山东省青岛市即墨区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 以劳动教育政策、传统宴席摆盘等真实情境为载体，通过基础巩固（如平移性质）、能力提升（如三角板旋转）、创新应用（如“三月三”节日项目式学习）三级梯度设计，考查平移、不等式、三角形等核心知识，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、不等式性质、三角形特殊点|第5题结合劳动教育政策，第10题三角板旋转考查空间观念| |填空题|6/18|等腰三角形“优美比”、正五边形内角|13题以传统宴席摆盘为背景，体现文化传承| |解答题|7/68|动态几何、项目式学习、数形结合|23题“三月三”节日卡片制作，融合不等式与方案优化；24题动点问题考查推理能力|

山东省青岛市即墨区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（3分）能经过平移得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知a、b为任意实数，a＞b，则下列变形一定正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．﹣a＞﹣b C．a﹣1＞b﹣1 D．ac＜bc 3．（3分）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 4．（3分）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 5．（3分）2026年2月，教育部正式发布《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，明确将劳动教育纳入健康学校建设四大重点任务之一，某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　） A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．300﹣30x﹣0.5≤3 C．30+（3﹣0.5）x≥300 D．0.5+300﹣30x≥3 6．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．15° B．16° C．18° D．32° 7．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 8．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3分）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（　　） A．33 B．32 C．31 D．30 10．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 二、填空题（共18分，每题3分） 11．（3分）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　 　 ． 12．（3分）若关于x的不等式x﹣m≥﹣5的解集如图所示，则m＝　 　 ． 13．（3分）中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则，如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意，若将其抽象成如图2的图形，则∠1的度数为 　 　 °． 14．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）的值是 　 　 ． 15．（3分）如图，△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF，四边形ABEF的周长为20，则△ABC的周长等于　 　 ． 16．（3分）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛ABC，园艺师要在BC边的中线AD上设置一个浇水装置F，同时在AC边上有一株特殊的花卉E，已知AE＝2.5米．现在需要用水管连接E和F，再连接F和C来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度EF+CF最短，此时∠CFE＝　 　 °． 三、作图题（满分4分） 17．（4分）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A＝∠α，BC上的高为a． 四、解答题（满分68分） 18．（10分）（1）解一元一次不等式：； （2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 19．（8分）已知，如图所示，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF，BD＝CD． （1）求证：DE＝DF； （2）求证：AD平分∠BAC． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向左平移3个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为　 　 ； （2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为　 　 ； （3）若点P为x轴上一动点，则PA+PB的最小值为　 　 ． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 22．（10分）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 23．（12分）项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2． 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 24．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F； （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？ （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？ （3）求证：DC＝EF． 山东省青岛市即墨区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．（3分）能经过平移得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形平移的性质解答即可． 【解答】解：能经过平移得到的图形是A． 故选：A． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 2．（3分）已知a、b为任意实数，a＞b，则下列变形一定正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．﹣a＞﹣b C．a﹣1＞b﹣1 D．ac＜bc 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【解答】解：当a＝1，b＝﹣2时，a＞b，但|a|＝1，|b|＝2，|a|＜|b|， 所以A项错误，不符合题意； ∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b，所以B项错误，不符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣1＞b﹣1，所以C项正确，符合题意； 当c＝0时，ac＝bc；当c＞0时，ac＞bc，所以D项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 3．（3分）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：发射塔到A、B两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AB的垂直平分线上， 发射塔到A、C两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AC的垂直平分线上， 则发射塔到三个村庄的距离相等时，信号发射塔应建在△ABC 的三条垂直平分线的交点处， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4．（3分）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”， 第一步应假设a≤b， 故选：B． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．（3分）2026年2月，教育部正式发布《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，明确将劳动教育纳入健康学校建设四大重点任务之一，某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　） A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．300﹣30x﹣0.5≤3 C．30+（3﹣0.5）x≥300 D．0.5+300﹣30x≥3 【分析】利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合完成平整土地300m2的任务所用时间不超过3小时，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：依题意得：30+（3﹣0.5）x≥300． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式和一元一次不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 6．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．15° B．16° C．18° D．32° 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝64°，然后利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝52°， ∴∠ABC＝∠C64°， ∵∠ACB是△GCD的一个外角， ∴∠ACB＝∠CGD+∠CDG＝64°， ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝32°， 同理可得：∠E＝∠DFE＝16°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7．（3分）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可． 【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4）， ∴m+3＝4， 解得：m＝1， ∴A（1，4）， ∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息． 8．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得2×AC2×4＝7，于是可求出AC的值． 【解答】解：作DH⊥AC于H，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DE＝2， ∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD， ∴2AC2×4＝7， ∴AC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长． 9．（3分）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（　　） A．33 B．32 C．31 D．30 【分析】根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集，然后根据x为整数得出最大值和最小值即可． 【解答】解：设输入为x，根据题意可列不等式组： 原不等式组解集为：x≤24， x取整数，输入的x的最大值m是24，最小值n为9． ∴m+n＝33． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握该知识点是关键． 10．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【分析】先求出∠ACD＝30°，再根据旋转角求出∠ACD1＝45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°， ∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∵旋转角为15°， ∴∠ACD1＝30°+15°＝45°， 又∵∠CAB＝45°， ∴△ACO是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝∠BCO＝45°， ∵CA＝CB， ∴AO＝COAB6＝3， ∵DC＝7， ∴D1C＝DC＝7， ∴D1O＝7﹣3＝4， 在Rt△AOD1中，AD15． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题（共18分，每题3分） 11．（3分）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　或　 ． 【分析】分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【解答】解：当8为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣8﹣8＝4， ∴“优美比”为； 当8为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 【点评】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键，注意分类讨论． 12．（3分）若关于x的不等式x﹣m≥﹣5的解集如图所示，则m＝　7　 ． 【分析】首先解得关于x的不等式x﹣m≥﹣5的解集即x≥m﹣5，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值． 【解答】解：关于x的不等式x﹣m≥﹣5， 得x≥m﹣5， 由题目中的数轴表示可知： 不等式的解集是：x≥2， 因而可得到，m﹣5＝2， 解得，m＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集的应用．本题解决的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题． 13．（3分）中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则，如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意，若将其抽象成如图2的图形，则∠1的度数为 　36　 °． 【分析】用360°减去三个正五边形的内角的度数即可． 【解答】解：∵正五边形每个内角的度数为（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠1＝360°﹣3×108°＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是关键． 14．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）的值是 　﹣6　 ． 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为﹣1＜x＜1，可以求出a、的值，从而求得（a+1）（b﹣1）的值． 【解答】解：由得， ∵﹣1＜x＜1， ∴1，3+2b＝﹣1， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴（a+1）（b﹣1）＝（1+1）（﹣2﹣1）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键． 15．（3分）如图，△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF，四边形ABEF的周长为20，则△ABC的周长等于　14　 ． 【分析】先根据图形平移的性质得出CF＝BE＝3，EF＝BC，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF， ∴CF＝BE＝3，EF＝BC， ∵四边形ABEF的周长为20， ∴△ABC的周长＝四边形ABEF的周长﹣BE﹣CF＝20﹣3﹣3＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 16．（3分）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛ABC，园艺师要在BC边的中线AD上设置一个浇水装置F，同时在AC边上有一株特殊的花卉E，已知AE＝2.5米．现在需要用水管连接E和F，再连接F和C来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度EF+CF最短，此时∠CFE＝　60　 °． 【分析】由等边三角形的性质得到B、C关于AD对称，连接BE交AD于F，连接CF，此时EF+FC最短，判定Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），得到∠DCF＝∠ECF∠ACB＝30°，求出∠CFE＝90°﹣∠ECF＝60°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD垂直平分BC，AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴B、C关于AD对称， 连接BE交AD于F，连接CF，此时EF+FC最短， ∵E是AC的中点，△ABC是等边三角形， ∴BE⊥AC， ∴∠CDF＝∠CEF＝90°， ∵CEAC，CDBC， ∴CE＝CD， ∵CF＝CF， Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）， ∴∠DCF＝∠ECF∠ACB＝30°， ∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，轴对称的性质，关键是由轴对称的性质得到使EF+CF最短的F点． 三、作图题（满分4分） 17．（4分）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A＝∠α，BC上的高为a． 【分析】（1）作∠MAN＝∠α， （2）作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD＝a， （3）过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C． 【解答】解：如图，△ABC即为所求作． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图． 四、解答题（满分68分） 18．（10分）（1）解一元一次不等式：； （2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【分析】（1）首先去分母得到2（2x﹣3）＜x﹣1，再去括号得4x﹣6＜x﹣1，然后移项，合并同类项得3x＜5，最后将未知数的系数化为1即可； （2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即可． 【解答】解：（1）去分母得到2（2x﹣3）＜x﹣1， 去括号得：4x﹣6＜x﹣1， 移项，合并同类项得：3x＜5， ∴x； （2）解不等式：﹣2x≤4，得：x≥﹣2， 解不等式3x﹣1＜5，得：x＜2， ∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜2． ∴原不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1．和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组得方法与步骤是解答此题的关键． 19．（8分）已知，如图所示，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF，BD＝CD． （1）求证：DE＝DF； （2）求证：AD平分∠BAC． 【分析】（1）根据HL证明Rt△DFC与Rt△DEB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 在Rt△DFC与Rt△DEB中， ， ∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL）， ∴DE＝DF； （2）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△DFC与Rt△DEB全等解答． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向左平移3个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为　（0，3）　 ； （2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为　（﹣1，4）　 ； （3）若点P为x轴上一动点，则PA+PB的最小值为　　 ． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB＝PA'+PB＝A'B，为最小值，利用勾股定理求出A'B的长即可． 【解答】解：（1）由平移得，点C'的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，B1的坐标为（﹣1，4）． 故答案为：（﹣1，4）． （3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，连接AP， 此时PA+PB＝PA'+PB＝A'B，为最小值， 由勾股定理得，A'B， ∴PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称﹣最短路线问题、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上，即可． （2）首先求出AB+AC＝12，再证明DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°，然后根据面积法进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 22．（10分）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴， ∴的最小值是； （3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图， 设CD＝x，则， ∴， ∵62+82＝102， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴x＝4.8． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． 23．（12分）项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2． 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 【分析】（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱，根据“制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）根据“制作甲卡片数量不足240张，且制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2”，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再利用总价＝单价×数量，及实体商店和网店给出的优惠方案，可用含a的代数式表示出在实体店和网店的购买费用； （任务3）分1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a及1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a三种情况，可求出a的取值范围或a的值，再结合200≤a＜240，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱， 根据题意得：， 解得：． 答：买彩纸1dm2需要0.5元钱，买丝带1m需要0.8元钱； （任务2）根据题意得：， 解得：200≤a＜240， ∴a的取值范围为200≤a＜240． 在实体店购买所需费用为295+0.5×0.7×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.7×[2a+（400﹣a）]＝（1359﹣0.14a）（元）； 在网店购买所需费用为0.5×0.9×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.9×[2a+（400﹣a）]＝（1368﹣0.18a）（元）． 答：a的取值范围为200≤a＜240，在实体店购买所需费用为（1359﹣0.14a）元，在网店购买所需费用为（1368﹣0.18a）元； （任务3）若1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，则a＜225， ∴当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算； 若1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a，则a＝225， ∴当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同； 若1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a，则a＞225， ∴当225＜a＜240时，在网店购买更合算． 答：当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算；当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同；当225＜a＜240时，在网店购买更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务3）分1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a及1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a三种情况，求出a的取值范围或a的值． 24．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F； （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？ （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？ （3）求证：DC＝EF． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到EC＝DC，列方程得到t＝2， （2）根据直角三角形的性质得到CEDC，列方程得到2t（6﹣t），根据直角三角形的性质列方程得到结论； （3）根据直角三角形的性质得到BC＝12厘米，于是得到DC＝（6﹣t）厘米，BE＝（12﹣2t）厘米，根据平行线的性质得到∠A＝∠BFE＝90°，由直角三角形的性质得到EFBE（12﹣2t）＝（6﹣t）厘米，即可得到结论． 【解答】解：由题意得AD＝t厘米，CE＝2t厘米， （1）若△DEC为等边三角形，则EC＝DC， ∴2t＝6﹣t，解得t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°， ∴CEDC， ∴2t（6﹣t）， 解得：t＝1.2， 当∠CDE＝90°时， ∴CE＝DC， ∴2t＝6﹣t， ∴t＝3， ∴t为1.2或3时，△DEC为直角三角形； （3）证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6厘米， ∴BC＝12厘米， ∴DC＝（6﹣t）厘米，BE＝（12﹣2t）厘米， ∵EF∥AC， ∴∠A＝∠BFE＝90°， ∵∠B＝30°， ∴EFBE（12﹣2t）＝（6﹣t）厘米， ∴EF＝CD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $