精品解析：山东省青岛市银海学校2025-2026学年下学期期中八年级数学试卷

银海期中 2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．该图形是不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B 2. 如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：不等式两边同时乘以，不等号方向不变，可得，故A正确； 对于选项B：不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故B正确； 对于选项C：不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故C正确； 对于选项D：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故D错误． 3. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设，，，则， ∴，则，，，无角， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，且， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，，，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，把经过一定的变换得到，如果上点的坐标为，那么点变换后的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定变换方式为平移，再根据点和点的坐标确定平移过程，最后求出点的坐标． 【详解】解：由图可知，变换方式为平移， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴平移过程为：向右平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴点的坐标为． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解，再判断数轴即可． 【详解】解： ， 解得，对应的数轴如下： 6. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A. ④③①② B. ①②③④ C. ③④②① D. ③④①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 7. 如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转的性质，得，， ∴． 8. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？设将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：设将该商品打折销售，则售价为， 则利润为， 根据题意可得：， 故选：D． 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 57 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易证：即可解决问题． 【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ， ． 10. 对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“x的一半减去3所得的差不大于1”______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列关于x的一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 12. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据垂直平分线得到，从而得到，结合角平分线及得到，，结合得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，直线y=kx+b经过和两点，则不等式的解集为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线y=kx+b在直线y=0上方且在直线y=2下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】直线y=kx+b经过和两点，不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质得到，得出． 【详解】解：， ， ， ， 垂直平分， ， ． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 【答案】49 【解析】 【分析】过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，直线及外一点． 求作： ，使，且顶点在直线l上，斜边． 【答案】 如图，Rt△ABC即为所求． 【解析】 【分析】先过点A作直线l的垂线，垂足为C，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧交直线l于点B，即可得Rt△ABC． 【详解】略． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 解不等式或不等式组 （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行解答即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 ， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 19. 如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣5，3），C（﹣2，2）平移到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为（3，3）． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）若将△ABC到△A1B1C1的过程看成两步平移，则可将这一平移过程描述为：先向右平移　 　个单位长度，再　 　． （3）已知△A1B1C1与△A2B2C2关于原点O中心对称，请在图中画出△A2B2C2，此时△A2B2C2与△ABC关于某点中心对称这一点的坐标为　 　． 【答案】 （1）如下图，则△A1B1C1即为所求； （2）6；再向下平移2个单位长度； （3）如图，则△A2B2C2即为所求； （－3，1） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据中心对称的性质作出对称点，连接即可． 【详解】解：（1）由题意知：点A向右平移6个单位，再向下平移2个单位到点A1的位置， ∴△ABC平移到△A1B1C1时，点B、C对应的点B1（1，1）、C1（4，0），连接A1B1、B1C1、A1C1， （2）点A向右平移6个单位，再向下平移2个单位到点A1的位置； （3））∵△A1B1C1与△A2B2C2关于原点O中心对称， 点A2（-3，-3）、B2（-1，-1）、C2（-4，0），连接A2B2、B2C2、A2C2， 连接AA2、BB2、CC2交于点（-3，1）． 【点睛】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． 20. 为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过300元，则最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】最多可以购买30支钢笔． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设最多可以购买x支钢笔，则购买支，根据购买奖品的总价不超过300元，列出关于x的一元一次不等式求解并结合是整数即可得出答案． 【详解】解：设最多可以购买x支钢笔，则购买支， 根据题意有：， 解得：， ∵是整数， ∴x最大值为30， 答：最多可以购买30支钢笔． 21. 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集． （1）请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论： ①______；②______；③______；④______． （2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为______； 不等式的解集为______； 不等式的解集为______； 不等式组的解集为______． 【答案】（1）；；； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；②两个函数的解析式组成的方程组的解中，的值作为横坐标，的值作为纵坐标．③④可以写出两个对应的不等式． （2）根据函数与方程，函数与不等式组的关系，结合图象即可得出结论． 【小问1详解】 ①； ②； ③； ④； 故答案为：；；；； 【小问2详解】 若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为； 不等式的解集为； 不等式的解集为； 不等式组的解集为． 故答案为：；；；． 【点睛】本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键． 22. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 23. 某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： （1）甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． （2）在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 【答案】（1）370 （2）当或时，到甲直播间购买更合算． 【解析】 【分析】（1）设这种空气炸锅的标价为y元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）先求出甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：设空气炸锅的标价为y元，由题意，得 ， 解得， 答：空气炸锅的标价为370元． 【小问2详解】 解：甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况： ①当时，不满足满减条件，实际花费为x元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得， ∴， ②当时，满足满减条件，实际花费为元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得 ∴， 综上所述，当或时，到甲直播间购买更合算． 24. 如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形． （1）求证：DE＝BO； （2）如图2，当点D恰好落在BC上时． ①求点E的坐标； ②如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH+MG的值；若会变化，简要说明理由． 【答案】（1）证明：如图1中， ∵△ODC和△EBC都是等边三角形， ∴OC=DC，BC=CE，∠OCD=∠BCE=60°， ∴∠BCE+∠BCD=∠OCD+∠BCD， 即∠ECD=∠BCO， ∴△DEC≌△OBC（SAS）， ∴DE=BO． （2）①E（，9）；②9 【解析】 【分析】（1）证明△DEC≌△OBC（SAS）可得结论． （2）①证明∠CBE=90°，求出BE即可解决问题． ②利用面积法证明MG+MH=DE即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）①如图2中， ∵△ODC是等边三角形， ∴∠OCB=60°， ∵∠BOC=90°， ∴∠OBC=30°， 设OC=x，则BC=2x， ∴x2+92=（2x）2， 解得x=， ∴BC=， ∵△EBC是等边三角形， ∴BE=BC=， 又∵∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°， ∴E（，9）； ②如图3中，MH+MG的值不变．连接EM． ∵S△EBC=S△EBM+S△ECM，MG⊥BE，MH⊥EC， ∴•BC•DE=•BE•MG+•EC•MH， ∵BE=BC=CE，DE=9， ∴MG+MH=9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用面积法解决线段之间的关系，属于中考压轴题． 25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°． （1）操作发现：如图2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是　 　； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是　 　； （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想； （3）拓展探究 如图4，若BC＝3，AC＝2，当△DEC绕点C旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2； （2）成立， 证明：如图3，作点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE于N， ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD， ∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN和△DCM中， , ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1＝S2． （3）存在，最大值为12． 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答； ②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （3）由四边形ABDE的面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，则△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大，即可求解． 【详解】（1）①DE∥AC， 理由如下： ∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC＝CD， ∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， 又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC＝AB， ∴BD＝AD＝AC， 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1＝S2； 故答案为：DE∥AC；S1＝S2； （2）略 （3）∵四边形ABDE的面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC， ∴△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大， ∴当CD⊥BC时，△BDC的面积最大值为×2×3＝3， ∴四边形ABDE的面积最大值＝2××2×3+2×3＝6+6＝12． 【点睛】此题是全等三角形与旋转的综合题，考查三角形全等的判定及性质定理，旋转的性质，等底等高三角形面积的相等关系，等边三角形的判定及性质，四边形最大面积的求法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银海期中 2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把经过一定的变换得到，如果上点的坐标为，那么点变换后的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A. ④③①② B. ①②③④ C. ③④②① D. ③④①② 7. 如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A. B. C. D. 8. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？设将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 57 10. 对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（      ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“x的一半减去3所得的差不大于1”______ ． 12. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 13. 如图，直线y=kx+b经过和两点，则不等式的解集为___________． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 16. 如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，直线及外一点． 求作： ，使，且顶点在直线l上，斜边． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 解不等式或不等式组 （1）解不等式： （2）解不等式组： 19. 如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣5，3），C（﹣2，2）平移到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为（3，3）． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）若将△ABC到△A1B1C1的过程看成两步平移，则可将这一平移过程描述为：先向右平移　 　个单位长度，再　 　． （3）已知△A1B1C1与△A2B2C2关于原点O中心对称，请在图中画出△A2B2C2，此时△A2B2C2与△ABC关于某点中心对称这一点的坐标为　 　． 20. 为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过300元，则最多可以购买多少支钢笔？ 21. 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集． （1）请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论： ①______；②______；③______；④______． （2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为______； 不等式的解集为______； 不等式的解集为______； 不等式组的解集为______． 22. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 23. 某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： （1）甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． （2）在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 24. 如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形． （1）求证：DE＝BO； （2）如图2，当点D恰好落在BC上时． ①求点E的坐标； ②如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH+MG的值；若会变化，简要说明理由． 25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°． （1）操作发现：如图2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是　 　； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是　 　； （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想； （3）拓展探究 如图4，若BC＝3，AC＝2，当△DEC绕点C旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $