专题2.5 二次函数与一元二次方程 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 练习以“基础达标-能力提升-拓展培优”三层递进设计，覆盖二次函数与一元二次方程核心知识点，通过概念辨析、综合应用及项目式探究，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数基本性质、与坐标轴交点、根的判别式|选择填空聚焦概念辨析，解答题强化基础运算，如抛物线与x轴交点证明| |能力提升|图像综合分析、动态平移、参数问题|结合表格数据和图像信息判断函数性质，解答题涉及最值和面积计算，培养推理能力| |拓展培优|实际情境建模、探究性问题|项目式学习题（洒水车灌溉）融合几何直观与模型意识，综合题考查函数与方程综合应用|

二次函数与一元二次方程 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 3．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：；                乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为；        丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．已知一个二次函数（a、b是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 1 4 6 … y … 12 4 7 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是（    ） A．该函数图象开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数有最小值，且最小值为3 D．该函数图象与x轴有两个交点 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为； ④； 其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（   ） A． B．函数的最小值为 C．方程有两个不相等的实数根 D． 二、填空题 9．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 10．将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 11．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 12．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 三、解答题 13．已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 14．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 15．二次函数的图象与轴的交点为． (1)若点的坐标为，求该二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； (3)判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 能力提升 1、 选择题 1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时， C．当时，函数的最大值为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 3．已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 5．已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（   ） A．C是一个中心对称图形 B．的最小值为 C．方程有四个不等实根 D．直线l与C最多有4个交点 2、 填空题 6．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 7．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 3、 解答题 8．已知抛物线的最低点的坐标是，设r是该抛物线与x轴交点的横坐标． (1)求b和c的值； (2)记，是否存在正整数m，使得T为整数，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，顶点在线段上，已知，两点的坐标为和． (1)求，两点所在直线的函数表达式； (2)设该抛物线与轴的交点为，求线段的长； (3)若，两点均在该抛物线上，轴于，轴于，，两点的横坐标为和．分别记和的面积为，，当时，求的值． 10．已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． (1)设抛物线与轴的交点为，，求的长； (2)若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 拓展培优 一、选择题 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．如图，二次函数（）的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程（）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式（）的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知抛物线关于直线对称，将此抛物线向上平移7个单位长度后过原点．当时，函数的最大值为，最小值为，且满足，则下列关于实数的结论正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 4．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确结论是______（填序号）． 5．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点有下列结论：①；②；③（m为常数）；④；⑤和时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦，其中错误的结论是___________（填序号） 三、解答题 6．如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，连接、，若，求点D的坐标； (3)如图3，直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M，作直线，交抛物线于点E、F，且与y轴交点坐标为，连交直线于点G，取中点N，连．若，求点M的坐标． 7．项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与一元二次方程 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 3．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 4．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 5．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：；                乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为；        丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标，得到另一个交点坐标，再结合图象可知，当时，，当时，，可判断甲、乙结论；根据抛物线的和经过点，可判断丙结论；根据抛物线的增减性，可判断丁结论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 与轴的另一个交点坐标为， 当时，，当时，， ，，甲、乙结论错误； 对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 当时，， 抛物线的顶点坐标为，丙结论正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而增大，丁结论错误． 6．已知一个二次函数（a、b是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 1 4 6 … y … 12 4 7 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是（    ） A．该函数图象开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数有最小值，且最小值为3 D．该函数图象与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：将，代入二次函数， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为：， ∴函数的开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，函数的最小值为3，该函数与x轴没有交点，则正确，选项D错误． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为； ④； 其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③④． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故②正确， ∴， ∴，故①正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故③正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 8．如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（   ） A． B．函数的最小值为 C．方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】D 【分析】由函数图象及二次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， 由图象知，， ∴，即选项A正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，即选项B正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为与1，即选项C正确； ∵， ∴，即选项D错误． 二、填空题 9．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 10．将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式，再利用y轴上点的横坐标为，代入解析式求出纵坐标，即可得到交点坐标 ． 【详解】解：∵ 将抛物线向上平移个单位， 根据平移的“上加下减”规律，可得新抛物线解析式为： ， 整理得 . ∵ 抛物线与轴交点的横坐标为， 将代入新抛物线解析式，得， ∴ 所得新抛物线与轴的交点坐标为 ． 11．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 【答案】0或4/4或0 【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点， 由， 将代入，得， 化简得，解得． ②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点， 将代入得： ，即． 此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件． 综上，的值为或． 12．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 三、解答题 13．已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 14．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 【答案】(1)24米 (2)球的水平距离是30米 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 15．二次函数的图象与轴的交点为． (1)若点的坐标为，求该二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； (3)判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 【答案】(1) (2) (3)二次函数的图象与轴正半轴一定有交点 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求解即可； （2）由（1）中得到表达式，根据抛物线图象与性质得到当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合题意得到不等式求解即可； （3）根据抛物线与轴交点情况就是时对应的一元二次方程解的情况，先判断二次函数对应方程解的情况，再由求根公式求出一元二次方程的解，判断始终有一个根恒大于零即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的交点为， ， 则，解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知， ，对称轴为， 抛物线开口向下，则当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 当、在函数图象上，总有时，， 解得； （3）解：令，则， 即， ， 二次函数图象与轴有两个不相同的交点， ，且， 或， 当时，； 当时，； 综上所述，二次函数的图象与轴正半轴一定有交点． 能力提升 1、 选择题 1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时， C．当时，函数的最大值为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与x轴有两个交点求出a的范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴和函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数 的图象与轴有两个交点， ∴判别式 ， ∴，图象开口向上，故A错误． 将二次函数配方得： ， 可得对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，，故B错误． ∵，开口向上，顶点在区间内， ∴函数在内的最小值为，最大值大于，故C错误． ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随值的增大而增大，故D正确． 2．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 3．已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设A、B两点的横坐标分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形，用的关系式表示出，从而求出的值． 【详解】解：设A、B两点的横坐标分别为，， 当时，得方程， 判别式， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 4．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 【答案】C 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 5．已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（   ） A．C是一个中心对称图形 B．的最小值为 C．方程有四个不等实根 D．直线l与C最多有4个交点 【答案】D 【分析】先对带绝对值的函数进行化简，再结合图像及二次函数性质逐一判断选项正误． 【详解】解：，则其函数图像如下： A选项，由图可知图象关于轴对称，不是中心对称图形，A错误； B选项，当或时取得最小值，不是，B错误； C选项，方程即，由图可知仅有2个不等的实根，C错误； D选项，直线l是一次函数，与每一段二次函数最多产生个交点，两段最多共个交点， 且存在直线（如）与有个交点，D正确． 2、 填空题 6．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 7．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由抛物线开口朝下、对称轴在y轴左边、抛物线与y轴交点在正半轴上可判断②；由抛物线在处的函数值小于0，可得，再由对称轴可得可判断③；由抛物线顶点的纵坐标为1可得抛物线与直线只有一个交点可判断④；由抛物线与直线没有交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴令，即有两个不相等的实数根， ∴，即，故①正确． 由图象可知：抛物线开口朝下，对称轴在y轴左边，抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴， ∴，故②错误． 由图象可知：抛物线在处的函数值小于0， ∴令，即， ∵由图象可知：对称轴， ∴， ∴， ∴，故③错误． ∵抛物线顶点的纵坐标为1， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴令，即有两个相等的实数根， ∴，即，故④正确． ∵抛物线顶点的纵坐标为1，且抛物线开口朝下， ∴抛物线与直线没有交点， ∴令，即无实数根，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号是①④⑤． 3、 解答题 8．已知抛物线的最低点的坐标是，设r是该抛物线与x轴交点的横坐标． (1)求b和c的值； (2)记，是否存在正整数m，使得T为整数，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或或或 【分析】（1）由题意知，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，即可得b和c的值； （2）由r是抛物线与x轴交点的横坐标，得，则，，再化简得，再根据m为正整数，T为整数求解． 【详解】（1）解：∵的最低点的坐标是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴，； （2）解：存在． ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵m为正整数，T为整数， ∴或或或， ∴或或或或或． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，顶点在线段上，已知，两点的坐标为和． (1)求，两点所在直线的函数表达式； (2)设该抛物线与轴的交点为，求线段的长； (3)若，两点均在该抛物线上，轴于，轴于，，两点的横坐标为和．分别记和的面积为，，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法以及相关已知条件可得，进而求得函数解析式以及，再运用两点间距离公式求解即可； （3）由题意可得，，再画出图形，然后分别表示出和的面积，最后根据列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 则，解得：， 所以，两点所在直线的函数表达式． （2）解：设抛物线的表达式为． 将其展开可得， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在线段上， ∴，解得：． ∴抛物线的顶点坐标为． 把代入抛物线表达式中，可得． 令，可得， ∴， ∵， ∴线段的长． （3）解：如图： ∵，两点的横坐标为和，且抛物线表达式为， ∴，，即， ∵， ∴，， ∵轴于，轴于， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 10．已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． (1)设抛物线与轴的交点为，，求的长； (2)若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 【答案】(1)4 (2)（ⅰ）1；（ⅱ）见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而代入抛物线解析式，令，解一元二次方程，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出，，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可知，即，则，，根据和的值互为相反数，得出，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ，即， 当，即时， 解得或， 抛物线与轴的交点坐标为，， ； （2）（ⅰ）解：该二次函数有最小值， ， ， ， 解得，（舍）， 的值为1； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，即， ，都在抛物线上， ， 和的值互为相反数， ， ， 整理，得， ， 即． 拓展培优 一、选择题 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 2．如图，二次函数（）的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程（）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式（）的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ∴关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，如图所示： 由图象可得，， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是，故⑤错误 故正确的有①②④，共3个． 3．如图，已知抛物线关于直线对称，将此抛物线向上平移7个单位长度后过原点．当时，函数的最大值为，最小值为，且满足，则下列关于实数的结论正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，先求出二次函数的解析式为，然后根据和两种情况进行分类讨论即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线关于直线对称， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线向上平移7个单位长度后过原点， ∴此时抛物线为，则． ∴． ∴抛物线为． 讨论和两种情况： （1）当时， ∴，． ∵， ∴． 分类讨论： ①当时，，当时，， 且当时，， ∴当时，函数的最大值为9，最小值为5，且，故成立； ②当，即时，当时，， 当时，， ∴当时，函数的最大值为9，最小值为5，且，故成立． 综上，或时函数的最大值m和最小值n满足； （2）当时，或 ①当即时， ∵y随x的增大而增大， ∴，， ∴． 而， ∴ ∴当，即时不存在满足条件的t值； ②当时， ∵y随x的增大而减小， ∴，． ∴． 而， ∴ ∴当时不存在满足条件的t值． 综上，当时，不存在满足条件的t值． ∴只有或时函数的最大值m和最小值n满足． 二、填空题 4．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确结论是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且． ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴， ∴关于x的一元二次方程的两个根是函数与的交点的横坐标，如图所示： 由图象可得， ∴若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于x的不等式的解集为或不是，故⑤错误． 5．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点有下列结论：①；②；③（m为常数）；④；⑤和时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦，其中错误的结论是___________（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可；④综合对称轴和的值，以及当时，，进行判断即可；⑤根据抛物线的对称性，进行判断即可；⑥根据二次函数的增减性，进行判断即可；⑦根据当时，，求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，则， 对称轴为直线：，则，图象过，故， ∴；故①错误； 抛物线与轴有两个交点，，故②正确； 由图象可知，当时，函数取得最大值为， ， ∴（为常数），故③正确； 由图可知：二次函数与x轴的另一个交点在之间， 故当时，， ， ， ∴，故④正确． ∵， ∴和关于直线对称， ∴和时函数值相等，故⑤正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， ∴，故⑥错误． 当时，， ， ，故⑦正确． 综上，错误的是①⑥． 三、解答题 6．如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，连接、，若，求点D的坐标； (3)如图3，直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M，作直线，交抛物线于点E、F，且与y轴交点坐标为，连交直线于点G，取中点N，连．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点到抛物线，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接，则，，，利用勾股定理和三角形面积公式求出和的长，设点D的坐标为，其中，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）过点作轴交直线于点，连接，设直线的解析式为，其中，则，联立直线和抛物线的解析式，整理得，根据韦达定理得到，进而得到，设点M的坐标为，联立直线和抛物线的解析式，求出，则轴，则，得出，再根据三角形的面积公式列出关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：代入点得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴，， 如图2，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 设点D的坐标为，其中， 则，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或， 则， ∴点D的坐标为； （3）解：如图3，过点作轴交直线于点，连接， ∵直线与y轴交点坐标为， ∴设直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 当时，， ∴； 设点M的坐标为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得：， ∵直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M， ∴， 解得， 则， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）或， ∴点M的坐标为或． 7．项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $