精品解析：山西省运城市平陆中学2025-2026学年高二下学期期中教学质量评价数学试题

平陆中学2025—2026春学段期中教学质量评价 高二年级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 80 C. D. 4. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 5. 已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（ ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A. B. C. D. 6. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 7. 已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 0 8. 已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ） X 1 2 3 P a b 2b—a A. B. 3 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 观察下列散点图，则（ ） A. B. C. D. 10. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 11. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为________. 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 14. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？ （3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 16. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求： （1）展开式中二项式系数最大项的项； （2）展开式中系数最大的项； （3）展开式中所有有理项. 17. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 18. 2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从高二年级竞赛分数在区间的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； 19. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平陆中学2025—2026春学段期中教学质量评价 高二年级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】根据题意可得． 故选：B. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项. 【详解】， 所以展开式中的系数为. 故选：A 4. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断. 【详解】由，得， 由，解得．当时，满足， 故． 故选：D. 5. 已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（ ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 故选：D 6. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】所有路线共有，去掉经过再到达的，即可求解. 【详解】移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次， 故总的方法有种， 若经过再到达，需要先从原点到，再从到， 此时共有种， 故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种， 故选：A 7. 已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 8. 已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ） X 1 2 3 P a b 2b—a A. B. 3 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可. 【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得， 又， 则， 又，故可得， 则当时，的最大值为， 又，故的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 观察下列散点图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】散点图①，②中y与x呈负相关，，散点图②中y与x的线性相关性更强， 即，因此； 散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强， 即，因此， 所以． 故选：BD 10. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点分布结合期望和方差公式求出、的值，并结合期望和方差的性质判断即可. 【详解】由题意可得，则， 故， ，． 故选：ACD. 11. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件列出列联表，求出，可判断AB的真假；利用条件概率的计算公式进行计算，可判断CD的真假. 【详解】由题可得如下表格：（单位：人） 每周锻炼时间 短跑成绩 合计 合格 不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关．故A错误，B正确； 设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”， “学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”， 则， 所以， 所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后， 学生甲短跑成绩合格的概率为．故C正确； 在学生甲短跑成绩合格的情况下， 学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为．故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为________. 【答案】 【解析】 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可得出关于的等式，结合可求出的值，再利用二项分布的方差公式以及方差的性质可求得的值. 【详解】因为随机变量，且，即， 由题意可知，化简可得，解得，则. 因为，所以，则. 故答案为：；. 14. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？ （3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）分为和两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是和个位不是两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了人作英语导游、选了人作英语导游和选了人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类 分配方式为时，共有：种分法 分配方式为时，共有：种分法 由分类加法计数原理可得，共有：种分法 （2）若个位是，共有：个 若个位不是，共有：个 由分类加法计数原理可得，共有：个 （3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 由分类加法计数原理可得，共有：种选法 【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果. 16. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求： （1）展开式中二项式系数最大项的项； （2）展开式中系数最大的项； （3）展开式中所有有理项. 【答案】（1） （2）和 （3）和 【解析】 【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项； (2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项； (3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项. 【小问1详解】 因为展开式的通项公式为，， 所以 依题意得，即，由已知, 所以， 所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以或， 所以展开式中系数最大的项为和. 【小问3详解】 由为有理项知，为整数，得，， 所以展开式中所有有理项为和. 17. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 2 4 6 8 10 期望为． 【解析】 【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 18. 2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从高二年级竞赛分数在区间的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； 【答案】（1） 0 1 2 期望值为1 （2） 【解析】 【小问1详解】 由直方图可知，分数在区间的学生有32人，分数在区间的学生有16人， 所以根据分层抽样，在区间中抽4人，在区间中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. 【小问2详解】 记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. 19. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型求得概率； （2）由古典概型分别得到的概率，从而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”， 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 则由（1）得，， ， 则的分布列为： 0 100 200 P 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $