第一章　三角形的证明及其应用 课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

第3课　多边形的内角和 数学　八年级下册 1. (2025·茂名期末)如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而 被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是 ( ) A. 360° B. 1 440° C. 1 080° D. 1 800° C 数学　八年级下册 2. (1)正五边形每个内角的度数为_____； (2)正十边形每个内角的度数为_____. 3. 一个多边形的内角和等于720°，求它的边数. 108° 144° 解：设边数为n. 依题意，得 (n－2)·180°＝720°， 解得n＝6. 答：它的边数为6. 数学　八年级下册 4. 一个正多边形的每个内角都等于108°，求这个正多边 形的边数. 解：设这个正多边形的边数为n. 依题意，得180(n－2)＝108n， 解得n＝5. ∴这个正多边形的边数为5. 数学　八年级下册 5. (新教材P11T5)过某个多边形一个顶点的所有对角线， 将这个多边形分成5个三角形. 这个多边形是几边形？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形为n边形. 依题意，得n－2＝5， 解得n＝7. ∴这个多边形是七边形， 它的内角和为(7－2)×180°＝900°. 数学　八年级下册 6. 已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 C 数学　八年级下册 7. 下列度数不可能是多边形的内角和的是 ( ) A. 540° B. 1 080° C. 1 000° D. 3 600° C 数学　八年级下册 8. (新教材P11T13改编)如图是三个完全相同的正多边形拼 成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 解：360°÷3＝120°. 设多边形的边数为n. 解得n＝6. 答：这种多边形是六边形. 依题意，得 ＝120°， 数学　八年级下册 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF 分别是∠DAB，∠DCB的平分线，则AE与FC有什么位置关系？请说明理由. 解：AE∥FC. 理由如下： ∵∠B＝∠D＝90°，∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴∠DAB＋∠DCB＝180°. ∵AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线， ∴∠DAE＋∠DCF＝90°. 又∵∠DFC＋∠DCF＝90°，∴∠DFC＝∠DAE. ∴AE∥CF. 数学　八年级下册 $第4课　多边形的外角和 数学　八年级下册 1. 十五边形的外角和为_____. 2. 正十边形的每个外角等于 ( ) A. 60° B. 45° C. 36° D. 35° 360° C 数学　八年级下册 3. 正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内 角和是 ( ) A. 1 080° B. 720° C. 360° D. 1 800° D 数学　八年级下册 4. 若一个正多边形的一个内角是108°，则这个多边形的 边数为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 数学　八年级下册 解：设外角是x°，则相邻的内角是5x°. 5. (新教材P11T8)是否存在一个多边形，它的每个外角都 等于相邻内角的 ？简述你的理由. 依题意，得x＋5x＝180， 解得x＝30. ∴多边形的边数是360÷30＝12. ∴这个多边形是正十二边形. ∴存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 . 数学　八年级下册 6. 已知一个正多边形的内角和是2 340°，求这个多边形每 个外角的度数. 解：设边数为n. 依题意，得(n－2)·180°＝2 340°， 解得n＝15. ∴每个外角的度数为 ＝24°. 数学　八年级下册 7. 如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边 CD，AE的延长线交于点F，如果∠1＋∠2＋∠3＝225°，求∠DFE的度数. 解：如图，∵多边形的外角和为360°， 且∠1＋∠2＋∠3＝225°， ∴∠DFG＝360°－(∠1＋∠2＋∠3) ＝360°－225° ＝135°. ∴∠DFE＝180°－135°＝45°. 数学　八年级下册 8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角. 若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的和为_____. 300° 数学　八年级下册 9. 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°. 求证：(1)ED∥AB； 证明：(1)∵六边形ABCDEF每个内角都相等， ∴∠E＝∠F＝120°. ∵∠1＝60°，∴∠3＝60°. ∴∠3＋∠F＝180°. ∴EF∥AD. ∴∠2＋∠E＝180°. ∴∠2＝60°. ∴∠1＝∠2. ∴ED∥AB. 数学　八年级下册 (2)EF∥BC. 证明：(2)∵∠1＝60°，∠B＝120°， ∴∠1＋∠B＝180°. ∴AD∥BC. 又∵EF∥AD， ∴EF∥BC. 数学　八年级下册 10. 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且 ∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数. 数学　八年级下册 解：如图，连接AC，BD. ∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°－∠CAF. 又∵∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC， ∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB ＝180°－∠CAF＋180°－∠ABC－∠BAC＝360°－120°－80°＝160°. ∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°－∠ABD. ∵∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD， ∴∠CDE＝∠BDE＋∠BDC ＝180°－∠ABD＋180°－∠BCD－∠CBD＝360°－80°－160°＝120°. 数学　八年级下册 $第一章　三角形的证明及其应用 第1课　三角形内角和定理 数学　八年级下册 1. 三角形的内角和为____度. 2. 在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝45°，则∠C＝ ____°. 3. (2025·深圳二模)如图，已知△ABC≌△A′BC′，∠A＝ 50°，∠C′＝100°，则∠A′BC′＝____°. 180 105 30 数学　八年级下册 4. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，BD与CE是△ABC的高， O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数. 解：∵BD与CE是△ABC的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°. ∵∠A＝50°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝40°. ∴∠BOE＝90°－∠ABD＝50°. ∴∠COD＝∠BOE＝50°. 数学　八年级下册 5. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，求∠1的 度数. 解：∵BC⊥AE， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－55°－90°＝35°. ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠A＝35°. 数学　八年级下册 6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一 点，PE⊥BC于点E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数. 解：∵∠ACB＝80°，∠B＝24°， ∴∠BAC＝180°－80°－24°＝76°. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝76°÷2＝38°. ∴∠EDP＝∠ADC＝180°－80°－38°＝62°. ∴∠P＝90°－62°＝28°. 数学　八年级下册 7. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，角平分线AD，CF相交 于点E，求∠AEC的度数. 解：∵∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠BCA＝90°. ∵AD，CF是△ABC的角平分线， ∴∠AEC＝180°－45°＝135°. ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∠ACF＝∠BCF＝ ∠BCA. ∴∠CAD＋∠ACF＝ (∠BAC＋∠BCA)＝ ×90°＝45°. 数学　八年级下册 8. 已知，如图，在△ABC中，∠B>∠C，AD是边BC上的 高，AE平分∠BAC. (1)若∠B＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的度数； 解：(1)∵∠B＝80°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B＝10°. ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°. ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC＝30°. 数学　八年级下册 (2)请你由(1)猜想∠DAE与∠B，∠C有何数量关系，并证明你的猜想. 解：(2)猜想：2∠DAE＝∠B－∠C.证明如下： 即2∠DAE＝∠B－∠C. ∵∠BAE＝ ∠BAD＝90°－∠B， ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD ＝90°－ ∠B－ ∠C－90°＋∠B＝ (∠B－∠C)， 数学　八年级下册 $第12课　三角形三边垂直平分线的性质 数学　八年级下册 1. 如图，已知线段AB，分别以点A和B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，作直线CD 交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接 FA，FB. 若FA＝5，则FB＝___. 5 数学　八年级下册 2. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角 形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的 ( )A. 三条高线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三条中线的交点 B 数学　八年级下册 3. (2025·清远一模)如图，在△ABC中，∠A>∠B. (1)实践与操作：请用尺规作图法作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E；(不要求写作法，但要保留作图痕迹) 解：(1)如图，DE即为所求. 数学　八年级下册 (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接AE. 若∠CAE＝30°，∠C＝50°，求∠B的度数. 解：(2)如图，∵∠CAE＝30°，∠C＝50°， ∴∠AEB＝30°＋50°＝80°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE. ∴∠B＝∠EAB＝ ＝50°. 数学　八年级下册 4. 已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一 点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中正确的是 ( ) D 数学　八年级下册 5. (2025·深圳期中)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6， BC＝10. 根据尺规作图痕迹，线段AD的长为 ( ) A. B. C 2 D. 5 A 数学　八年级下册 6. (新教材P38T6)如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一 侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 解：如图，点P就是码头应建造的位置. 数学　八年级下册 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是边AC上的高. (1)用直尺和圆规作出边AB上的高CD交AB于点D，交BE于点O(要求保留作图痕迹)； 解：(1)如图，线段CD是所求 . 数学　八年级下册 (2)判断△OBC是什么三角形，并说明理由. 解：(2)△OBC是等腰三角形. 理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CDB＝∠BEC＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠DBC＝∠ECB. 又∵BC＝CB， ∴△CBD≌△BCE(AAS). ∴∠BCD＝∠CBE. ∴OB＝OC. ∴△OBC是等腰三角形. 数学　八年级下册 $第8课　等边三角形的判定 数学　八年级下册 1. 如图，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝6，则AB＝____. 12 数学　八年级下册 2. (2025·安阳期中)满足下列条件的三角形是等边三角形的 个数是 ( ) ①有两个角是60°的三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形； ③腰上的高也是中线的等腰三角形； ④三个外角都相等的三角形； ⑤有一个角为60°的等腰三角形. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 数学　八年级下册 3. (新教材P51T15)如图，在四边形BCDE中，∠C＝ ∠BED＝90°，∠B＝60°，延长CD，BE，两线相交 于点A. 已知CD＝2，DE＝1，求Rt△ABC的面积. 数学　八年级下册 解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°. ∵∠BED＝90°，∴∠AED＝90°. ∵DE＝1，∴AD＝2. ∵CD＝2，∴AC＝AD＋CD＝4. ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC. ∵∠A＝30°，∴DE＝ AD. ∴BC2＋42＝4BC2，解得BC＝ . ∴SRt△ABC＝ 数学　八年级下册 4. (2025·吉林期中)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC， AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE. 求证：△CDE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠C＝60°. ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴CE＝CD. 又∵∠C＝60°， ∴CE＝ BC，CD＝ AC. ∴△CDE是等边三角形. 数学　八年级下册 5. 含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示， 已知l1∥l2，∠1＝60°，则下列结论：①AC＝2BC；②△BCD为等边三角形；③AD＝BD，其中正确的是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ C 数学　八年级下册 6. 在边长为9的等边三角形ABC中，P是AB上一动点，以 每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动， 设运动时间为t秒. (1)如图1，若Q是BC上一定点，BQ＝6， PQ∥AC，求t的值. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，∠B＝60°. ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ. ∴△BPQ是等边三角形. ∴BP＝BQ＝6. 依题意，得AP＝t，则BP＝9－t，∴9－t＝6，解得t＝3. 数学　八年级下册 (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 数学　八年级下册 如答图，当点Q在边AC上时，∵∠A＝60°， 解：(2)依题意，得当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等 边三角形； ∴若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ. 依题意，得AP＝t，BC＋CQ＝2t， ∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝9＋9－2t＝18－2t. ∴18－2t＝t，解得t＝6. 综上所述，当t＝6时，△APQ为等边三角形. 数学　八年级下册 $第2课　三角形的外角 数学　八年级下册 1. (新教材P6T2改编)如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三 个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝_____. 360° 数学　八年级下册 2. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝30°， ∠1＝45°，则∠2＝_____. 15° 数学　八年级下册 3. (2025·深圳二模)如图，一束激光PA射入水面，在点A处 发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑点B. 水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到点D，因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB. 若∠1＝48°，∠2＝26°，则∠3的度数为____°. 74 数学　八年级下册 4. 如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝30°，求∠3的度数. 解：∵a∥b， ∴∠1＝∠4＝50°. ∵∠2＋∠3＝∠4， ∴∠3＝∠4－∠2＝50°－30°＝20°. 数学　八年级下册 5. (2025·深圳期末)如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，将 △ABC沿CD折叠，点B的对应点B′刚好落在边AB上，点B′在点E左侧. 若∠B′CE＝6°，∠A＝42°，则∠B＝_____. 70° 数学　八年级下册 6. (1)如图1，直线AB∥ED. 求证：∠ABC＋∠CDE＝∠BCD. (2)如图2，如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，∠ABC，∠CDE与∠BCD又有什么关系？请说明理由. (2)解：∠ABC＝∠CDE＋∠BCD. 理由如下： 又∵∠1＝∠CDE＋∠BCD， ∴∠ABC＝∠CDE＋∠BCD. (1)证明：如图1，过点C作直线a∥AB. ∵AB∥ED，∴a∥AB∥DE. ∴∠ABC＝∠2，∠1＝∠CDE. ∴∠ABC＋∠CDE＝∠2＋∠1＝∠BCD. 如图2，∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠1. 数学　八年级下册 7. 如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折 叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2＝ ( ) A. 72° B. 50° C. 46° D. 36° A 数学　八年级下册 8. 将一副直角三角板(∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°， ∠C＝60°，点D在边AB上)按如图所示的位置摆放. 两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF的度数为( ) A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° B 数学　八年级下册 $第6课　等腰三角形的性质(2) ——三线合一 数学　八年级下册 1. 如图，在△ABC中，点D在边BC上. ①若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，BD＝DC；②若AB＝AC，BD＝CD，则AD⊥BC，∠1＝∠2；③若AB＝AC，AD⊥BC，则∠1＝∠2，BD＝DC. 其中正确的有_______. ①②③ 数学　八年级下册 2. 如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，AB＝ 2，则BD＝___. 1 数学　八年级下册 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC. 若AD平分∠BAC，BC＝ 4，求BD及∠ADC的度数. 解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADC＝90°， BD＝DC＝ BC＝2. 数学　八年级下册 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，∠ADE＝70°，求∠C的度数. 解：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C. ∵DE⊥AB，∠ADE＝70°， ∴∠DAE＝20°. ∴∠C＝∠B＝90°－20°＝70°. 数学　八年级下册 5. (2025·揭阳期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边 BC上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线. 若∠FCE＝52°，则∠A的度数为_____. 28° 数学　八年级下册 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，作 ∠EAB＝∠BAD，AE交边CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF. 求证：BE＝CF. 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠EAB＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠FAC. 又∵AE＝AF， ∴△ABE≌△ACF(SAS). ∴BE＝CF. 数学　八年级下册 7. 在△ABC中，AB＝AC. (1)如图1，若∠BAD＝30°，AD是边BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝____°. (2)如图2，若∠BAD＝40°，AD是边BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝____°. (3)通过上述的两题，思考∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明. 15 20 数学　八年级下册 解：(3)∠BAD＝2∠EDC. 证明如下： ∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C， ∠ADC＝∠B＋∠BAD， ∴∠B＋∠BAD＝∠EDC＋∠C＋∠EDC， 即∠BAD＝2∠EDC. 数学　八年级下册 $第15课　三角形的证明及其应用单元复习 数学　八年级下册 1. (2025·广州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E. 若DE＝1，则BC的长为 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 数学　八年级下册 2. 如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2. 若∠1＝ 57°，则∠2的度数为 ( )A. 108° B. 36° C. 72° D. 129° D 数学　八年级下册 3. (2025·清远二模)实验课上，小华在研究苯的分子结构时， 发现这种物质的分子为正多边形结构，且其内角和为720°，则这个正多边形的每个外角为____. 60° 数学　八年级下册 4. 如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别 为B，C，PB＝3，AC＝8，则四边形ABPC的面积为___. 24 数学　八年级下册 5. 如图，已知AE＝CF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F，BF＝DE. 求证：AB∥CD. 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∵BF＝DE， ∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴∠B＝∠D. ∴AB∥CD. 在Rt△ABE和Rt△CDF中， 数学　八年级下册 6. (2025·顺德区期末)如图，在等腰△ABC中，BC＝AC. (1)尺规作图：作边BC上的高AD； (1)解：如图，AD即为所求. 数学　八年级下册 (2)若∠B＝30°，求证：BC＝2CD. (2)证明：∵AD为边BC上的高， ∴∠ADB＝90°. ∵BC＝AC， ∴∠B＝∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝60°. ∴∠CAD＝30°. ∴AC＝2CD. ∴BC＝2CD. 数学　八年级下册 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于 点D，交AC于点E. 已知△BCE的周长为8，AC－BC＝2，则AB＝___，BC＝___. 5 3 数学　八年级下册 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16 cm，BC＝ 12 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t s. (1)出发2 s后，求△PBQ的面积. 解：(1)当t＝2时，AP＝2 cm，BQ＝2t＝4(cm). ∵AB＝16 cm，∴BP＝AB－AP＝14(cm). ∵∠ABC＝90°， ∴S△PBQ＝ BP·BQ＝ ×14×4＝28(cm2). 数学　八年级下册 (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB能形成等腰三角形？ 解：(2)当0≤t≤6时，点Q在边BC上运动. 依题意，得BQ＝2t cm，BP＝(16－t) cm. ∵∠ABC＝90°， ∴只有当BQ＝BP时，△PQB能形成等腰三角形. 此时2t＝16－t，解得t＝ ，且符合题意. ∴出发 s后，△PQB能形成等腰三角形. 数学　八年级下册 ①当CQ＝BQ时，如答图1所示，此时∠C＝∠CBQ. (3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间. 解：(3)∵∠ABC＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°. ∴∠A＝∠ABQ. ∴BQ＝AQ. ∴BC＋CQ＝22(cm). ∴t＝22÷2＝11； ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝ ＝20(cm). ∴CQ＝AQ＝ AC＝10(cm). 数学　八年级下册 ③当BC＝BQ时，如答图3所示，过点B作BE⊥AC于点E， ②当CQ＝BC时，如答图2所示，此时BC＋CQ＝24(cm). ∴t＝24÷2＝12； ∴CQ＝2CE＝14. 4(cm). ∴t＝26. 4÷2＝13. 2. 综上所述，当运动时间为11 s 或12 s或13. 2 s时，△BCQ为等腰三角形. ∴BC＋CQ＝26. 4(cm). 则易得CQ＝2CE，BE＝ (cm). ∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝ (cm). 数学　八年级下册 $第13课　角平分线的性质与判定 数学　八年级下册 1. 如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则 点P到AB的距离是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 数学　八年级下册 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交 BC于点D，若AB＝14，S△ABD＝14，则CD＝___. 2 数学　八年级下册 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC上一点， DE⊥AB于点E，且DE＝DC. 若∠A＝40°，求∠DBC的度数. 解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝50°. ∵CD⊥BC，DE⊥BE，DE＝DC， ∴BD平分∠ABC. ∴∠DBC＝ ∠ABC＝25°. 数学　八年级下册 4. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E，DF⊥AC于点F. 求证：(1)AE＝AF； 证明：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 又∵AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). ∴AE＝AF. 数学　八年级下册 (2)DA平分∠EDF. 证明：(2)∵△ADE≌△ADF， ∴∠ADE＝∠ADF. ∴DA平分∠EDF. 数学　八年级下册 5. (新教材P42例2)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝ 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长. 数学　八年级下册 (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4 cm，∠BED＝90°. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC. 又∵∠C＝90°，∴∠B＝45°. 又∵∠BED＝90°， ∴∠BDE＝45°＝∠B. ∴BE＝DE＝4 cm. 在等腰Rt△BDE中，由勾股定理，得 BD＝ (cm)， ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4 )(cm). 数学　八年级下册 (2)求证：AB＝AC＋CD. (2)证明：∵AD＝AD，DC＝DE， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL). ∴AC＝AE. ∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 数学　八年级下册 6. 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的 中点，且AO平分∠BAC. 求证：(1)CO平分∠ACD； 证明：(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E. ∵AO平分∠BAC，OB⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OB. 又∵OA＝OA， ∴Rt△AOE≌Rt△AOB(HL). ∴∠AOE＝∠AOB，AE＝AB. ∵O为BD的中点，∴OD＝OB＝OE. 又∵OE⊥AC，OD⊥CD，∴CO平分∠ACD. 数学　八年级下册 (2)OA⊥OC； 证明：(2)∵OE＝OD，OC＝OC， ∴Rt△COE≌Rt△COD(HL). ∴∠COE＝∠COD，CD＝CE. ∵∠AOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°， ∠AOE＝∠AOB， ∴∠AOE＋∠COE＝90°. ∴OA⊥OC. 数学　八年级下册 (3)AB＋CD＝AC. 证明：(3)由(1)(2)知，AB＝AE，CD＝CE， ∴AB＋CD＝AE＋CE＝AC. 数学　八年级下册 $第5课　等腰三角形的性质(1) ——等边对等角 数学　八年级下册 1. 如图，在△ABC中，BC＝AC. (1)若∠B＝40°，则∠C＝_____°；(2)若∠C＝80°，则∠B＝____°. 100 50 数学　八年级下册 2. 若一个等腰三角形的周长为32 cm，其中一边长为8 cm， 则该等腰三角形的底边长为 ( )A. 8 cm B. 12 cmC. 8 cm或16 cm D. 16 cm 3. 已知等边△ABC的边长为8 cm，则其周长＝______， ∠A＝____. A 24 cm 60° 数学　八年级下册 4. 如图，AB＝AD，BD平分∠ABC. 求证：AD∥BC. 证明：∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∴∠ADB＝∠CBD. ∴AD∥BC. 数学　八年级下册 5. (新教材P21T3)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为BC的中点，点E，F分别在AB和AC上，并且AE＝AF. 求证：DE＝DF. 证明：∵AB＝AC，AE＝AF， ∴AB－AE＝AC－AF. ∴EB＝FC. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD. ∴△EBD≌△FCD(SAS). ∴DE＝DF. 数学　八年级下册 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是边AB上的高线， 若∠A＝42°，则∠DCB的度数为 ( ) A. 21° B. 22° C. 23° D. 24° A 数学　八年级下册 7. (新教材P15T2改编)如图，在△ABC中，D，E是BC的三 等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝_____. 120° 数学　八年级下册 8. (新教材P20习题T2)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，交AC于点D. 若BD＝BC，则∠A等于多少度？ 解：设∠ABD＝x°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝x°，∠ABC＝2∠ABD＝2x°. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC ＝2x°. ∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝2x°. ∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°＝∠A＋x°， ∴∠A＝x°. 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36. ∴∠A＝36°. 数学　八年级下册 9. 如图，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC 到点E，使CE＝CD，连接DE. (1)若AB＝10，求BE的长； 解：(1)∵△ABC是等边三角形，BD是中线，AB＝10， ∴BC＝AC＝AB＝10. ∴CE＝CD＝5. ∴BE＝BC＋CE＝15. ∴AD＝CD＝ AC＝5. 数学　八年级下册 (2)求∠E的度数. 解：(2)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E. 又∵∠ACB＝∠CDE＋∠E， ∴∠E＋∠CDE＝2∠E＝60°. ∴∠E＝30°. 数学　八年级下册 $第7课　等腰三角形的判定 数学　八年级下册 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，∠C＝2∠D. 求证：△ABD是等腰三角形. 证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC. ∵∠C＝2∠D， ∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠D. ∴∠D＝∠ABD. ∴AD＝AB. ∴△ABD是等腰三角形. 数学　八年级下册 2. 如图，AC与BD相交于点O，AD＝BC，AC＝BD. 求证： △OAB是等腰三角形. ∴△ABD≌△BAC(SSS). ∴∠DBA＝∠CAB， 即∠OBA＝∠OAB. ∴△OAB是等腰三角形. 证明：在△ABD和△BAC中， 数学　八年级下册 3. (2025·金华期中)利用反证法证明“直角三角形至少有一 个锐角不小于45°”，应先假设 ( ) A. 直角三角形的每个锐角都小于45° B. 直角三角形有一个锐角大于45° C. 直角三角形的每个锐角都大于45° D. 直角三角形有一个锐角小于45° A 数学　八年级下册 4. (2025·韶关期末)如图，若AB＝AC＝BC＝DB，则∠D的 度数为_____. 30° 数学　八年级下册 5. 如图，已知在长方形ABCD中，AD∥BC，沿长方形 ABCD的对角线BD翻折△ABD，得△A′BD，A′D交BC于点F. 求证：FB＝FD. 证明：由翻折得，∠ADB＝∠A′DB. 又∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠FDB＝∠DBF. ∴FB＝FD. 数学　八年级下册 6. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，点B， C，G在同一直线上，CF平分∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF. 证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE. ∵CF平分∠ACG，∴∠ACF＝∠GCF. ∵EF∥BC， ∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF. ∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF. ∴CD＝ED，CD＝FD. ∴DE＝DF. 数学　八年级下册 $第11课　线段垂直平分线的性质与判定 数学　八年级下册 1. 如图，P是线段AB垂直平分线上的点，PA＝8 cm，则 PB＝___cm. 8 数学　八年级下册 2. (2025·梅州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝22°，则∠C的度数是 ( ) A. 30° B. 32° C. 34° D. 36° C 数学　八年级下册 3. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O. 求证： △ABC≌△ADC. 证明：∵AC⊥BD且平分BD， ∴AB＝AD，BC＝DC. 又∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS). 数学　八年级下册 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分 ∠ABC交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上. 证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°－30°＝60°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠A＝∠ABD. ∴DA＝DB. ∴点D在AB的垂直平分线上. ∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°. 数学　八年级下册 5. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于 点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为____. 22 数学　八年级下册 6. (2025·佛山期中)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足 分别为C，D，AD与BC交于点O，AC＝BD. (1)写出BC与AD的数量关系，并说明理由； (1)解：BC＝AD. 理由如下： ∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC和△BAD是直角三角形. ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC＝AD. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， 数学　八年级下册 (2)若E是AB的中点，连接OE. 求证：线段OE所在直线是边AB的垂直平分线. (2)证明：由(1)，得Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴∠ABC＝∠BAD. ∴OA＝OB. ∴点O在边AB的垂直平分线上. ∵E是AB的中点，∴AE＝BE. ∴点E在边AB的垂直平分线上. ∴线段OE所在直线是边AB的垂直平分线. 数学　八年级下册 7. (2025·河源期中)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠A＝ 30°，D是AC的中点，DE⊥AC交AB于点E. 求证： BE＝2AE. 数学　八年级下册 证明：如图，连接CE. ∵D是AC的中点，DE⊥AC， ∴DE是线段AC的垂直平分线. ∴AE＝CE. ∴∠A＝∠ACE＝30°. ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°. ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝120°. ∴∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝90°. ∴BE＝2AE. 在Rt△BCE中，∠B＝30°，∴CE＝ BE. ∵AE＝CE，∴AE＝ BE. 数学　八年级下册 $第10课　直角三角形全等的判定 数学　八年级下册 1. 如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，OM＝ ON. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴∠PMO＝∠PNO＝90°. 又∵OM＝ON，OP＝OP， ∴Rt△POM≌Rt△PON(HL). ∴∠POM＝∠PON， 即OP平分∠AOB. 数学　八年级下册 2. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠DEC＝∠DFB＝90°. ∵D是BC的中点， ∴BD＝DC. 又∵DF＝DE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL). ∴∠B＝∠C. ∴△ABC是等腰三角形. 数学　八年级下册 3. 如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF. 要根 据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是________，根据你添加的条件证明. AC＝BE 证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠ADC＝∠BFE＝90°. 又∵CD＝EF，AC＝BE， ∴Rt△ACD≌Rt△BEF(HL). 数学　八年级下册 4. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝ 90°，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是 ( ) A. AB＝DC B. AC＝DBC. ∠ABC＝∠DCB D. BC＝BD D 数学　八年级下册 5. (新教材P32T10改编)在如图所示的三角形纸片ABC中， ∠C＝90°，∠B＝30°. 按如下步骤：①折叠三角形纸片ABC，使点B与点A重合，折痕交BC于点D，交AB于点E；②将折叠后的纸片再沿AD折叠. 求证：(1)△ACD≌△BED； 证明：(1)由折叠，得∠AED＝∠BED＝90°， ∠DAE＝∠B＝30°，AD＝BD. ∵∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°－∠B＝60°，∠C＝∠BED. ∴∠CAD＝∠BAC－∠DAE＝30°. ∴∠CAD＝∠B. ∴△ACD≌△BED(AAS). 数学　八年级下册 (2)△ACD≌△AED. 证明：(2)由折叠，得AE＝BE. ∵△ACD≌△BED， ∴AC＝BE. ∴AC＝AE. 又∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL). 数学　八年级下册 6. (新教材P31T5)用三角尺可以画角平分线：如图所示， 在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线. 请你证明这一结论. 证明：由题意，可知△OPN，△OPM是直角三角形. ∴Rt△OPN≌Rt△OPM(HL). ∴∠NOP＝∠MOP. ∴射线OP是∠AOB的平分线. 在Rt△OPN和Rt△OPM中， 数学　八年级下册 $第14课　三角形中角平分线的性质 数学　八年级下册 1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，Q是射线 OM上一个动点. 若PA＝3，则PQ的最小值为 ( ) A. B. 2 C. 3 D. 2 C 数学　八年级下册 2. 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的 ( ) A. 三条中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点 B 数学　八年级下册 3. 如图，已知∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝9 cm. (1)尺规作出∠BAC的平分线交BC于点D； 解：(1)如图所示. 数学　八年级下册 (2)求CD的长. 解：(2)∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°. ∵AD平分∠BAC， ∵BD＋CD＝BC＝9 cm， ∴CD＝3 cm. ∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC＝30°. ∴∠BAD＝∠B，CD＝ AD. ∴AD＝BD. ∴CD＝ BD. 数学　八年级下册 4. (新教材P45T5改编)如图，三条公路两两相交，现计划 修建一个油库. (1)如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ (2)如果要求油库到这三条公路的距离都 相等，那么如何选择油库的位置？ 解：(2)如图，油库的位置应该在两条角平分线AD与BE的 交点O上. 解：(1)如图，油库的位置在射线AD上. 数学　八年级下册 5. (2025·茂名期中)某市计划在张村、李村之间建一个活动 中心P，张、李两村坐落在两相交的笔直公路内(如图所示). 活动中心P必须满足下列条件：①点P到两条公路的距离相等，②点P到张、李两村的距离也相等. 请你运用尺规作图法确定点P的位置. (保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，点P即为所求. 数学　八年级下册 6. (1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为　______________. (2)若将(1)中的条件“在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“在△ABC中，∠C＝2∠B”，如图2所示，则(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想. AC＋CD＝AB 数学　八年级下册 如图2，将△CAD沿AD折叠，点C落在AB上的点C′处， (2)解：(1)中的结论仍然成立. 证明如下： ∵AD是∠CAB的平分线， ∴△ACD≌△AC′D. ∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠AC′D＝2∠B. ∵∠AC′D＝∠C′DB＋∠B， ∴∠C′DB＝∠B. ∴C′D＝C′B. ∴AB＝AC′＋C′B＝AC＋CD. 数学　八年级下册 $第9课　直角三角形的性质与判定 数学　八年级下册 1. (2025·清远期末)下列数据是勾股数的是 ( ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，6，7 D. 7，24，25 D 数学　八年级下册 2. (2025·揭阳期中)下列命题的逆命题不正确的是 ( ) A. 两直线平行，同位角相等B. 若a2＝b2，则a＝bC. 对顶角相等D. 等腰三角形的两个底角相等 C 数学　八年级下册 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是 ∠BAC的平分线. 已知AB＝5，AD＝3，则BC＝____. 4. (新教材P50T8改编)在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C 的度数之比是1 : 2 : 3，AB＝ ，则AC＝____. 8 数学　八年级下册 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD交AB于点D. (1)若∠1＝∠A，求证：CD⊥AB； 证明：(1)∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠1＝∠A， ∴∠1＋∠B＝90°. ∴∠ADC＝∠1＋∠B＝90°. ∴CD⊥AB. (2)若CD⊥AB，求证：∠1＝∠A. 证明：(2)∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠1＋∠B＝∠ADC＝90°. ∴∠1＝∠A. 数学　八年级下册 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝ ， D是AC的中点，连接BD. 求： (1)BD的长； ∵D是AC的中点，∴CD＝4. (2)△ABD的面积. 解：(1)在Rt△ABC中，∵AB＝ ，BC＝3， ∴AC＝ ＝8. 在Rt△BCD中，BD＝ ＝5. 解：(2)S△ABD＝ AD×BC＝ ×4×3＝6. 数学　八年级下册 7. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′ 拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 3 D. A 数学　八年级下册 8. (2025·河源期末)若5，a，12是一组勾股数，则a的值为 ( ) A. 13 B. C. 或13 D. 11 A 数学　八年级下册 9. (新教材P31T2)一个直角三角形屋架如图所示，其中 BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分别为B1，C1，那么BC的长是多少？B1C1呢？ 数学　八年级下册 解：在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AB＝10 m， ∵CB1⊥AB， ∴∠B＋∠BCB1＝90°. 又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCB1＝∠A＝30°. ∴AB1＝AB－BB1＝10－2. 5＝7. 5(m). 在Rt△AB1C1中，∠A＝30°， ∴BC＝ AB＝5(m). 在Rt△CBB1中，BB1＝ BC＝2. 5(m)， ∴B1C1＝ AB1＝ ×7. 5＝3. 75(m). 数学　八年级下册 10. 如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上一点. 求证：(1)△BCD≌△ACE； 证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴DC＝EC，BC＝AC. 又∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. ∴△BCD≌△ACE(SAS). 数学　八年级下册 (2)2CD2＝AD2＋DB2. 证明：(2)∵∠ABC＝∠BAC＝45°， ∠DEC＝∠EDC＝45°，△ACE≌△BCD， ∴∠EAC＝∠DBC＝45°，AE＝BD. ∴∠EAD＝∠EAC＋∠BAC＝90°. ∴AE2＋AD2＝DE2. ∵DE2＝CD2＋CE2，CD＝CE， ∴DE2＝2CD2. ∴2CD2＝AD2＋DB2. 数学　八年级下册 $