第一章 三角形的证明及其应用 习题课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 第7课 等腰三角形(3) 1． 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定是等边三角形的是 (　C　) A．有一个内角是60° B． 有一个外角是120° C． 有两个角相等 D． 腰与底边相等 C 2． (江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式 放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线 段AB的长为 ⁠cm. 2 3． 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°， AB⊥AD，AD＝4，则BC＝ ⁠． 12 4． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点， AE⊥BE，垂足为E，且AB平分∠DAE，EB∥AC. 求证：△ABC是 等边三角形． 证明：∵AB＝AC，D为边BC的中点， ∴AD平分∠BAC. ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB平分∠DAE， ∴∠BAE＝∠BAD＝∠CAD. ∵AE⊥BE，∴∠E＝90°. ∵EB∥AC，∴∠EAC＝180°－∠E＝90°. ∴∠BAE＋∠BAD＋∠CAD＝90°. ∴∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°. ∴△ABC是等边三角形． 5． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD＝ CD. 求证：△ABD是等边三角形． 证明：∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠C. ∵∠C＝30°，∴∠CAD＝30°. ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝60°. ∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°. 在△ABD中，∠B＋∠ADB＋∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝60°. ∴∠B＝∠ADB＝∠BAD. ∴△ABD是等边三角形． 6． 如图，过边长为6的等边三角形ABC的边AB上一点P作 PE⊥AC于点E，点Q为BC的延长线上一点，当PA＝QC时，连接 PQ交AC于点D. (1)证明：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，则∠Q＝∠FPD. 又△ABC是等边三角形， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°. ∴△APF是等边三角形．∴AP＝PF. ∵AP＝CQ，∴PF＝CQ. 又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD(AAS)． ∴PD＝QD. (1)求证：PD＝QD； (2)求线段DE的长． (2)解：由(1)，得△PFD≌△QCD，∴FD＝CD. ∵PE⊥AC，△APF是等边三角形， ∴AE＝EF. ∴AE＋CD＝EF＋FD. ∴DE＝ AC. ∵AC＝6，∴DE＝3. $第一章 三角形的证明及其应用 第5课 等腰三角形(1) 1． 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝ 90°，AD是底边BC上的高． (1)∠B＝ ，∠BAD＝ ⁠； (2)若BD＝4，则BC＝ ⁠． 45° 45° 8 2． (兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°， DA⊥AC，则∠ADB＝(　B　) A． 100° B． 115° C． 130° D． 145° B 3． (易错题)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度 数分别是 ⁠． 70°，40°或55°，55° 4． 如图，BD是等边三角形ABC的中线，延长BC到点E，使CE ＝CD. 若AB＝10，则BE＝ ⁠． 15 5． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC的中 点，点E在AC上，且AD＝AE. 求∠ADE的度数． 解：∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠BAD＋∠B＝90°. ∴∠BAD＝90°－40°＝50°.∴∠CAD＝50°. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠CAD＋∠ADE＋∠AED＝180°， ∴∠ADE＝ ×(180°－50°)＝65°. 6． 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，沿过点A的折痕将∠C 翻折，使得点C落在AB上的点C′处，折痕交BC于点D. 若△BC′D是 等腰三角形，则∠C＝ ⁠． 48° 7． 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，交AC于点 E，AD⊥BC于点D，交BE于点H，且AD＝BD. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (1)证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC. ∴∠BEC＝90°. ∴∠C＋∠CBE＝90°. 又AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴∠C＋∠CAD＝90°.∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠ABE＝∠CAD. (2)判断线段AB与BD，DH之间的数量关系，并说明理由． (2)解：AB＝BD＋DH. 理由如下： 在△ADC和△BDH中， ∴△ADC≌△BDH(ASA)．∴DC＝DH. ∴BC＝BD＋DC＝BD＋DH. ∵AB＝BC，∴AB＝BD＋DH. 8． “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，三等 分角仪的示意图如图所示，其中OC＝CD＝DE. 若∠BDE＝75°，则 ∠AOB的度数是 ⁠． 25° $第一章 三角形的证明及其应用 第6课 等腰三角形(2) 1． 下列三角形中，是等腰三角形的有(　B　) A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 B 2． 已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. 若用反证法 来证明这个结论，可以假设 ⁠． ∠B＝∠C 3． (北师八下P22习题T12改编)如图，上午8时，一艘船从A处出 发以15 kn的速度向正北方向航行，上午10时到达B处，分别从A，B 望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，则B处到灯塔C的距 离为 ⁠海里． 30 4． (北师八下P49复习题T4改编)如图，在△ABC中，点D，E分 别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相 交于点F. 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，∠DFB＝∠EFC， ∴△DFB≌△EFC(AAS)． ∴FB＝FC. ∴∠FBC＝∠FCB. ∴∠FBC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ACD， 即∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． 5． 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F， 过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，AB＝10，AC＝8， 则△ADE的周长为 ⁠． 18 6． 如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE. 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G. ∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB. 在△GDF和△CEF中， ∴△GDF≌△CEF(ASA)．∴GD＝CE. ∵BD＝CE，∴BD＝GD. ∴∠B＝∠DGB. ∴∠B＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． 7． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段 BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段AC于点E. (1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °.点D从点B向点C运 动的过程中，∠BDA逐渐变 ；(填“大”或“小”) 25 小 (2)当DC＝ 时，△ABD≌△DCE； 提示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B＝ 40°，∴∠BAD＝∠CDE. 当AB＝DC时，△ABD≌△DCE(ASA)． ∴DC＝AB＝2. 2 (3)当∠BDA为多少度时，△ADE是等腰三角形？ 解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°. 当△ADE为等腰三角形时， ①若AD＝DE，则∠DAE＝∠DEA＝ (180°－∠ADE)＝ 70°.∴∠BDA＝∠DAE＋∠C＝110°. ②若AE＝DE，则∠DAE＝∠ADE＝40°. ∴∠BDA＝∠DAE＋∠C＝80°. ③若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝40°. 此时∠AED＝∠C，点D与点B重合，不符合题意． 综上所述，当∠BDA为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． $第一章 三角形的证明及其应用 第2课 三角形内角和定理(2) 1． 如图，∠A＝30°，∠1＝45°，则∠2＝(　A　) A． 15° B． 30° C． 45° D． 60° A 2． 如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连 接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是(　D　) A． ∠A＞∠2＞∠1 B． ∠A＞∠1＞∠2 C． ∠2＞∠1＞∠A D． ∠1＞∠2＞∠A D 3． 如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE. 若 ∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为 ⁠°. 70 4． 如图，在△ABC中，点D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝ ∠4，∠BAC＝120°，则∠DAC的度数为 ⁠°. 100 5． 如图，在△ABC中，BE，CD相交于点E，若∠A＝2∠ACD ＝76°，∠2＝143°，求∠1和∠DBE的度数． 解：∵2∠ACD＝76°，∴∠ACD＝38°. ∵∠1是△ACD的一个外角， ∴∠1＝∠A＋∠ACD＝76°＋38°＝114°. ∵∠2是△BDE的一个外角， ∴∠2＝∠1＋∠DBE. ∴∠DBE＝∠2－∠1＝143°－114°＝29°. 6． 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是该床头灯调整前后 不同位置的示意图，已知调整前、后的灯杆AB∥CD，调整前臂杆之 间的夹角∠OAB＝75°，调整后臂杆之间的夹角∠OCD＝100°，则 调整前后同一臂杆变化的角度∠AOC＝ ⁠°. 25 7． 已知在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC. (1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝32°，则∠DAE的度数 为 ⁠； 16° 提示：∵∠ABC＝2∠C，∠C＝32°，∴∠ABC＝64°. ∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝180°－(64°＋32°)＝84°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×84°＝42°. ∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°. ∵∠ABC＝64°，∴∠BAE＝90°－64°＝26°. ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝42°－26°＝16°. (2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于点F，求 证：∠C＝2∠P. 证明：∵PF⊥AD， ∴∠PFD＝90°.∴∠P＝90°－∠PDF. ∵∠PDF＝∠C＋∠CAD＝∠C＋ (180°－∠ABC－∠C)， ∴∠P＝90°－＝ (∠ABC- ∠C).∴∠ABC－∠C＝2∠P. ∵∠ABC＝2∠C，∴2∠C－∠C＝2∠P. ∴∠C＝2∠P. 8． 规律探究 如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角 ∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1； ∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到 ∠A2 026，则∠A2 026的度数为 ⁠. $第一章 三角形的证明及其应用 第9课 直角三角形(2) 1． 如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，AB＝CD， 则可得到△AOB≌△COD，理由是(　A　) A． HL B． SAS C． ASA D． SSS A 2． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点 D. 若∠B＝28°，则∠AEC＝(　B　) A． 28° B． 59° C． 60° D． 62° B 3． 如图，∠DCE＝90°，AB＝DE，BC＝DC，若∠B＝ 70°，则∠E＝(　B　) A． 70° B． 20° C． 80° D． 10° B 4． 如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝ 90°，边BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF ＝CE，AC＝DF. 求证：GF＝GC. 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC. ∴BC＝EF. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． ∴∠ACB＝∠DFE. ∴GF＝GC. 5． 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是 AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE 交于点F. 试探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由． 解：BF⊥AE. 理由如下： ∵∠ACB＝90°，点E在BC的延长线上， ∴∠ACE＝90°. 在Rt△BCD和Rt△ACE中， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE(HL)．∴∠CBD＝∠CAE. ∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BDC＝90°. ∴∠CAE＋∠BDC＝90°. 又∠ADF＝∠BDC，∴∠CAE＋∠ADF＝90°. ∴∠AFD＝90°，即BF⊥AE. 6． 如图，已知P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负 半轴上运动，且PA＝PB. (1)求证：PA⊥PB； (1)证明：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， BP交OA于点Q. ∴∠PMA＝∠PNB＝90°，PM＝PN＝2. 在Rt△PMA和Rt△PNB中， ∴Rt△PMA≌Rt△PNB(HL)．∴∠PAM＝∠PBN. ∴∠PQA＋∠PAQ＝∠BQO＋∠PBN. ∴∠BPA＝∠BOA＝90°.∴PA⊥PB. (2)若点A(8，0)，则点B的坐标为 ⁠； (3)求OA－OB的值． (3)解：由(1)，得△PMA≌△PNB. ∴MA＝NB. ∴OA－OB＝(OM＋MA)－(NB－ON)＝OM＋ON＝4. (0，－4) $第一章 三角形的证明及其应用 第1课 三角形内角和定理(1) 1． 如图，该图形中x的值是(　A　) A． 60 B． 65 C． 70 D． 75 A 2． 如图，∠A＝58°，∠B＝32°，则∠C＋∠D的度数为(　B　) A． 116° B． 90° C． 64° D． 52° B 3． 将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于(　A　) A． 105° B． 95° C． 75° D． 55° A 4． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折 叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝(　D　) A． 10° B． 30° C． 65° D． 85° D 5． 在△ABC中，∠A＋35°＝∠B，∠C＝∠B－25°，求 △ABC的各个内角的度数． 解：∵∠A＋35°＝∠B，∴∠A＝∠B－35°. 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)． ∵∠C＝∠B－25°， ∴∠B－35°＋∠B＋∠B－25°＝180°. ∴∠B＝80°. ∴∠A＝80°－35°＝45°，∠C＝80°－25°＝55°. 6． 如图，B岛在A岛的南偏西35°方向，C岛在A岛的南偏东 20°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，则从C岛看A，B两岛的视 角∠ACB＝ ⁠． 80° 7． 方程思想 如图，在△ABC中，BD交AC于点D，DE交AB 于点E，∠EBD＝∠EDB，∠ABC∶∠A∶∠C＝2∶3∶7，∠BDC ＝60°，则∠BED的度数为 ⁠. 150° 8． 推理能力如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的角平分 线，且BO，CO相交于点O. (1)若∠A＝60°，则∠BOC的度数为 ⁠； (2)若∠A＝80°，则∠BOC的度数为 ⁠； 120° 130° (3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 解：∵∠A＝n°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－n°. ∵BO，CO是△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB. ∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ (180°- n°)＝90°－ n°. 在△BOC中，∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ ＝90°＋ n°. $第一章 三角形的证明及其应用 第3课 三角形内角和定理(3) 1． 下列多边形中，内角和最小的是(　A　) A 2． (2025江西)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多 边形的内角和为 ⁠度． 720 3． 一个多边形的内角和等于1 620°，求它的边数为 ⁠． 11 4． 一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的 边数是(　D　) A． 7 B． 8 C． 12 D． 13 D 5． (2025北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为 (　C　) A． 60 B． 90 C． 120 D． 150 C 6． 如图，边长相等的正三角形和正五边形一条边重合，则∠ABC 的度数为(　B　) A． 36° B． 48° C． 60° D． 75° B 7． 如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB，求∠CDF的 度数． 解：∵五边形ABCDE的内角都相等， ∴∠C＝∠B＝180°×(5－2)÷5＝108°. ∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°. ∴∠CDF＝360°－∠DFB－∠B－∠C＝360°－90°－108°－ 108°＝54°. 8． (北师八下P11习题T13改编)如图所示是三个完全相同的正多边 形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种正多边形是(　B　) A． 正五边形 B． 正六边形 C． 正七边形 D． 正八边形 B 9． 如图，在四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于点 O. 求证：∠BOC＝ (∠A＋∠D)． 证明：∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D. ∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点O， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠BCD. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ (∠ABC＋ ∠BCD)＝180°－ (360°- ∠A-∠D)＝ (∠A＋∠D)． 10． 小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个 内角，结果得到的结果是1 314°，求少算的这个内角的度数． 解：∵n边形的内角和等于(n－2)·180°， ∴多边形的内角和是180°的整数倍． ∵多边形的每个内角都小于180°，1 314°＝180°×7＋54°， ∴少算的内角的度数为180°－54°＝126°. $第一章 三角形的证明及其应用 第13课 角平分线(2) 请同学们翻到《课后分层作业》P13 1． 到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的(　D　) A． 三条高的交点 B． 三条边的垂直平分线的交点 C． 三条中线的交点 D． 三条角平分线的交点 D 2． 如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠AOC＝132°，则 ∠ABC＝ ⁠． 84° 3． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平 分线相交于点O，OM⊥AB于点M. 若OM＝4，S△ABC＝180，则 △ABC的周长是 ⁠． 90 4． 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过 点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO. (1)判断OF与CF的大小关系，并说明理由； 解：(1)OF＝CF. 理由如下： ∵BE＝EO，∴∠EBO＝∠EOB. 在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB. ∴∠EOB＝∠OBC. ∴EF∥BC. ∴∠FOC＝∠OCB. ∴∠FOC＝∠FCO. ∴OF＝CF. (2)若BC＝12 cm，点O到AB的距离为4 cm，求△OBC的面积． (2)如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N. ∵BO平分∠ABC，点O到AB的距离为4 cm， ∴OM＝ON＝4 cm. ∴S△OBC＝ BC·OM＝ ×12×4＝24(cm2)． 5． (北师八下P45习题T5改编)如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉 的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供 选择的地址有(　D　) A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处 D 6． 如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点 D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB， PC，若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数 为 ⁠． 32° 7． 数学建模 如图，某公园角落里有一块三角形的草地，工作人员 想在草地上安装一个自动喷水头进行浇灌．现有两种方案： (1)作∠BAC，∠ABC的平分线，交点为P，建在点P处； (2)作AB，AC的垂直平分线，交点为Q，建在点Q处． 请你在图1、图2中分别确定出点P，Q，并结合实际情况，说明哪 种方案更合理． 解：如图1，图2所示． 方案(2)更合理．要使三角形的草地都能浇到水，水就必须能洒到 三角形的各个顶点处．∵方案(1)中，洒水覆盖所有顶点时，浪费较 大，∴自动喷水头安装在三角形的三边垂直平分线的交点处更合理． $第一章 三角形的证明及其应用 第10课 线段的垂直平分线(1) 1． 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的 一点．已知PA＝4，则线段PB的长为(　B　) A． 3 B． 4 C． 6 D． 7 B 2． 如图，若AC＝AD，BC＝BD，则(　B　) A． CD垂直平分AB B． AB垂直平分CD C． CD平分∠ACB D． 以上均不对 B 3． 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，下列线 段的垂直平分线经过点D的是(　B　) A． AB B． AC C． BC D． AD B 4． 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交 BC于点D，E. 若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为(　C　) A． 105° B． 100° C． 110° D． 140° C 5． (人教八上P70习题T4)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直 平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长． 解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，CE＝AE＝3 cm.∴AC＝6 cm. ∵△ABD的周长是13 cm， ∴AB＋BD＋AD＝13 cm. ∵AB＋BC＝AB＋BD＋DC＝13 cm， ∴AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm)． ∴△ABC的周长是19 cm. 6． 如图，AB＝AC，DB＝DC，点E是AD延长线上的一点， BE是否与CE相等？试说明理由． 解：BE＝CE. 理由如下： 如图，连接BC. ∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D也在线段BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分线段BC. ∵点E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE. 7． 如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：BE＝CF； 证明：(1)如图，连接CD. ∵点D在BC的垂直平分线上， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF. (2)求证：AC＋AB＝2AF. (2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(AAS)．∴AE＝AF. ∵BE＝CF，∴AC＋AB＝AC＋BE＋AE＝AC＋CF＋AE＝AF＋AE＝2AF. $第一章 三角形的证明及其应用 第11课 线段的垂直平分线(2) 1． 如图，已知在△ABC中，点O是BC，AC的垂直平分线的交 点，OB＝5 cm，AB＝8 cm，则△AOB的周长是(　B　) A． 21 cm B． 18 cm C． 15 cm D． 13 cm B 2． 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，AB，AC的垂直平分线 DO，EO相交于点O，连接BO，CO，则∠BOC的度数是(　D　) A． 65° B． 100° C． 115° D． 130° D 3． 在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一 点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是(　B　) B 4． (广西)如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC>BC. (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点 D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 解：(1)如图，直线l即为所求． (2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长． (2)如图，连接BE. ∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BE＝AE. ∴∠EBA＝∠A＝45°. ∴∠BEA＝90°. ∴△ABE为等腰直角三角形． 设BE＝AE＝x，则x2＋x2＝82. ∴x＝4 (负值已舍去)． ∴BE的长为4 . 5． 新考法 如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线， 若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时， 点O在(　A　) A． 直线MN上 B． 直线MN的左侧 C． 直线MN的右侧 D． 直线MN的左侧或右侧 A 6． 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆 心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ交 AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接 AM，BM. 若AB＝2 ，则AM的长为(　B　) A． 4 B． 2 C． D． B 7． 如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC边上的高． (1)用直尺和圆规作出AB边上的高CD，交AB于点D，交BE于点 O；(要求保留作图痕迹) 解：(1)如图，线段CD即为所求． (2)判断△OBC是什么三角形，并说明理由． (2)△OBC是等腰三角形．理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CDB＝∠BEC＝90°. ∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB. ∵BC＝CB，∴△CBD≌△BCE(AAS)． ∴∠BCD＝∠CBE. ∴OB＝OC. ∴△OBC是等腰三角形． $第一章 三角形的证明及其应用 第8课 直角三角形(1) 请同学们翻到《课后分层作业》P8 1． 下列定理中，逆命题是假命题的是(　B　) A． 在一个三角形中，等角对等边 B． 全等三角形的对应角相等 C． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D． 等腰三角形两个底角相等 B 2． 若Rt△ABC的两边长分别为5，12，则第三边的长是(　B　) A． 6 B． 或13 C． 13 D． 15 B 3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已 知AB＝5，AD＝3，则BC＝ ⁠． 8 4． 如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝8，CD＝4，BD＝12， 则∠ACD＝ ⁠． 45° 5． 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别记为a，b，c， 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　D　) A． ∠A＋∠B＝∠C B． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C． a2＝c2－b2 D． a∶b∶c＝3∶4∶6 D 6． (北师八下P31习题T1变式)如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，点E为BC上的一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°， AD＝12，DE＝8，求AE的长． 解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠CDA＝180°. ∴∠EAD＋∠EDA＝180°－25°－65°＝90°. ∴∠AED＝90°，即△AED是直角三角形． ∴AE＝ ＝ ＝4 . 7． 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，连接小正方 形的三个顶点得到△ABC，则BC边上的高为 ⁠． 8． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，且满 足∠B＝∠DAB，AE平分∠BAD. 若∠CAE＝42°，求∠AEC和∠B 的度数． 解：在△AEC中，∵∠C＝90°，∠CAE＝42°， ∴∠AEC＝90°－∠CAE＝48°. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE. 设∠DAE＝x°，则∠BAE＝x°，∠DAB＝∠B＝2x°， ∠CAB＝∠CAE＋∠BAE＝42°＋x°. ∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°， 即42°＋x°＋2x°＝90°.解得x＝16. ∴∠B＝32°. 9． 【实践操作】将一张直角三角形纸片沿直线剪掉一张三角形纸 片，剩下一张如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°， ∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝9 cm，那么剪掉的三角形纸片的面积 是 cm2. 24 或 $第一章 三角形的证明及其应用 第12课 角平分线(1) 1． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝ DE，若∠CBD＝26°，则∠A的度数为(　D　) A． 40° B． 34° C． 36° D． 38° D 2． 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP 相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E. 若PE＝2，则两平行线AD与 BC间的距离为 ⁠． 4 3． 在9×7的网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边 距离相等的点是(　A　) A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q A 4． (人教八上P53习题T5)如图，在△ABC中，AD是它的角平分 线，P是AD上一点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点 F. 求证：点D到PE和PF的距离相等． 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD＝∠BAD，∠FPD＝∠CAD. ∴∠EPD＝∠FPD，即PD平分∠EPF. ∴点D到PE和PF的距离相等． 5． 如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点 D，EC⊥OB，垂足为点C. 若EC＝2，则OD的长为(　C　) A． 2 B． 2 C． 4 D． 4＋2 C 6． 已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点 O，且OB＝OC. (1)证明：∵CE，BD是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. ∵∠EOB＝∠DOC， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠ABD＋∠OBC＝∠ACE＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． (2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下： ∵∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，OB＝OC， ∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD. 又OD⊥AC，OE⊥AB， ∴点O在∠BAC的平分线上． 7． 如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点M，N，连接 MN，∠AMN，∠BNM的平分线MP，NP相交于点P. 若MN＝4， S△PMN＝8，S△OMN＝5，则OM＋ON的长是 ⁠． 6.5 $第一章 三角形的证明及其应用 第4课 三角形内角和定理(4) 1． 八边形的外角和等于 ⁠． 2． 一个正多边形的每个外角度数都等于72°，则这个多边形的边 数为(　B　) A． 4 B． 5 C． 6 D． 8 360° B 3． 若正多边形的一个内角与它的外角相等，则这个多边形的边数 为 ⁠． 4 4． (2025凉山州)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从 这个多边形的一个顶点处可以引多少条对角线(　B　) A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 B 5． 小丽利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：如 图，假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线走6米后， 再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了72 米，则θ的度数为(　B　) A． 28° B． 30° C． 33° D． 36° B 6． 如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边 的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值 是 ⁠． 6 7． 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形 的边数． 解：设这个多边形的边数为n. 依题意，有(n－2)·180°＝360°×2＋180°. 解得n＝7. 答：这个多边形的边数为7. 8． 小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了 一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形 是(　B　) B 9． 如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O， 若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，求∠BOD的度数． 解：∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角和为210°， 又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋210°＝4×180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝510°. ∵五边形OAGFE的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°. ∴∠BOD＝540°－510°＝30°. 10． 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H ＝ ⁠． 360° $