精品解析：山东省青岛市即墨区青岛长江学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024－2025学年第二学期期中学业水平测试八年级期数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，下列四个不等式中不正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A. ④③①② B. ①②③④ C. ③④②① D. ③④①② 6. 如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 8. 直线与直线，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. x＜－1 B. x＞－1 C. －1 ＜x＜0 D. x＞0 9. 如图，在边长为4的等边中，点为边上任意一点，于点，于点，则的长度和为( ) A. 4 B. 8 C. D. 10. 如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若不等式组的解集为，那么的值等于_______. 12. 如图，根据所示的拼图过程，因式分解：____． 13. 如图，在中，，．的周长为5，则的周长是__________． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 15. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(3，0),与y轴交于点(0，2)，不等式kx+b≥2解集是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为____． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，四边形ABCD． 求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PB＝PC，并且点P到∠BAD两边的距离相等． 18. （1）因式分解：27x3﹣3x （2）因式分解：4（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+9 （3）解不等式组：，并写出它的最小整数解． （4）在平面直角坐标系中，已知点A（3x+5，8﹣4x）在第二象限，求x的取值范围． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是点A（﹣2，3），点B（﹣1，1），点C（0，2）． （1）作△ABC关于O成中心对称的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2； （3）在x轴上求作点P，使PA1+PC2的值小并写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 20. 崂山区某自行车店，新进单价为1200元的自行车，标价为每辆1680元．五一期间，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可以打几折？ 21. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 22. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）若商场预计进货款为5200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 23. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 24. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则 ， ． （2）当时，求的长； （3）过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． （4）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中学业水平测试八年级期数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键． 2. 已知，下列四个不等式中不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质进行判断即可得出答案． 【详解】Ａ．由，得，即，故A选项错误． Ｂ．由，得，故B选项正确． Ｃ．由，得，故C选项正确． Ｄ．由，得，故D选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，即在不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；在不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；在不等式两边同乘或除以同一个负数，不等号方向改变；解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 4. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由B可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答． 【详解】解：∵B ∴ ∵ ∴ ∴将沿x轴正方向平移1个单位得到 ∴点C是将A向右平移1个单位得到的 ∴点C是的坐标是，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了图形的平移、根据平移方式确定坐标等知识点，根据题意得到将沿x轴正方向平移1个单位得到是解答本题的关键． 5. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A. ④③①② B. ①②③④ C. ③④②① D. ③④①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 6. 如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 7. 将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，解直角，可求阴影部分面积． 【详解】 解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， 设，则， ，即， 解得， ， 阴影部分面积为： 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积． 8. 直线与直线，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. x＜－1 B. x＞－1 C. －1 ＜x＜0 D. x＞0 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方，直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】】解：结合图象，当-1＜x＜0时，k1x+b＞k2x＞0， 所以k1x+b＞k2x＞0的解集为-1＜x＜0． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题． 9. 如图，在边长为4的等边中，点为边上任意一点，于点，于点，则的长度和为( ) A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接PA，根据△ABP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】如图，连接PA，过A做AD⊥BC于点D. ∴AD===2 ∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB•PE+C•PF=BC•AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴BC（PE+PF）=BC•AD， ∴PE+PF=AD=2． 故选择：D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积的计算方法；通过作辅助线，根据三角形面积相等得出结论是常用的方法． 10. 如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若不等式组的解集为，那么的值等于_______. 【答案】-2 【解析】 【分析】先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围，再与已知不等式组的解集为-1＜x＜1相比较，求出a、b的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：，由①得，x＜，由②得，x＞3+2b， ∵不等式组的解集为-1＜x＜1， ∴=1，3+2b=-1，解得a=1，b=-2， ∴=1×（-2）=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围是解答此题的关键． 12. 如图，根据所示的拼图过程，因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，利用左边4个图形的面积和等于右边长为和宽为的面积求解即可． 【详解】由拼图可得，左边4个图形的面积和为 右边长方形的面积为 ∵左边4个图形的面积和等于右边长方形的面积 ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，．的周长为5，则的周长是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出．由题意可知垂直平分，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合的周长，的周长，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为5， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：7． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(3，0),与y轴交于点(0，2)，不等式kx+b≥2解集是_______． 【答案】x≤0 【解析】 【分析】由一次函数y=kx+b的图像过点（0，2），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b≥2的解集． 【详解】解：由一次函数的图像可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小， ∵一次函数y=kx+b的图像与y轴交于点（0，2）， ∴当x≤0时，有kx+b≥2． 故答案为x≤0． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为____． 【答案】608 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，勾股定理，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为608． 故答案为：608． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，四边形ABCD． 求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PB＝PC，并且点P到∠BAD两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】满足PB＝PC，则点P在线段BC的垂直平分线上；满足点P到∠BAD两边的距离相等，则点P在∠BAD的角平分线上，分别作出线段AB的垂直平分线MN，作∠BCD的角平分线CQ，MN交CQ于点P，点P即为所求作． 【详解】解：如图，点P即为所求作． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定以及角平分线的判定定理． 18. （1）因式分解：27x3﹣3x （2）因式分解：4（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+9 （3）解不等式组：，并写出它的最小整数解． （4）在平面直角坐标系中，已知点A（3x+5，8﹣4x）在第二象限，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3），2；（4） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案； （2）把当成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可得到答案； （3）先求出每一个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出其最小整数解即可； （4）根据第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0列不等式求解即可. 【详解】解：（1） （2） （3） 解不等式① 得： 解不等式② 得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的最小整数解为2； （4）∵点A（3x+5，8﹣4x）在第二象限 ∴ 解不等式① 得： 解不等式② 得： ∴不等式的解集为： 【点睛】本题主要了因式分解，解一元一次不等式组，坐标系中第二象限点的坐标特点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是点A（﹣2，3），点B（﹣1，1），点C（0，2）． （1）作△ABC关于O成中心对称的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2； （3）在x轴上求作点P，使PA1+PC2的值小并写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（，0） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）作点C2关于x轴的对称点C′，连接C′A1，利用两点之间线段最短可判断此时PA1+PC2的值小，然后利用待定系数法求出直线C′A1的解析式，从而得到P点坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）作点C2关于x轴的对称点C′，连接C′A1，则PA1+PC2的值小， 设直线C′A1的解析式为y＝kx+b， 把A1（2，﹣3），C′（4，2）代入得，解得 ， ∴直线C′A1的解析式为y＝x﹣8， 当y＝0时，x﹣8＝0，解得x＝， ∴P点坐标为（，0）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 20. 崂山区某自行车店，新进单价为1200元的自行车，标价为每辆1680元．五一期间，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可以打几折？ 【答案】7.5 【解析】 【分析】设打x折，根据利润率不低于5%，列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设打x折，根据题意得： ， 解得： ， 则最多可打7.5折． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等关系式即可求解． 21. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC的周长为36． 【解析】 【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形三线合一的性质，证得∠EAD=∠FAD，即可得出结论． （2）根据AB=AC，∠A=60°，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE=30°，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长． 【详解】解：（1）证明：连接AD， ∵ AB=AC， D为BC边的中点， ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF； （2）解：∵，∠A=60°， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠B=60°， ∵∠BED=90°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD， ∵BE=3， ∴BD=6， ∴BC=2BD=12， ∴△ABC的周长为36． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点的理解和掌握． 22. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）若商场预计进货款为5200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1）A种台灯购进40盏，B种台灯购进80盏；（2）A种台灯购进30盏，B种台灯购进90盏．才能使商场在销售完这批台灯时获利最多，此时利润为2250元 【解析】 【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，B种台灯购进y盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款及A，B两种台灯共120盏列出方程组求解即可； （2）设商场销售完这批台灯可获利w元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出m的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【详解】（1）设A种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏．由题意得 解得 答：A种台灯购进40盏，B种台灯购进80盏． （2）设A种台灯购进m盏，B种台灯购进（120-m）盏．利润为w元． 由题意得， W=（45-30）m+（70-50）（120-m）=﹣5m+2400 因为120-m≤3m 所以m≥30 因为k=﹣5＜0，所以w随m的增大而减小 所以当m=30时，w有最大利润为﹣5×30+2400=2250 答：A种台灯购进30盏，B种台灯购进90盏．才能使商场在销售完这批台灯时获利最多，此时利润为2250元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键． 23. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 【答案】知识再现：a2-b2=(a+b)(a-b)；知识迁移：a3-b3；a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2)；=(a-b)( a2+ab+b2)；知识运用：（1） (2x-1)( 4x2+2x+1)（2）100. 【解析】 【分析】知识再现：根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； 知识迁移：图三的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为a3-b3;图4的几何体由3个几何体拼接而成，故可写出；再根据体积相等，故可写出等式； 知识运用：（1）根据公式直接因式分解即可；（2）先利用完全平方公式求出a2+b2，再根据题中求得的公式进行求解. 【详解】知识再现：根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式a2-b2=(a+b)(a-b) 知识迁移：如图3中的几何体的体积为a3-b3; 图4的几何体体积为a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2) ； 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：=(a-b)( a2+ab+b2) 知识运用：（1）=(2x)3-1=(2x-1)( 4x2+2x+1) （2）∵，， ∴(a-b)2=a2+b2-2ab=16， ∴a2+b2=16+2ab=22， ∴=(a-b)( a2+ab+b2)=4×（22+3）=100. 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解. 24. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则 ， ． （2）当时，求的长； （3）过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． （4）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） （4）3 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长； （3）由""可证，可得； （4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：是边长为6的等边三角形， 设，则， 故答案为∶； 【小问2详解】 当时， 是等边三角形， ， 解得∶， ； 【小问3详解】 ，理由如下∶ ， ， 又， ， ； 【小问4详解】 的长度不变． 连接，如图： ， ，且 四边形是平行四边形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $