山东聊城市2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试题

2025一2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知平行四边形ABCD中AB=(2,3),AD=(-1,4),则AC为 A.(1,7) B.(3,-1) C.(1,5) D.(3,7) 2.已知复数之=(2一i)i,则之的虚部为 A.i B.2i C.1 D.2 3.已知a|=2,e为单位向量，|a一e|=√5，则向量a在向量e上的投影向量为 A.a B.-e C.e D.√3e 4.已知长方体的长、宽、高分别为3cm,2cm,1cm,将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个 棱锥，则剩下的几何体体积为 A.1cm3 B.5cm3 C.6cm3 D.不确定 5.已知平面直角坐标系中，点A(1,2),B(x,1),AB|<√5，若∠AOB为锐角，则实数x的取 值范围是 A.（-2,3) B.(-2,号U(23) C.(-1,3) Dn.(-1,2Ug3) 6.已知梯形OABC用斜二测画法画出的直观图为如图所示的梯 形OA'B'C,其中OA'=4,B'C'=1,O'C'=a,若梯形OABC B 的面积为10，则a的值为 A.1 B.2 A C.3 D.4 高一数学试题第1页（共4页) 风汉王扫描王警 扫描识别王中王 7.已知△ABC中，AB=4,AC=4√3，∠BAC=30°，P为△ABC的重心，则∠APB的余弦值 为 A B-号 c 8.在△ABC中，点D在边AC上，且AB⊥BD,A=牙，AB=2E,△BCD的面积为2，则BC 的长为 A.√5 B.2√2 C.25 D.4√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于平面向量的说法错误的是 A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若4//b,b/c,则a/c C.若a与b反向，则a·b=-a|·|b| D.若a/b,则存在唯一的实数λ，使得a=λb 10.设复数之在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位，则 A.x2=z|2 B.若|z一i=1,则|z+1最大值为√2+1 C.若1≤|z一2i≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π D.若复数z是关于x的方程2x2+4x+k=0的一个虚根，则|z一z|=√2k-一4 11.已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能 存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上、 下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径AB=6,下底面直径CD=2,且 AB/CD,则下列说法正确的是 A.存储舱的高为√3 B.存储舱的表面积为26π C存储舱的体积为26。 D,舱中另一个球半径最大时，它的表面积为子 高一数学试题第2页（共4页) 风汉王扫描王 扫描识别王中王 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量a=(1,2),b=(一5,0)，(a+b)⊥(a一b),则实数k的值为 13.正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为 14.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=√15，D为 AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D作AC垂线交 BC于点E,AG∩BD=F,则FE.AC= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知正八边形ABCDEFGH中HD=4. (1)建立适当的坐标系，求AC,A京的坐标； G (2)请用AC,AF表示AE. B 16.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°，BC=2AD=2,∠DCB=60°，过点 C作a/AB,以a为轴旋转一周得到一个旋转体. Q (1)求此旋转体的体积； (2)求此旋转体的表面积. B C 高一数学试题第3页（共4页） 凤汉王扫描王 扫描识别王中主 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB十bcosA=2 c cosC. (1)求角C的大小； (2)若c=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长. 18.(17分) 已知复数之满足之·之=4，且之十之十√2z=0. (1)若复数之在复平面内对应的点在第二象限，求之； (2)在第(1)问条件下，若复数，=1+a(a∈R),且复数1在复平面内对应点在第三象限， 求实数a的取值范围； (2)在(1)问条件下，求z10+(2√2+z)°的值. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a6,c6=,且，-aA+anB, (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求2a一c的取值范围， (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值. 高一数学试题第4页（共4页） 同汉王扫维手测 2025一2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.A2.D3.C4.B5.D6.B7.A8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ABD 10.BCD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.2√614.4 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.解：(1)如图，连接BF,以HD,BF所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系， 正多边形的中心O即为坐标原点， OE=OF=OD=2,∠EOD= 360)=45°，…4分 8 G 所以E(2,√2)，根据对称性可得A(一√2，一2)， C(2,-√2)，又F(0,2), 所以AF=(W2,2+√2)，AC=(2√2,0). …6分 (2)由(1)得AE=(2√2,2√2)，…8分 B 设AE=λAC+uAF可得(2√2,2√2)=入(2√2,0)十u(2,2十√2)，…10分 2巨=2Ea十2μ解得 λ=2-√2， 即 12分 2√2=4(2十√2). μ=2√2-2. 所以AE=(2-√2)AC+(22-2)AF.… 13分 16.(1)旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的，与圆柱等高的圆锥， CD=BC-AD=2,AB=CDsin60=3. cos60° 设圆柱的底面半径为R,高为h,圆锥的底面半径为r,则 圆锥的半径r=BC一AD=1. 圆柱的体积V1=πR2h=πX22X√3=4√3π，… 4分 圆维的体积：=号%=日X1PX,6 3r, 6分 旋转体的体积V=V,-V,=45x-5x=13 3π 3π. 7分 高一数学试题参考答案第1页（共3页) 风汉王扫描王 扫描识别王中王 (2)圆柱的侧面积S1=2πRh=2πX2X√5=4√3π，…9分 圆锥的侧面积S2=元rl=πX1X2=2元.…11分 圆柱的底面积S3=πR2=πX22=4π，…12分 圆锥的底面积S4=πr2=πX12=π，… 13分 旋转体的表面积=S1十S2十2S3一S4=(4√3+9)π.… 15分 17.解：(1)根据正弦定理及acosB+bcosA=2 ccosC,得 sinA cosB++sinB cosA =2sinCcosC,.......................... ……2分 所以sin(A+B)=2 sinCcosC, 即sin(π-C)=2 sinCcosC,所以sinC=2 sinCcosC,………4分 在△ABC中，因为sinC≠0，所以cosC=】 6分 听以C三8 (2)因为S△ABc=2 absinC-=2W3, 10分 所以ab=8.… 11分 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2一8=12，所以a2+b2=20.…13分 因为(a+b)2=a2+b2+2ab=36,a十b>0, 所以a+b=6. 故△ABC的周长a十b十c=6十2√3.……15分 18.(1)设之=x+yi(x,y∈R), 之·=(x十yi)(x-yi)=x2十y2=4,即|之|=√x2十y2=2.…2分 由之+之十√2|之=0，得2x十2√2=0，则x=一√2. x2十y2=4,y=±2. 又复数之在复平面内对应的点在第二象限， .之=一√2十√2i.… 6分 (2)由(1)问知之=一√2+√2i, 1+ai _(1+ai)(-2-2i)_-2+2a-(w2a+2)i 之1= …8分 一√2+√2i 4 4 “复数之1在复平面内对应点在第三象限， -√2十√2a<0, 解得-1<a<1. …11分 W2a+√2>0. (3)由(1)问知之=-√2+√2i, 高一数学试题参考答案第2页（共3页） 风汉王扫描王 扫描识别王中王 ,之10+(2√2+z)10=(-√2十√2i)10十(2+√2i)10=(-√2)10(1-i)1o0+(W2)10(1十i)10 =250(-2i)50十250(2i)50=-2101.…17分 19.由3c 四bcosA=tanA十tanB及正弦定理得，………1分 √3sinC sinA sinB sinAcosB+cosAsinB sin(A+B)sinC sinBcosA cosA cosB cosAcosB cosAcosB cosAcosB 因为0<C<π，所以sinC≠0，又cosA≠0，所以sinB=√3cosB,…3分 因为0<B<,所以sinB≠0，所以cosB0,所以tanB=有，所以B=号.…4分 a cb=-5=2, (2)因为sinA-sinc sinB 。π√5 sin 3 2 所以2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin(-A） 4sinAcoAsinA-3sinAc 1 =2w3sin(a-) 7分 A< 由三角形为锐角三角形可知， -A< 解得百<A<, C3 所以A-石∈(o,)sim(A-)e(o,）, 所以2a-c=23sin(A-）∈(0,3).…10分 (3)如图， 由余弦定理，b2=a2十c2-2 accosB=a2十c2-ac≥2ac-ac=ac, 即ac≤3，当且仅当a=c时，等号成立.……12分 1 π1 又S△Ac=2c·BD·sin6+2a·BD·sin π1 π 6=2acsin 3, 化简可得，BD(a十c)=√3ac.…14分 BD3ac3ac≤3X3=当且仅当a=c时等号成立 a+c2√ac 2Vac≤2 故BD长度的最大值为 17分 高一数学试题参考答案第3页（共3页） 风汉王扫描王影潮 扫描识别王中王