精品解析：2026年山东省泰安市泰山区万官路学 校初中学业水平检测暨中考数学模拟试题

2026年初中学业水平检测暨中考数学模拟试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，即选项B错误； C．，即选项C正确； D．，即选项D错误． 3. 为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此逐一判断． 【详解】解：选项A：旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形； 选项B：绕中心旋转后，旋转后的图形与原图形完全重合，是中心对称图形； 选项C：旋转后中间黑色横条位置改变，不能和原图形重合，不是中心对称图形； 选项D：旋转后上下图形方向改变，不能和原图形重合，不是中心对称图形． 4. 生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题． 【详解】解：． 5. 如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，根据得到，即可得到，，即可得到答案 【详解】解：过作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 7. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的值可以是（） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 整理得， A．，不符合题意， B．，不符合题意， C．，不符合题意， D．，符合题意， 故D选项符合题意． 8. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元． 由题意得，． 9. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分，  ，，  ，， 在和中，  ，  ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上，  ，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，，  ， ，  ，  ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；（其中）．其中说法正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、与轴的交点位置、对称轴位置可判断；将点代入二次函数的解析式可判断；根据抛物线的对称性可知当时，，即可判断；根据，到对称轴的距离，结合开口方向可判断；根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故正确； 图象经过点， ， ， ， ， ，即，故正确； 根据对称性可知，抛物线与轴的另一交点坐标为， 当时，， ，故正确； ，，二次函数图象开口向下， 若，是抛物线上的两点，则，故错误； ， ， 对称轴为直线，图象开口向下， 函数的最大值为， 当时，，即， 当时，，故正确； 综上可知，正确的有，共个． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 观察下列单项式：，，，，，…按此规律，第n个单项式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式的变化规律．观察单项式的系数符号、数值和的指数变化规律，系数的绝对值是项数，符号交替变化；的指数比项数大，据此进行解答即可． 【详解】解：由给定单项式序列可知，第个单项式的系数符号由决定，系数的绝对值为，的指数为，因此第个单项式为． 故答案为： 12. 以科技赋能生活，智能家电让品质生活触手可及．某智能家电体验馆有4台样机可供体验，分别为智能电视、智能灯具、智能门锁、智能扫地机器人，小李同学从这4台样机中随机选取一台进行体验，小赵同学也从这4台样机中随机选取一台进行体验，则两名同学选取的智能家电不一样的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设四台样机分别记为，，，，画树状图，确定所有等可能的结果总数，再找出两名同学选取的智能家电不一样的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设四台样机分别记为，，，，画树状图如图， 所有等可能的结果总数为种，两名同学选取的智能家电不一样的结果有种， 则两名同学选取的智能家电不一样的概率是． 13. 图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板，，托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长，若，点到底座的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作，过点作的延长线于点，结合，，，，得，，，然后由，，代入数值进行计算得，，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作的延长线于点，如图所示： ， ， 则点到底座的距离的长度， ，， ，， ，， ， ∵， 则， ， ， ∵， ， ， 则． 【点睛】本题是解直角三角形在实际支架问题中的典型应用，核心是作垂直辅助线，将点到的距离转化为线段，通过角度推导并结合余弦函数计算与后相加，体现了“化斜为直”的几何转化思想，是实际问题抽象为直角三角形计算的经典范例． 14. 在中，，，，分别在，边上，若，则长的最小值为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，利用勾股定理，可得出，再利用二次函数的性质，可求出的最小值，进而可得出长的最小值． 【详解】解：设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴长的最小值为． 15. 如图，矩形中，点在对角线上，过点作，交边，于点，过点作交于点，连接．下列结论： ①；②当时，；③四边形的面积不变；④的最小值是20．正确的是_____（只填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形与四边形面积计算、线段和的最小值等知识点，解题的关键是利用相似三角形转化边角关系，通过构造图形解决最值问题． ①：由垂直关系得两组角相等，直接判定相似．②计算：先由：求，再通过两次相似求、，最后计算面积并判断．③四边形的面积：证明求出为定值，再用面积公式判断面积不变．④的最小值：构造平行四边形转化线段，利用共线时线段和最小求解． 【详解】解：在矩形 中，，，则 ① ，， ， ∵， ∴， ，故①正确． ②当 时，， ， ， ， ， ， ， ，故②错误． ③如下图，过点F作，垂足为H，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积， ∴四边形的面积不变，③正确． ④如下图，在矩形右侧构造平行四边形，连接， 则，， 当、、G共线时，取得最小值， 由得， ∴， ∴的最小值， 故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，二次根式化简，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算，熟记相关运算法则，能正确分解因式约分是解题关键， （1）先分别计算零指数幂，二次根式，特殊角三角函数，再计算加减即可得到结果； （2）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分即可得到化简结果. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 17. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】（1）， （2）B （3）C，B，A 【解析】 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【小问1详解】 解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． 【小问2详解】 解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． 【小问3详解】 解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）将一次函数的图象向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点B，连接，，当时，求点B的坐标及一次函数向上平移的距离． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点A，B分别作x轴和y轴的垂线，垂足为D，E，根据题意，得到，进而得到，根据值的几何意义，得到，进而求出点坐标，设一次函数平移后的直线对应的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可. 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数和一次函数解析式得，， 解得，， ∴反比例函数和一次函数解析式分别为，； 【小问2详解】 解：过点A，B分别作x轴和y轴的垂线，垂足为D，E， ， ，即， ∵， ∴， ， ∴， ∵点在反比例函数上， ， ， ∴（负值舍去）， ∴， ， 设一次函数平移后的直线对应的解析式为， 将点代入得：， 解得， ， ∴点B的坐标为，一次函数向上平移的距离为． 19. 我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多2秒．已知一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍． （1）求该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； （2）经科研人员研发改进，苹果双臂采摘机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比原来减少了a秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作（效率提升一倍），它与一个采摘工人同时工作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a，m的式子表示） 【答案】（1）该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒 （2）该机器人比工人多采摘个苹果 【解析】 【分析】（1）设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒，一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍，再建立方程求解即可． （2）列式进行运算即可求得答案． 【小问1详解】 解：设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒． 根据题意，可列方程． 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒． 【小问2详解】 解：（个）． 答：该机器人比工人多采摘个苹果． 20. 如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． （1）请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； （2）连接交于点，求的长； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1）；3；；； （2） （3）是定值；3． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，， 由平移的性质得， 将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、， ， 【小问2详解】 解：如图1中， 由题意得，，，， ∴， 即， 解得 ∴； 【小问3详解】 解：结论：的值是定值．理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 21. 如图，与轴交于点和点，与轴交于，点的纵坐标为． （1）求的半径； （2）若于，交轴于，求证：； （3）在（2）的条件下求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，连接，由垂径定理可求得的长，在中，根据勾股定理即可求得半径长； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等结合等角的余角相等证明，从而可证得，由全等的性质即可得证； （3）过点作于，连接，在中，利用勾股定理可求得的长，从而可得的长，证明，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 如图，过点作于，连接， ， 点的纵坐标为， ． 在中，， 即的半径为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于，连接，则四边形是矩形， ，， ，， ， 在中，， ， ， ，， ， ，即， 解得， ． 22. 如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； （3）如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． 【小问3详解】 解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 23. 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． （1）【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． （2）【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） 四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形； （2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形， （3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点， 由题意知，， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴, 由菱形知，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平检测暨中考数学模拟试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的值可以是（） A. B. 0 C. 2 D. 3 8. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；（其中）．其中说法正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 观察下列单项式：，，，，，…按此规律，第n个单项式是___________． 12. 以科技赋能生活，智能家电让品质生活触手可及．某智能家电体验馆有4台样机可供体验，分别为智能电视、智能灯具、智能门锁、智能扫地机器人，小李同学从这4台样机中随机选取一台进行体验，小赵同学也从这4台样机中随机选取一台进行体验，则两名同学选取的智能家电不一样的概率是_______． 13. 图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板，，托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长，若，点到底座的距离是_____． 14. 在中，，，，分别在，边上，若，则长的最小值为______  ． 15. 如图，矩形中，点在对角线上，过点作，交边，于点，过点作交于点，连接．下列结论： ①；②当时，；③四边形的面积不变；④的最小值是20．正确的是_____（只填写序号）． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）将一次函数的图象向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点B，连接，，当时，求点B的坐标及一次函数向上平移的距离． 19. 我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多2秒．已知一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍． （1）求该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； （2）经科研人员研发改进，苹果双臂采摘机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比原来减少了a秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作（效率提升一倍），它与一个采摘工人同时工作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a，m的式子表示） 20. 如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． （1）请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； （2）连接交于点，求的长； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 21. 如图，与轴交于点和点，与轴交于，点的纵坐标为． （1）求的半径； （2）若于，交轴于，求证：； （3）在（2）的条件下求的长． 22. 如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； （3）如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． （1）【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． （2）【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $