精品解析：宁夏回族自治区银川市第六中学2024 — 2025学年第二学期九年级第三次学情自测 数学试卷

银川市第六中学2024—2025学年第二学期第三次模拟初三数学试卷 闭卷 考试时间120分钟 总分120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ） A. P B. Q C. M D. N 2. 正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 加 C. 考 D. 油 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定 B. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件 5. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是角平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：________． 10. 若分式有意义，则应满足______． 11. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 12. 如图，点A是反比例函数（，）图象上一点，点B与点A关于x轴对称，点C为y轴一点，连接，若的面积为16．则k的值为__________． 13. 如图为我市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进．每个路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是________． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 15. 《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为__________． 16. 如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是______．（结果用m，n表示） 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 先化简，再求值：其中． 19. 【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，_______； 【数据分析与运用】 （2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 为提升商户服务品质，优化顾客休闲体验，如图1，这是某咖啡馆于店外露天区域修建的遮阳休憩区．图2是其侧面示意图．遮阳棚的长为6米，从点A看到棚顶顶点B的仰角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 21. 如图，在中，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价是B种书架单价的1.2倍；用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）求出A，B两种书架的单价； （2）若A种书架数量不少于B种书架数量的，设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 24. 如图，点是斜边上的点，以为直径的与相切于，交于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第六中学2024—2025学年第二学期第三次模拟初三数学试卷 闭卷 考试时间120分钟 总分120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ） A. P B. Q C. M D. N 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 2. 正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 加 C. 考 D. 油 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图，掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键． 利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：由正方体展开图特点可知：“初”与“加”相对， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根定义、同类项合并规则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A、∵算术平方根的运算结果为非负数，∴，A错误； B、∵与不是同类项，不能合并，∴B错误； C、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C错误； D、∵积的乘方等于各因式分别乘方，∴，D正确． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定 B. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数据的收集、整理与分析的应用，熟练掌握概率意义、方差的运用、随机事件、全面调查与抽样调查的定义是解题关键．A、根据方差的作用作出判断；B、根据概率的意义作出判断；C、根据调查的分类作出判断；D、根据必然事件的意义作出判断． 【详解】解：A、若甲，乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定，故此选项错误，不符合题意； B、一个游戏中奖率是，则一次购买100张这种彩票不一定会中奖，故此选项错误，不符合题意； C、为了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故此选项正确，符合题意； D、“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是角平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的尺规作图可判断第一个图；垂直平分线的尺规作图可判断第二个图；由平行线和等边对等角性质可判断第三个图；由三线合一性质可判断第四个图． 【详解】解：第一个图，由作图得，是的平分线，符合题意； 第二个图，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 第三个图，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 第四个图，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，其中是角平分线的有3个． 6. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，推出，根据垂径定理可得，推出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 交于点， ， ， ， ， 故选：B． 7. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 8. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点是的中点， ，即， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 若分式有意义，则应满足______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解；∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 12. 如图，点A是反比例函数（，）图象上一点，点B与点A关于x轴对称，点C为y轴一点，连接，若的面积为16．则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义．连接，，根据对称性得到，轴，推出，由反比例函数中系数的几何意义即可求解． 【详解】解：设交轴于点，连接，， ∵点与点关于轴对称， ∴，轴， ∴， ∴， ∵点在第四象限， 即． 故答案为：． 13. 如图为我市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进．每个路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，通过入口后，有3条通道，其中能到达“科技与生活”展厅的有2条通道， ∴嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是 ． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 15. 《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了七巧板的认识，算术平方根的应用．结合“蝴蝶”的面积之和为64，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：设⑤的面积为， 结合七巧板的特点得各个面积的情况如图所示： 依题意，， 解得， ∴“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块即①的面积为8， ∴边长为 故答案为：． 16. 如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是______．（结果用m，n表示） 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】原不等式组的解集是，整数解为，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，先解不等式中的两个不等式，再确定解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得：， 由②得，， 解得：， ∴原不等式组的解集是， ∴整数解为，0，1，2． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 19. 【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，_______； 【数据分析与运用】 （2）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）88，87，40 （2）640 （3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值；； （2）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解； （3）根据中位数和众数分析即可得解． 【小问1详解】 解：八年级C组的人数为：（人），八年级B组有4人， 则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴， 故答案为：88，87，40； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的人有640人； 【小问3详解】 解：八年级学生数学文化知识较好， 理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好． 20. 为提升商户服务品质，优化顾客休闲体验，如图1，这是某咖啡馆于店外露天区域修建的遮阳休憩区．图2是其侧面示意图．遮阳棚的长为6米，从点A看到棚顶顶点B的仰角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，，过点A作于H，于G，则四边形是矩形，可得，解，可求出的长，进而可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，于G，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴． 答：凉荫处的长为． 21. 如图，在中，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明得到，即可求证； （2）由菱形的性质可得，，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即得，，再利用三角形的面积可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价是B种书架单价的1.2倍；用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）求出A，B两种书架的单价； （2）若A种书架数量不少于B种书架数量的，设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】（1）600元；500元 （2）；购买A种书架5个，B种书架15个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，根据用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个列方程解决即可； （2）先根据题意列出w与a的函数关系式，再求出a取值范围，根据一次函数性质即可解决． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元， 解得 经检验，是原分式方程的解且符合题意 ， 答：A种书架的单价为600元，B种书架的单价为500元； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 种书架数量不少于B种书架数量的 ， 解得， 随a的增大而增大 当时，w取得最小值，此时， w与a的函数关系式为，费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①见解析；②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 24. 如图，点是斜边上的点，以为直径的与相切于，交于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据切线性质得出，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）证明四边形是矩形，得出，，根据勾股定理得出，设的半径为，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图． 与相切于点， ， ， ， ． ， ， ， 即平分． 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， ， ， ． 设的半径为， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是；②见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②解：如图2中，点M即为所求； 【小问2详解】 ①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； 【小问3详解】 解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $