精品解析：宁夏回族自治区中卫市沙坡头区2026年中考考前预测数学

沙坡头区2026年中考模拟数学测试题（三） 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一 、单选题（本大题共 8 小题，共 24 分） 1. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件发生的可能性是 B. 一组数据，，，的众数和中位数都是 C. 为了了解某地万名学生中考数学成绩，可以从中抽取名学生作为样本 D. 两组数据平均数相同，若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 4. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分） 9. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 10. 2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为________米/秒． 11. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 12. 如图，已知是半圆的直径，，是弧上任意一点，那么的度数是________． 13. 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 15. 如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 三 、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17. 计算： （1）解方程 （2）解不等式组： 18. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． 19. 海南岛气候宜人、拥有海水、阳光、沙滩、森林、温泉、热带物产和少数民族风情等丰富而独特的热带海岛旅游资源，有众多著名旅游地，是我国重要的旅游省份，为了解“十一”假期同学们在岛内的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生“十一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 旅游地 A．儋州市 B．海口市 C．文昌市 D．三亚市 E．未出游 F．其他 数据分析及运用： （1）本次被抽样调查的学生总人数为_____． （2）扇形统计图中，_____，“D”对应圆心角的度数是_____． （3）未出游的甲、乙同学计划下次假期从、、三个旅游地中任选一个城市旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一个旅游地的概率． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 21. 贺兰砚是特色传统手工艺品，是“宁夏五宝”之一，原材料为贺兰石．某经销商准备购进一批贺兰砚，有甲、乙两种品牌可以选择．已知乙品牌的进货单价比甲品牌高325元，用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同． （1）求甲、乙两种品牌的贺兰砚进货单价各是多少元？ （2）第一批贺兰砚销售完后，该经销商决定再次购进甲、乙两种品牌的贺兰砚共10套，此时甲品牌的进货单价比第一次进货时降低了，乙品牌的进货单价不变，如果再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元，那么最多可购进多少套乙品牌贺兰砚？ 22. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 23. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 24. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 26. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 （1）如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 （2）如图2，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连接、．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙坡头区2026年中考模拟数学测试题（三） 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一 、单选题（本大题共 8 小题，共 24 分） 1. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；符合题意； 故选：D． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件发生的可能性是 B. 一组数据，，，的众数和中位数都是 C. 为了了解某地万名学生中考数学成绩，可以从中抽取名学生作为样本 D. 两组数据平均数相同，若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据随机事件的概率，众数，中位数，样本选取原则，方差的意义，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】A 选项：随机事件发生的可能性范围是，不一定是，因此A错误； B 选项：数据中，出现次数最多的数是，因此众数是；从小到大排列后，中位数为中间两个数的平均数，不是，因此B错误； C 选项：总体是万名学生的中考数学成绩，仅抽取名学生作为样本，样本容量过小，不具有代表性，因此C错误； D 选项：∵平均数相同时，方差越小，数据波动越小，数据越稳定，且，∴乙组数据比甲组数据稳定，因此D正确． 4. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1，∠ABC=90° 在Rt△ABC中，AC=， ∴AM=AC=， ∴点M表示的数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键． 7. 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键． 8. 六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得，，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：A． 二 、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分） 9. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≤1 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解： ∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 10. 2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为________米/秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：千米/秒米/秒米/秒， 故答案为：． 11. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设红球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：设红球的个数是x，根据题意得： ， 解得：， 答：红球的个数是3； 故答案为3． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12. 如图，已知是半圆的直径，，是弧上任意一点，那么的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB为直角，在△ABC中，求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，由∠B的度数即可求出∠D的度数． 【详解】∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°，又∠BAC=40°， ∴∠B=50°， 又四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠B+∠D=180°， 则∠D=180-∠B=130°． 故答案为130°． 【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解本题的关键． 13. 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 15. 如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】过C点作，交于，过作，根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：过C点作，交于，过作， ∵平分，，， ∴， ∴的值最小， ∵，， ∴． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 三 、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17. 计算： （1）解方程 （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作； ． 19. 海南岛气候宜人、拥有海水、阳光、沙滩、森林、温泉、热带物产和少数民族风情等丰富而独特的热带海岛旅游资源，有众多著名旅游地，是我国重要的旅游省份，为了解“十一”假期同学们在岛内的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生“十一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 旅游地 A．儋州市 B．海口市 C．文昌市 D．三亚市 E．未出游 F．其他 数据分析及运用： （1）本次被抽样调查的学生总人数为_____． （2）扇形统计图中，_____，“D”对应圆心角的度数是_____． （3）未出游的甲、乙同学计划下次假期从、、三个旅游地中任选一个城市旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一个旅游地的概率． 【答案】（1）200 （2）10，72 （3） 【解析】 【分析】（1）将出游旅游地F的人数除以其所占百分比，即可得到本次被抽样调查的学生总人数； （2）求出出游旅游地C的人数，再除以总人数，乘以100，即可求出m的值；将出游旅游地D的人数除以总人数，再乘以，即可得到“D”对应圆心角的度数； （3）用树状图或列表的方法即可求出他们选择同一个旅游地的概率． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴本次被抽样调查的学生总人数为200人； 【小问2详解】 解：∵出游C旅游地的人数为：（人）， ∴， ∴， ∵， ∴“D”对应圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中两人选择同一个旅游地有3种可能的结果， ∴选择同一个旅游地的概率为． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 21. 贺兰砚是特色传统手工艺品，是“宁夏五宝”之一，原材料为贺兰石．某经销商准备购进一批贺兰砚，有甲、乙两种品牌可以选择．已知乙品牌的进货单价比甲品牌高325元，用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同． （1）求甲、乙两种品牌的贺兰砚进货单价各是多少元？ （2）第一批贺兰砚销售完后，该经销商决定再次购进甲、乙两种品牌的贺兰砚共10套，此时甲品牌的进货单价比第一次进货时降低了，乙品牌的进货单价不变，如果再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元，那么最多可购进多少套乙品牌贺兰砚？ 【答案】（1）甲品牌的贺兰砚单价是1300元，则乙品牌的贺兰砚单价是1625元 （2）最多可购进5套乙品牌贺兰砚 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲品牌的贺兰砚单价是x元，则乙品牌的贺兰砚单价是元，根据“用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙品牌贺兰砚a套，则购进甲品牌贺兰砚套，根据“再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元”列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲品牌的贺兰砚单价是x元，则乙品牌的贺兰砚单价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验是方程的解， ， 答：甲品牌的贺兰砚单价是1300元，则乙品牌的贺兰砚单价是1625元； 【小问2详解】 解：设购进乙品牌贺兰砚a套，则购进甲品牌贺兰砚套， 根据题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为5， 即最多可购进5套乙品牌贺兰砚． 22. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 23. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【小问1详解】 解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 24. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 26. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 （1）如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 （2）如图2，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连接、．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1），则．根据黄金分割点，得，代入数值计算，即可作答； （2）由正方形和矩形的性质得出，，，由点为线段的黄金分割点，根据相似三角形的判定即可得出结论； （3）根据正五边形的性质得到，，推出，根据相似三角形的性质得到，得到，等量代换即可得到结论 【详解】（1）解：设，则． ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴黄金比为． （2）证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ； （3）证明：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、黄金分割、正方形的性质、矩形的性质、正五边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握黄金分割和正方形的性质以及正五边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $