精品解析：山东省济宁市任城区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号涂在答题卡） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解． 本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正方形  的对角线.  ， ∵四边形是菱形， ， 故选：D ． 4. 下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式． B．与不是同类二次根式． C．与不是同类二次根式． D．与是同类二次根式． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．利用二次根式的运算法则，对每个选项进行计算即可找出正确答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，若矩形对角线长为4，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形中求线段长，涉及矩形性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，由矩形性质得到，，结合等边三角形的判定与性质确定，从而利用含的直角三角形性质求出相应边长，再由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握矩形性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，， 矩形的对角线相交于点， ， ， 是等边三角形，则， 在中，，则， 矩形对角线长为4， ， 在中，由勾股定理可得， 故选：C． 7. 小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为，那么剪去的正方形边长为( ) A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用. 解题关键点：理解题意列出方程. 设剪去的小正方形边长为，根据题意得，进而即可求解 【详解】设剪去的小正方形边长为， 根据题意得， 解这个方程得， 当时，， 所以不合题意舍去，只取． 故选C 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有条件的意义得到且，然后把它们代入运算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 所以， 所以原式． 故选：C． 9. 如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定点F的位置是解题的关键． 10. 如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可得，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 计算：的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算二次根式的乘法和除法，再化为最简二次根式，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，根据增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列， 由题意得：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由点的坐标可求出的长，根据菱形的性质得，，即可求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，已知正方形边长为，正方形的边长为2，与在同一条直线l上，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，连接交于点G，根据正方形的性质得出，，，由勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质即可求解，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：连接交于点G，如图所示： ∵正方形， ∴， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵正方形，正方形， ∴， ∴即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．先运用完全平方公式和平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 17. 用配方法解方程2x2-4x-3=0. 【答案】x1=1+，x2=1-. 【解析】 【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题． 【详解】解：∵2x2-4x-3=0， 点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：移项（常数项右移）、二次项系数化为1、配方（方程两边同加一次项一半的平方）、开方、求解、定解 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键． （1）根据判别式即可求出答案； （2）根据m的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 为正整数，且， ， 当时，方程为， 解得：，． 19. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形 （2）若6，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形； （2）首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积是． 20. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？ 【答案】道路的宽应设计为. 【解析】 【分析】设道路的宽为，根据题意列方程解答即可. 【详解】设道路的宽为，则根据题意，可列方程为， ， 解之得，， ∵道路宽度不能超过， ∴， 答：道路的宽应设计为. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系列方程. 21. 小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，F为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形内部框架为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质，得，利用已知条件，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边，得，根据菱形的性质得，，所以是等边三角形，易证，得，在中，利用勾股定理可求出，通过菱形周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是直角三角形， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 22. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【答案】（1）1，4； （2）当时，代数式最大值为59； （3）当时，面积S有最面积为200平方米； 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义题型，配方法等知识点，根据题目已有的模式按照此模式，得到答案，解决此题的关键是正确的配方． （1）根据一元一次方程的解法得到x的值，在根据一个数或者式子的平方为非负数得到整个代数式的最大值即可； （2）由题意先把代数式配成含完全平方形式的结果，得到答案即可； （3）根据题意列出关于S的等式，再根据前面的步骤得到S的最大值即可解决问题； 【详解】（1）当时，， ∵ ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴当时，代数式最大值为59； 故答案为：当时，代数式最大值为59； （3）由题意得： ∴当时，面积S有最大面积为200平方米. 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号涂在答题卡） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，若矩形对角线长为4，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 7. 小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为，那么剪去的正方形边长为( ) A. B. C. D. 或 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是______． 12. 计算：的结果为______． 13. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为______． 15. 如图，已知正方形边长为，正方形的边长为2，与在同一条直线l上，连接，则的长为______． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算：． 17. 用配方法解方程2x2-4x-3=0. 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 19. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形 （2）若6，，求矩形的面积． 20. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？ 21. 小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，F为的中点，，求四边形的周长． 22. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $