次根式即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】（1） 平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是，那么猴子总数是多少？ 【答案】只或只 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，首先设猴子总数为只，根据分成的两队猴子的数量之间的关系列方程求解即可． 【详解】解：设猴子总数为只， 根据题意得：， 解得：，， 答：猴子总数为只或只． 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：方程总有两个实数根，理由如下： 在中，， ∴ ， 无论取任意实数，都有， ，即， 这个一元二次方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】（1）代入得到具体一元二次方程，因式分解即可求解； （2）计算出方程的判别式，化简后判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【小问1详解】 解：当时， 解得； 【小问2详解】 略 22. 像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）14或46 【解析】 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 23. 如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．         （1）求证； （2）如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； （3）在（）的条件下求出的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $