第二章 二次函数 章节同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

二次函数 章节同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 2．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 3．已知二次函数的最小值为，若一元二次方程没有实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数最值得到系数关系，再结合一元二次方程无实根的判别式性质求解的范围． 【详解】解：根据题意，得， 整理得， ∵一元二次方程没有实根， ∴判别式， 整理得， 将代入不等式得， 解得． 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 5．已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，平移的特性，依次判断即可 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴交点坐标是，选项错误，不符合题意； B、， 对称轴为， ∵， ∴开口向下， 当时，y随x增大而减小，选项错误，不符合题意； C、时，， 时，，故选项正确，符合题意； D、向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到的函数解析式为：，选项错误，不符合题意； 故选：C 6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 7．下表给出了二次函数的自变量与函数的一些对应值，该函数的图象与轴交于、，两点，点为抛物线上一动点，连接、，若，则点的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据表格确定，抛物线的顶点，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：由图表可知抛物线过点，，， ∴对称轴为直线，顶点 ∵抛物线经过点 ∴抛物线经过点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点可以是抛物线的顶点，或与的两个交点，共3个． 8．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出当和时 y与x的函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点， 由题意得，，， ∴,， ∴，开口向上； 当时，， 过点B作，交于H， ∵，， 则，， ∵在菱形中，，，是的垂线， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴， ∴， 当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点， ∵在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，开口向下； 选项D符合条件要求． 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 【答案】 【详解】解：二次函数解析式为， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①；②． 10．已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 11．将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】先求出原函数的顶点坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征求出新的图象的顶点坐标，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴新的图象的顶点坐标为，， ∴新的图象对应的函数表达式是，即． 12．若点在抛物线上，当时，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据点在抛物线上的性质，将点的横坐标代入抛物线解析式表示出，再根据列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，，由得： ． 三、解答题 13．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 14．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 15．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2)持续时间秒 (3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：设，将、、代入，得 ， ； （2）解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． （3）解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 能力提升 1、 选择题 1．若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：把，代入原方程得左边为0， 所以仅当时成立，并非任意情况， ∴A选项错误，不符合题意； 对于选项B：先把化简得， 由题意得，方程有两个不相等的实数根（因）， ∴令， 即， 解得， 所以B选项正确，符合题意； 对于选项C：令，这是开口向上的抛物线，与轴交于，顶点为． 当时，直线与抛物线交于两点，其横坐标满足（如时，根为和），而不是， ∴C选项错误，不符合题意； 对于选项D：由C知，抛物线的顶点为， 所以当时，直线与抛物线没有交点，所以方程没有实数根，仅当时，才符合， ∴D选项错误，不符合题意； 故选B． 2．已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，得到的值，再代入函数计算即可． 【详解】解：∵二次函数，，其中二次项系数为，一次项系数为， ∴二次函数的对称轴为， ∵分别取、（）时函数值相等， ∴，关于对称轴对称，可得， ∴， 把代入函数得： ． 3．二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、与轴交点的位置，可知，，，利用一次函数的性质与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 一次函数应是随的增大而增大； 抛物线的解析式为， 当时，， ， ， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴； ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限； A选项：一次函数的图象是随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，但是直线过原点，故A选项不符合题意； B选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故B选项不符合题意； C选项：一次函数的图象是随的增大而增大，且一次函数与轴的交点在轴的负半轴，反比例函数图象在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故D选项不符合题意． 4．如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交于点H，证明，得到，则可证明，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点H， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意． 5．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 2、 填空题 6．已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 7．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 3、 解答题 8．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 9．某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 【答案】(1) 甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人 (2) 函数表达式为（且为整数），最少租车费用为14400元 【分析】（1）根据题干给出的两种载客情况设未知数列方程组求解即可． （2）根据租车优惠规则表示出总费用，整理得到函数表达式，再根据二次函数的增减性，在给定区间内求出最小值即可． 【详解】（1）解：设甲型号观光车每辆载客人，乙型号观光车每辆载客人， 根据题意可得，解得， 答：甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人． （2）解：已知租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 则租车总费用， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 因为对称轴，且在对称轴右侧，随的增大而减小， 所以当时，有最小值． 把代入可得（元）． 答：与之间的函数表达式为， 当时，本次研学活动学校的最少租车费用为元． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为，点的横坐标为．点为抛物线上动点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标： (2)这条抛物线在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)的值为或 【分析】（１）已知二次函数与一次函数的交点的横坐标，将横坐标代入一次函数解析式中，求出点坐标，再将点坐标代入二次函数解析式中，解出答案． （２）若点在对称轴的左侧，则抛物线在点右侧的最低点在顶点处取得；若点在对称轴的右侧，则抛物线在点右侧的最低点在点处取得． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上，且横坐标为， ∴将代入，解得， ∴， 将代入，解得， ∴二次函数解析式为． 二次函数的顶点横坐标，解得， 将代入，解得， 顶点坐标为． （2）解：当时，点在对称轴的左侧， 则点右侧部分最低点为顶点，即，解得； 当时，点右侧部分最低点为点， ∵（m，），最低点的纵坐标为， ∴，解得：或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 拓展培优 一、选择题 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．则下列结论：①；②时，；③；④；⑤；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：由题知，图象开口朝下，∴， ∵图象与y轴的交点在y轴负半轴，∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∴，，，故，①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 则当时，． 故②正确． 将代入函数解析式得， ， 又∵, 则． 而抛物线与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴， 则， 得． 故③正确． ∵，， ∴． 又因为， ∴. 故④正确． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 则， 又∵， ∴． 故⑤正确． 正确的有①②③④⑤，有5个， 故选：D． 2．如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； ⑤根据，确定一元二次方程的参数，然后求解即可． 【详解】解：①由抛物线图象可得， ∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴， 故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上， 故④正确； ⑤∵， ∴当时，， ∴方程转化为， 解得； 当时，， ∴方程转化为， 解得或； ∵方程的两根为， ∴， 故⑤正确； 综上，正确的选项为①②④⑤， 故选：B． 3．如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积的最大值为0.96 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式． 过点分别作，，垂足为，可得四边形是矩形，，求出，然后证明，则得到，再由勾股定理求解表示出，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴顶点为，即，故A、C错误； 当时，， ∴点不在该函数图象上，故D错误； 当时，则， 解得或，结合函数图象可得，故B正确， 故选：B． 二、填空题 4．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】或或 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 【详解】解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ∵， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴， ∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴， ∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ∴， ∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， ∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时纵向边界的长度小于6，只有当点A的纵坐标为整数，即，时才能使得纵向边界上纵坐标为整数的点的个数为6，满足； 综上，横坐标a的范围为或或． 5．若是关于的二次函数，且为整数，不等式在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是二次函数和不等式的关系，将不等式问题转化为二次函数与轴有无交点问题是解题的关键． 将连续不等式进行拆分，得两个不等式，结合函数的性质将不等式问题转化为与轴交点问题，通过变形后的函数表达式，，针对和进行分类讨论，当时，可得出的取值和的取值范围，再结合可求出c的取值；当时，可得如下不等式组，，先确定出的取值，再根据，所满足的不等式求出，的取值，最后即可得出答案． 【详解】解：∵， 化简得∴， 要使该式对所有实数恒成立， 当时，上述为一次函数，若要满足题干条件，则，，即 此时函数为（）， 则对所有实数恒成立， 即， 故函数与轴最多只有一个交点， 即，解得， 结合，可得， ∴该二次函数关系式可为； 当时，要满足， 可得，可得； 又∵， 得， 要使该式对所有实数恒成立，结合， 得，可得； ∴可得， ∵为整数， ∴，代入和， 即，且， 上述两不等式相加闭关化简得， 化简得， 故， ∴， 将代入， 得， 解得，结合， 可得， 综上，，，， 故二次函数的解析式为或． 三、解答题 6．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； (3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 【答案】(1)； (2)或； (3)①，② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，令与的交点为，根据题意分两种情况求解：①当时；②当时，利用同底等高三角形面积比等于高之比，得出点的纵坐标，再代入直线得出点的坐标，从而求出直线的表达式，再求出直线与抛物线的交点坐标，即可得解； （3）①先求出顶点的坐标，从而得出直线的表达式，过点作交轴于点，过点作于点，则，求出直线的解析式，则，利用等面积法，求出，再根据坐标两点距离公式，求出，即可得出旋转角度的正弦值； ②分别过点、作轴和轴的垂线交于点，根据抛物线沿射线方向平移，设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，进而得到顶点，再求出两个抛物线的交点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，证明，得到，解方程即可得解． 【详解】（1）解：将点和代入得， ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：， 令，则， 解得：，， ， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 令与的交点为，直线把分成面积比为的两部分， ①如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 设直线表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； ②如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 同法可得，直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或； （3）解：①， ， ， 同法可得，直线的表达式为， 由旋转的性质可知，为旋转角， 如图，过点作交轴于点，过点作于点， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ， ， ， ， 即旋转角度的正弦值； ②如图，分别过点、作轴和轴的垂线交于点， ，， ，， 抛物线沿射线方向平移， 设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 新的抛物线解析式为， ， 联立，解得：， ， 如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， 抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 原抛物线平移的距离为． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点P的坐标为 (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标． （2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论． （3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式． （4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点P的坐标为． （2）解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∵点与点是关于的对称点， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧， ∴当时，，， ∴，， 将点代入中，解得， 当时，，， ∴，． 将点代入中，解得， ∴． （4）解：点E的坐标为． 如解图，连接交x轴于点F， 过点E分别作于点G，轴于点H， ∴． ∵抛物线，的对称轴均为直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵抛物线， ∴． ∵当时，，解得，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在抛物线上， ∴， 整理可得． ∵， ∴， ∴， 整理可得，解得（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴点E的坐标是． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数 章节同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 3．已知二次函数的最小值为，若一元二次方程没有实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 7．下表给出了二次函数的自变量与函数的一些对应值，该函数的图象与轴交于、，两点，点为抛物线上一动点，连接、，若，则点的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是______，当x ______时，y随x的增大而增大． 10．已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 11．将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 12．若点在抛物线上，当时，则的取值范围为_____． 三、解答题 13．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 14．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 15．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 能力提升 1、 选择题 1．若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 2．已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 3．二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题 6．已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 7．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 3、 解答题 8．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 9．某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为，点的横坐标为．点为抛物线上动点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标： (2)这条抛物线在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值． 拓展培优 一、选择题 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．则下列结论：①；②时，；③；④；⑤；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积的最大值为0.96 D．点在该函数图象上 二、填空题 4．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 5．若是关于的二次函数，且为整数，不等式在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为_______． 三、解答题 6．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； (3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $